(1) أحسب العبارات التالية:
- $$\text{a}=29\times5^{4}-13\times5^{4}$$
- $$\text{b}=(3^{3}-5^{2})^{4}-1^{15}\times26^{0}$$
- $$\text{c}=(3^{2}-\sqrt{64})^{7}+(7^{5}\times0)^{3}$$
- $$\text{d}=3^{3}-10^{0}\times11+5^{16}\times0^{4}$$
- $$\text{a}=3^{2}\times7-(1^{13}+5^{0})$$
- $$\text{b}=(2^{3}+5^{13})-(2^{2}+5^{13})$$
- $$\text{e}=2^{2}+3^{2}\times4-2^{3}$$
$$\text{a}=29\times5^{4}-13\times5^{4} = (29-13)\times5^{4} = 16\times625 = 10000$$
$$\text{b}=(3^{3}-5^{2})^{4}-1^{15}\times26^{0} = (27-25)^{4}-1\times1 = 2^{4}-1 = 16-1 = 15$$
$$\text{c}=(3^{2}-\sqrt{64})^{7}+(7^{5}\times0)^{3} = (9-8)^{7}+0^{3} = 1^{7}+0 = 1$$
$$\text{d}=3^{3}-10^{0}\times11+5^{16}\times0^{4} = 27-1\times11+0 = 27-11 = 16$$
$$\text{a}=3^{2}\times7-(1^{13}+5^{0}) = 9\times7-(1+1) = 63-2 = 61$$
$$\text{b}=(2^{3}+5^{13})-(2^{2}+5^{13}) = 2^{3}+5^{13}-2^{2}-5^{13} = 8-4 = 4$$
$$\text{e}=2^{2}+3^{2}\times4-2^{3} = 4+9\times4-8 = 4+36-8 = 40-8 = 32$$
(2) أكمل الفراغات بالأرقام المناسبة لتكون المساواة صحيحة:
- $$100000\times10^{\text{....}}=100^{5}$$
- $$(9^{\text{....}})^{3}=3^{36}$$
(3) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:
- $$d=3^{5}\times9^{15}\times27^{2}$$
- $$e=2^{13}\times36^{5}\times3^{13}$$
- $$f=5^{2019}\times3^{3}-5^{2019}\times2$$
- $$B=10^{2}-5^{2}\times3$$
(4) أحسب العبارات التالية (من التمرين 4):
- $$A=(\sqrt{81}-2^{3})^{5}-5^{0}$$
- $$E=(3^{2}-2^{3})^{2021}\times(3^{3}-17)^{3}$$
$$\text{أ)} 100000\times10^{\mathbf{5}}=100^{5} \implies 10^{5}\times10^{5}=(10^{2})^{5} \implies 10^{10}=10^{10}$$
$$\text{ب)} (9^{\mathbf{6}})^{3}=3^{36} \implies ((3^{2})^{6})^{3} = 3^{36} \implies 3^{2\times6\times3} = 3^{36} \implies 3^{36}=3^{36}$$
$$d=3^{5}\times9^{15}\times27^{2} = 3^{5}\times(3^{2})^{15}\times(3^{3})^{2} = 3^{5}\times3^{30}\times3^{6} = 3^{41}$$
$$e=2^{13}\times36^{5}\times3^{13} = (2\times3)^{13}\times(6^{2})^{5} = 6^{13}\times6^{10} = 6^{23}$$
$$f=5^{2019}\times3^{3}-5^{2019}\times2 = 5^{2019}\times(27-2) = 5^{2019}\times25 = 5^{2019}\times5^{2} = 5^{2021}$$
$$B=10^{2}-5^{2}\times3 = 100-25\times3 = 100-75 = 25 = 5^{2}$$
$$A=(\sqrt{81}-2^{3})^{5}-5^{0} = (9-8)^{5}-1 = 1^{5}-1 = 1-1 = 0$$
