📝 فرض تأليفي رقم 1 في الرياضيات 📝

🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة - الأستاذ: فوزي الغربي
📚 السابعة أساسي - Meme Edition 🤪
🚀 التمرين رقم 1 (3 نقاط) 🚀
🎯 اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية:
1. ضعف العدد 213 يساوي:
أ) 214 ✨
ب) 413 🤔
ج) 226 😱

الإجابة الصحيحة هي: أ) 214 🎯

الشرح: ضعف العدد يعني ضربه في 2. 🧠

ضعف 213 = 2 × 213
= 21 × 213 (نطبق قاعدة جمع الأسس عند الضرب)
= 2(1+13) = 214 ✅
2. العدد الذي يقبل القسمة على 4 وباقي قسمته على 25 يساوي 1 هو:
أ) 17952 🔢
ب) 4576 🎯
ج) 54326 ❌

الإجابة الصحيحة هي: ب) 4576 🎯

الشرح: لنتحقق من الشرطين: 🕵️‍♂️

  • قابلية القسمة على 4: يجب أن يكون العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات قابلاً للقسمة على 4.
    • 17952: (52 ÷ 4 = 13) ✅ يقبل.
    • 4576: (76 ÷ 4 = 19) ✅ يقبل.
    • 54326: (26 لا يقبل القسمة على 4) ❌.
  • باقي القسمة على 25 هو 1: يعني أن العدد ينتهي بـ 01 أو 26 أو 51 أو 76.
    • 17952: ينتهي بـ 52. باقي قسمته على 25 هو 2. ❌
    • 4576: ينتهي بـ 76. باقي قسمته على 25 هو 1 (لأن 75 مضاعف لـ 25). ✅

🔥 العدد الوحيد الذي يحقق الشرطين هو 4576.

(ملاحظة: تم تجاوز الأسئلة المعتمدة على رسومات مفقودة في النص الأصلي)

🎪 التمرين رقم 2 (6 نقاط) 🎪
1. احسب العبارات التالية:
A = (135 × 19 + 216)0 × (53 - 113) 🤯

الحل الذكي: 🧠

نعلم أن أي عدد (غير معدوم) أس صفر يساوي 1.
إذن: (135 × 19 + 216)0 = 1 ✨
ونعلم أن 53 = 125 و 113 = 1.
يصبح لدينا:
A = 1 × (125 - 1)
A = 1 × 124 = 124 ✅
B = (26 - 62) + (32 + 62) 🎲

الحل: نحسب قيم القوى أولاً 🧮

26 = 64 ، 62 = 36 ، 32 = 9
B = (64 - 36) + (9 + 36)
B = 28 + 45
B = 73 ✅
2. اكتب في صيغة قوة للعدد 10 دليلها مخالف لـ 1:
C = 253 × (26)2 × (125)2 × 1010 🏋️‍♂️

الحل: نفكك الأعداد إلى عوامل أولية (2 و 5) للوصول إلى قوة لـ 10. 🔨

25 = 52 => 253 = (52)3 = 56
(26)2 = 212
125 = 53 => (125)2 = (53)2 = 56
نعوض في العبارة:
C = 56 × 212 × 56 × 1010
نجمع أسس العدد 5: 56 × 56 = 512
C = 512 × 212 × 1010
نستخدم القاعدة an × bn = (a×b)n:
C = (5 × 2)12 × 1010
C = 1012 × 1010 = 1022 ✅
3. اكتب في صيغة قوة:
a = (815 + (215)3 - 37) + (37 + 246) 🧩

الحل: نبسط العبارة ونوحد الأساسات. 🧠

نلاحظ أن -37 و +37 يلغيان بعضهما. ✨
8 = 23 => 815 = (23)15 = 245
(215)3 = 245
تصبح العبارة:
a = 245 + 245 + 246
a = 2 × 245 + 246
a = 246 + 246
a = 2 × 246 = 247 ✅
b = (527 × 3 - 219) + (527 × 2 + 219) 🧩

الحل: نبسط ونستخدم التفكيك. 🧠

نلاحظ أن -219 و +219 يلغيان بعضهما. ✨
b = 527 × 3 + 527 × 2
نخرج 527 كعامل مشترك:
b = 527 × (3 + 2)
b = 527 × 51 = 528 ✅
4. إذا علمت أن a + b = 24، احسب:
L = 33 - a - b و M = (54 × a + 35) + (54 × b - 35) 🚀

الحل الذكي: استخدم المعطى a + b = 24 = 16 🎯

حساب L:
L = 33 - (a + b) (نضع الناقص كعامل مشترك)
L = 27 - 16 = 11 ✅

حساب M:
نلاحظ أن +35 و -35 يلغيان بعضهما.
M = 54 × a + 54 × b
M = 54 × (a + b) (التوزيعية)
M = 625 × 16 = 10000
M = 104 ✅
🔬 التمرين رقم 3 (5 نقاط) 🔬
1. نعتبر العدد N = .7.4 حيث تمثل النقطتان رقمي آحاده ومئاته.
أ- عوض النقطتين بالرقمين المناسبين للحصول على كل الأعداد الزوجية القابلة للقسمة على 3 و 5 في نفس الوقت.