$$E=(3^{2}-2^{3})^{2021}\times(3^{3}-17)^{3} = (9-8)^{2021}\times(27-17)^{3} = 1^{2021}\times10^{3} = 10^{3}$$
أكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:
- $$G=125^{2}\times2^{8}\times5^{2}$$
- $$H=49\times7^{3}$$
- $$I=7^{8}+7^{7}\times6^{2}+7^{7}\times6$$
- $$J=9\times7^{34}+39\times7^{34}+7^{34}$$
- $$K=4^{26}+4^{26}+4^{26}+4^{26}$$
- $$L=7^{5}\times10000^{3}\times7^{7}$$
- $$M=169^{4}\times2^{8}\times26^{3}$$
- $$N=(5\times2^{3})^{5}\times5^{11}\times2$$
- $$P=10^{2}\times5^{27}\times8^{9}$$
- $$Q=(4^{45}+25^{9})+(4^{45}-25^{9})$$
$$G=125^{2}\times2^{8}\times5^{2} = (5^{3})^{2}\times2^{8}\times5^{2} = 5^{6}\times5^{2}\times2^{8} = 5^{8}\times2^{8} = 10^{8}$$
$$H=49\times7^{3} = 7^{2}\times7^{3} = 7^{5}$$
$$I=7^{7}\times(7+6^{2}+6) = 7^{7}\times(7+36+6) = 7^{7}\times49 = 7^{7}\times7^{2} = 7^{9}$$
$$J=7^{34}\times(9+39+1) = 7^{34}\times49 = 7^{34}\times7^{2} = 7^{36}$$
$$K=4\times4^{26} = 4^{27} = (2^{2})^{27} = 2^{54}$$
$$L=7^{5}\times7^{7}\times(10^{4})^{3} = 7^{12}\times10^{12} = 70^{12}$$
$$M=(13^{2})^{4}\times2^{8}\times(2\times13)^{3} = 13^{8}\times2^{8}\times2^{3}\times13^{3} = 13^{11}\times2^{11} = 26^{11}$$
$$N=5^{5}\times(2^{3})^{5}\times5^{11}\times2^{1} = 5^{16}\times2^{15}\times2^{1} = 5^{16}\times2^{16} = 10^{16}$$
$$P=(2\times5)^{2}\times5^{27}\times(2^{3})^{9} = 2^{2}\times5^{2}\times5^{27}\times2^{27} = 2^{29}\times5^{29} = 10^{29}$$
$$Q=4^{45}+25^{9}+4^{45}-25^{9} = 2\times4^{45} = 2\times(2^{2})^{45} = 2\times2^{90} = 2^{91}$$
يمثل الرسم المرافق مثلثا $$ABC$$ قائم الزاوية في $$B$$ حيث $$[BH]$$ الارتفاع الصادر من $$B$$ .
(1) ارسم دائرة $$\mathcal{C}$$ مركزها $$C$$ وتمر من $$H$$:
أ- ماهي الوضعية النسبية للدائرة $$\mathcal{C}$$ والمستقيم $$(BH)$$ ؟ علل جوابك.
ب- ماهي الوضعية النسبية للدائرة $$\mathcal{C}$$ والمستقيم $$(AB)$$ ؟ علل جوابك.
(3) ابن $$\Delta$$ الموسط العمودي لقطعة المستقيم $$[BC]$$ الذي يقطع الدائرة $$\mathcal{C}$$ في نقطتين لتكن إحداهما $$N$$. بيّن أن $$BN=CH$$
الخطوة 1: تحديد الشعاع والبعد.
مركز الدائرة هو $$C$$ وشعاعها هو $$R = CH$$ (لأنها تمر من $$H$$).
المستقيم $$(BH)$$ هو الارتفاع الصادر من $$B$$، إذن $$(BH) \perp (AC)$$ في $$H$$.
الخطوة 2: حساب البعد $$d$$ بين $$C$$ و $$(BH)$$.
بما أن $$(BH) \perp (AC)$$ في $$H$$ و $$C \in (AC)$$، فإن البعد $$d$$ بين $$C$$ و $$(BH)$$ هو طول القطعة $$CH$$.
إذن: $$d = CH$$
الخطوة 3: المقارنة والاستنتاج.
بما أن $$d = R$$ ($$CH = CH$$)، فإن المستقيم $$(BH)$$ **مماس** للدائرة $$\mathcal{C}$$ في النقطة $$H$$.
الخطوة 1: حساب البعد $$d$$ بين $$C$$ و $$(AB)$$.
بما أن المثلث $$ABC$$ قائم الزاوية في $$B$$، فإن $$(AB) \perp (BC)$$.
الخطوة 2: تحديد البعد.
إذن، البعد $$d$$ بين المركز $$C$$ و المستقيم $$(AB)$$ هو طول القطعة $$CB$$. $$d = CB$$
الخطوة 3: المقارنة والاستنتاج.
في المثلث القائم $$BHC$$ (لأن $$BH$$ ارتفاع)، الضلع $$CB$$ هو الوتر، والضلع $$CH$$ هو أحد ضلعي الزاوية القائمة.
إذن: $$CB > CH$$ ($$d > R$$).
النتيجة: بما أن البعد أكبر من الشعاع، فإن الدائرة $$\mathcal{C}$$ والمستقيم $$(AB)$$ **منفصلان**.
الخطوة 1: خاصية الموسط العمودي.
بما أن $$N$$ نقطة من $$\Delta$$ (الموسط العمودي لـ $$[BC]$$)، فإنها متساوية البعد عن طرفي القطعة $$[BC]$$.
إذن: $$BN = CN$$
الخطوة 2: خاصية الدائرة.
بما أن $$N$$ نقطة من الدائرة $$\mathcal{C}$$ التي مركزها $$C$$ وشعاعها $$CH$$، فإن البعد بين $$C$$ و $$N$$ هو الشعاع.
إذن: $$CN = CH$$
الخطوة 3: الاستنتاج.
من الخطوتين 1 و 2 نستنتج: $$BN = CN = CH$$
النتيجة: $$BN = CH$$
دائرة $$\mathcal{C}$$ مركزها $$O$$ وشعاعها $$3 \text{cm}$$ ونقطة $$A$$ عليها.
(1) أ- ابن المستقيم $$\Delta$$ المماس للدائرة في $$A$$ ثم عين عليه نقطة $$B$$ بحيث $$AB=4 \text{cm}$$.
ب- ابن المستقيم $$\Delta'$$ الموسط العمودي لـ $$[AB]$$ والذي يقطعها في $$I$$.
(2) ماهي الوضعية النسبية للمستقيمين $$\Delta'$$ و $$(OA)$$ ؟ علل جوابك.
(3) أ- حدد بعد النقطة $$O$$ عن المستقيم $$\Delta'$$ . علل جوابك.
ب- بيّن أنّ الدائرة $$\mathcal{C}$$ و المستقيم $$\Delta'$$ متقاطعان.
(4) المستقيم $$\Delta'$$ يقطع الدائرة $$\mathcal{C}$$ في نقطتين $$M$$ و $$N$$. لتكن $$H$$ منتصف $$[MN]$$. بيّن أن $$(OH) // \Delta$$
الخطوة 1: تحديد العلاقة بين $$(OA)$$ و $$\Delta$$ (وهو المستقيم $$(AB)$$).
بما أن $$\Delta$$ مماس للدائرة $$\mathcal{C}$$ في $$A$$ و $$O$$ هو المركز، فإن $$(OA)$$ عمودي على $$\Delta$$ في $$A$$.
إذن: $$(OA) \perp \Delta \implies (OA) \perp (AB)$$
الخطوة 2: تحديد العلاقة بين $$\Delta'$$ و $$(AB)$$.
بما أن $$\Delta'$$ هو الموسط العمودي لـ $$[AB]$$، فإن $$\Delta'$$ عمودي على $$(AB)$$ في $$I$$ (منتصف $$[AB]$$).