الشرح: لنطبق قواعد قابلية القسمة خطوة بخطوة 🕵️‍♂️

  • ليقبل القسمة على 5، يجب أن يكون رقم آحاده 0 أو 5.
  • ليكون عدداً زوجياً، يجب أن يكون رقم آحاده 0، 2، 4، 6، أو 8.
  • 💡 إذن، ليتحقق الشرطان معاً، يجب أن يكون رقم الآحاد هو 0. العدد يصبح على الشكل .70
  • الآن، ليقبل القسمة على 3، يجب أن يكون مجموع أرقامه مضاعفاً لـ 3.
  • مجموع الأرقام = (رقم المئات) + 7 + 0 = (رقم المئات) + 7.
  • نجرب أرقام المئات الممكنة (من 1 إلى 9):
    • إذا كان المئات 2: المجموع 2+7=9 (يقبل). العدد: 270 ✅
    • إذا كان المئات 5: المجموع 5+7=12 (يقبل). العدد: 570 ✅
    • إذا كان المئات 8: المجموع 8+7=15 (يقبل). العدد: 870 ✅

الأعداد المطلوبة هي: 270، 570، 870.

ب- أوجد من بين هذه الأعداد تلك التي تقبل القسمة على 9.

الشرح: نختبر قابلية القسمة على 9 (مجموع الأرقام مضاعف لـ 9) للأعداد التي وجدناها: 🧐

  • 270: مجموع أرقامه 9 ✅ (يقبل القسمة على 9).
  • 570: مجموع أرقامه 12 ❌ (لا يقبل).
  • 870: مجموع أرقامه 15 ❌ (لا يقبل).

🔥 العدد الوحيد هو 270.

2. ليكن العدد a = 38 + 36
أ- بين أن a مضاعف للعدد 10.

الحل: نستخدم التفكيك إلى عوامل. 🛠️

نخرج 36 كعامل مشترك (الأس الأصغر):
a = 36 × (32 + 1)
a = 36 × (9 + 1)
a = 36 × 10
بما أن a يكتب على شكل جداء يحتوي على العامل 10، فهو مضاعف لـ 10. ✅
ب- ما هو خارج القسمة الإقليدية للعدد a على 30؟

الحل: نقسم العبارة التي وجدناها على 30. ➗

a ÷ 30 = (36 × 10) ÷ (3 × 10)
نختزل بـ 10:
= 36 ÷ 3
= 3(6-1) = 35
نعلم أن 35 = 243.
🔥 الخارج هو 243.
🏗️ التمرين رقم 4 (6 نقاط) 🏗️
📐 تأمل الرسم (المعطيات): ABC مثلث قائم الزاوية في B، و BĈx = 120° (زاوية خارجية).
1. احسب AĈB ثم BÂC.

الشرح: 📐

  • الزاويتان AĈB و BĈx متجاورتان ومتكاملتان (تشكلان زاوية مستقيمة قياسها 180°).
    إذن: AĈB = 180° - BĈx = 180° - 120° = 60° ✅
  • في المثلث ABC القائم في B، مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180°.
    بما أن AB̂C = 90° (زاوية قائمة)
    BÂC = 180° - (AB̂C + AĈB)
    BÂC = 180° - (90° + 60°) = 180° - 150° = 30° ✅
الدائرة (C) التي مركزها C وشعاعها CB تقطع [Cx) في نقطة E. المستقيم Δ المماس لـ (C) في E يقطع (AB) في F.
2. أ- بين أن [FC) هو منصف الزاوية BF̂E.

الشرح المعتمد على برنامج السابعة أساسي: 📐

  • نعلم أن (AB) عمودي على (CB) في B (لأن المثلث ABC قائم في B).
  • الدائرة (C) مركزها C وتمر من B (نصف قطرها CB).
  • بما أن (AB) عمودي على نصف القطر [CB] في النقطة B التي تنتمي للدائرة، فإن (AB) هو مماس للدائرة (C) في B.
  • وبالمثل، المستقيم (Δ) مماس للدائرة (C) في E، لذا (Δ) عمودي على نصف القطر [CE] في E.
  • النقطة F هي نقطة تقاطع المماسين (AB) و (Δ).
  • خاصية: في الدائرة، القطعتان المماسيتان المرسومتان من نقطة خارجية (هنا F) إلى الدائرة متساويتان في الطول (FB = FE)، والمستقيم الواصل بين هذه النقطة الخارجية ومركز الدائرة (هنا [FC)) ينصف الزاوية المحصورة بين المماسين (BF̂E) وينصف أيضاً الزاوية المركزية (BĈE).
  • 💡 إذن [FC) هو منصف الزاوية BF̂E. ✅
ب- احسب BF̂C.

الشرح: 📐

  • من السؤال السابق، المثلث CBE متقايس الضلعين في C (CB = CE أنصاف أقطار).
  • الزاوية BĈE = 120°.
  • زاويتا القاعدة متساويتان: CB̂E = CÊB = (180° - 120°) / 2 = 30°.
  • لدينا CÊF = 90° (المماس Δ عمودي على نصف القطر CE).
  • إذن BÊF = CÊF - CÊB = 90° - 30° = 60°.
  • في المثلث FBE، نعلم أن FB = FE (خاصية المماسين من نقطة خارجية F).
    إذن المثلث FBE متقايس الضلعين في F.
  • زاويتا القاعدة متساويتان: FB̂E = FÊB = 60°.
  • بما أن زاويتي القاعدة 60°، فإن مجموع زواياه 60+60+60=180، إذن المثلث FBE متقايس الأضلاع، والزاوية الثالثة BF̂E = 60°.
  • بما أن [FC) منصف الزاوية BF̂E (من السؤال السابق)، فإن:
    BF̂C = BF̂E / 2 = 60° / 2 = 30° ✅
3. أ) احسب BĈF.

الشرح: 📐

  • في المثلث FBC القائم الزاوية في B (لأن FB ⊥ BC).
  • مجموع الزاويتين الحادتين 90°.
    BĈF = 90° - BF̂C
    بما أن BF̂C = 30° (من السؤال السابق)، فإن:
    BĈF = 90° - 30° = 60° ✅
ب) بين أن (CF) هو منصف الزاوية BĈE.

الشرح: 📐

  • لدينا الزاوية BĈE = 120° (هي الزاوية الخارجية المعطاة BĈx).
  • وقد حسبنا في السؤال السابق أن BĈF = 60°.
  • FĈE = BĈE - BĈF = 120° - 60° = 60° (من الرسم، [CF) يقع بين [CB) و [CE)).
  • إذن BĈF = FĈE = 60°.
  • 💡 هذا يثبت أن (CF) هو منصف الزاوية BĈE. ✅
ج) استنتج أن (CF) هو الموسط العمودي لـ [BE].

الشرح: 📐

  • في المثلث CBE:
  • هو مثلث متقايس الضلعين في C (لأن CB = CE أنصاف أقطار للدائرة (C)).
  • و (CF) هو منصف الزاوية الرئيسية BĈE (من السؤال السابق).
  • خاصية: في المثلث المتقايس الضلعين، منصف الزاوية الرئيسية هو أيضاً المتوسط والارتفاع والموسط العمودي للضلع المقابل.
  • 💡 إذن (CF) هو الموسط العمودي للضلع [BE]. ✅
🏗️ التمرين رقم 5 (5 نقاط) 🏗️
📐 ABCD مستطيل، و (C) الدائرة التي مركزها B وتمر من A.
1. بين أن (AD) مماس لـ (C) في A.

الشرح: 📐

  • بما أن ABCD مستطيل، فإن جميع زواياه قائمة.
  • إذن الزاوية DÂB = 90°.
  • هذا يعني أن المستقيم (AD) عمودي على المستقيم (AB).
  • الدائرة (C) مركزها B وتمر من A، إذن [BA] هو نصف قطر لها.
  • خاصية: أي مستقيم عمودي على نصف قطر الدائرة في نقطة من الدائرة (هي نقطة التماس) يكون مماساً للدائرة.
  • 💡 إذن (AD) مماس للدائرة (C) في النقطة A. ✅
2. ابن المستقيم Δ المار من A والعمودي على (BD).

**(هذا السؤال يتطلب رسماً هندسياً عملياً، ولا يمكن الإجابة عليه نصياً فقط. يتضمن إنشاء مستقيم عمودي على مستقيم ماراً بنقطة معلومة. الخطوات كالتالي):**

خطوات الإنشاء: ✏️

  1. ارسم المستطيل ABCD.
  2. ارسم القطر (BD).
  3. أنشئ المستقيم Δ المار من A والعمودي على (BD) باستخدام الكوس.
http://googleusercontent.com/image_generation_content/0
3. ليكن O مركز المستطيل ABCD (نقطة تقاطع قطريه). بين أن O تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AB].

الشرح: 📐

  • بما أن ABCD مستطيل، فإن O هي نقطة تقاطع قطريه [AC] و [BD]، وهي منتصف كل منهما.
  • نعلم أن قطري المستطيل متقايسان، إذن AC = BD.
  • وبما أن O منتصفهما، فإن OA = OB = OC = OD.
  • المثلث OAB متقايس الضلعين في O (OA = OB).
  • خاصية: كل نقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة مستقيم تكون متساوية البعد عن طرفيها.
  • بما أن OA = OB، فإن O تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة المستقيم [AB]. ✅
4. استنتج أن الدائرة التي مركزها O وتمر من A تمر أيضا من B و C و D.

الشرح: 📐

  • من السؤال السابق، النقطة O هي مركز المستطيل.
  • لدينا OA = OB = OC = OD (أنصاف الأقطار متساوية).
  • بما أن البعد بين O وكل من الرؤوس A، B، C، و D متساوٍ، فإن هذه الرؤوس تقع على دائرة واحدة مركزها O.
  • 💡 الدائرة المحيطة بالمستطيل ABCD مركزها O (نقطة تقاطع القطرين) وشعاعها OA. ✅