إذن: $$\Delta' \perp (AB)$$
الخطوة 3: الاستنتاج.
بما أن المستقيمين $$\Delta'$$ و $$(OA)$$ عموديان على نفس المستقيم $$(AB)$$، فإنهما **متوازيان**.
النتيجة: $$\Delta' // (OA)$$
الخطوة 1: تحديد البعد.
بما أن $$\Delta' // (OA)$$، فإن البعد بين $$O$$ و $$\Delta'$$ هو طول القطعة المشتركة العمودية بينهما.
لدينا $$A \in (OA)$$ و $$I \in \Delta'$$، و $$(AI) \subset (AB)$$ و $$(AB) \perp \Delta'$$. إذن $$(AI) \perp \Delta'$$
الخطوة 2: حساب البعد $$d = OI$$
في المثلث $$OAI$$ القائم في $$I$$ (لأن $$(AB) \perp \Delta'$$)، **لحظة، المثلث $$OAI$$ قائم في $$I$$ ليس صحيحاً دائماً.**
لكن لدينا $$(OA) \perp (AB)$$ في $$A$$ و $$\Delta' \perp (AB)$$ في $$I$$. و $$(OA) // \Delta'$$.
نُسقط $$O$$ عمودياً على $$\Delta'$$ في $$K$$. بما أن $$(OA) // \Delta'$$، فإن الشكل $$OAKI$$ مستطيل (حيث $$K \in \Delta'$$ و $$I \in (AB)$$). $$A$$ هي نقطة الإسقاط العمودي لـ $$O$$ على $$(AB)$$، و $$I$$ هي نقطة الإسقاط العمودي لـ $$A$$ على $$\Delta'$$.
المسافة بين المستقيمين المتوازيين $$\Delta'$$ و $$(OA)$$ هي طول القطعة $$AI$$ (حيث $$AI$$ جزء من $$(AB)$$ وهو عمودي على كلا المستقيمين).
الخطوة 3: حساب $$AI$$.
بما أن $$I$$ منتصف $$[AB]$$ و $$AB=4 \text{cm}$$، فإن $$AI = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{cm}$$
النتيجة: البعد $$d = 2 \text{cm}$$
الخطوة 1: المقارنة.
شعاع الدائرة: $$R = 3 \text{cm}$$
بعد المركز $$O$$ عن $$\Delta'$$: $$d = 2 \text{cm}$$
الخطوة 2: الاستنتاج.
بما أن $$d < R$$ ($$2 \text{cm} < 3 \text{cm}$$) فإن الدائرة $$\mathcal{C}$$ والمستقيم $$\Delta'$$ **متقاطعان** في نقطتين مختلفتين.
الخطوة 1: خاصية الوتر.
لدينا $$[MN]$$ هو وتر في الدائرة $$\mathcal{C}$$. $$H$$ هي منتصف $$[MN]$$.
الخطوة 2: تحديد العلاقة بين $$(OH)$$ و $$\Delta'$$.
المستقيم الذي يمر من مركز الدائرة ومنتصف وتر فيها يكون عمودياً على هذا الوتر.
إذن: $$(OH) \perp (MN) \implies (OH) \perp \Delta'$$ (لأن $$M, N \in \Delta'$$)
الخطوة 3: تحديد العلاقة بين $$\Delta$$ و $$\Delta'$$.
من السؤال (2)، لدينا $$\Delta' \perp \Delta$$ (لأن $$\Delta$$ هو المستقيم $$(AB)$$ و $$\Delta'$$ هو الموسط العمودي لـ $$[AB]$$).
الخطوة 4: الاستنتاج.
بما أن المستقيمين $$(OH)$$ و $$\Delta$$ كلاهما عموديان على نفس المستقيم $$\Delta'$$، فإنهما **متوازيان**.
النتيجة: $$(OH) // \Delta$$