(1) الكتابة التي تمثل القسمة الإقليدية للعدد $$310$$ على $$15$$ هي:
| $$310=15\times19+25$$ | $$\mathbf{310=20\times15+10}$$ | $$310=15\times19+25$$ |
(2) القيمة التقريبية بالآلاف للعدد $$12495$$ تساوي:
| $$13\times10^{3}$$ | $$\mathbf{12\times10^{3}}$$ | $$2000$$ |
(3) نعتبر الرسم التالي (دائرة مركزها $$I$$ مماسّة لـ $$(Oy)$$ في $$C$$ وتقطع $$(Ox)$$ في $$A$$ و $$B$$):
- أ- أرسم نصف المستقيم $$(Ot]$$ إذا علمت أن $$\angle xOt$$ و $$\angle xOy$$ زاويتان متجاورتان ومتكاملتان.
- ب- أرسم نصف المستقيم $$(Ou]$$ إذا علمت أن $$\angle xOy$$ و $$\angle yOu$$ زاويتان متجاورتان ومتتامتان.
- ج- عيّن النقطة $$I$$ (مركز الدائرة) مع ترك أثر البركار.
$$310 = 15 \times q + r$$ حيث $$0 \le r < 15$$
$$310 \div 15 = 20$$ والباقي $$r = 310 - 15 \times 20 = 310 - 300 = 10$$
الجواب الصحيح: $$\mathbf{310=20\times15+10}$$
القيمة التقريبية بالآلاف للعدد $$12495$$ هي $$12000$$ (لأن رقم المئات $$4$$ أصغر من $$5$$).
$$12000 = 12 \times 10^{3}$$
الجواب الصحيح: $$\mathbf{12\times10^{3}}$$
أ- بما أن الدائرة مماسّة لـ $$(Oy)$$ في $$C$$، فإن نصف القطر $$[IC]$$ عمودي على $$(Oy)$$ في $$C$$. إذن، $$I$$ تنتمي إلى المستقيم العمودي على $$(Oy)$$ في $$C$$.
ب- بما أن الدائرة تقطع $$(Ox)$$ في نقطتين $$A$$ و $$B$$، فإن مركز الدائرة $$I$$ ينتمي إلى **الموسط العمودي** لقطعة المستقيم $$[AB]$$.
تعيين $$I$$ هو نقطة تقاطع هذين المستقيمين.
(1) أحسب ما يلي:
$$\text{A}=(3^{2})^{0}\times(2^{2})^{3}+5^{2}$$
$$\text{B}=2^{3}+2^{3}$$
$$\text{C}=2^{3}\times5^{2}-2^{2}\times5^{2}$$
$$\text{D}=5^{2}+6\times(1+2^{2})^{2}$$
(2) أكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي:
$$\text{E}=81\times(2^{2})^{2}$$
$$\text{F}=7^{2}\times35\times5^{2}$$
$$\text{G}=3^{3}\times75+3^{3}\times50$$
$$\text{D}=(3^{5}\times7^{2})^{3}\times7^{9}$$
(3) أكمل الفراغات بالأرقام المناسبة لتكون المساواة صحيحة:
$$5^{4}\times2^{\text{....}}=10^{4}$$
$$(3^{2}\times7^{\text{....}})^{3}=3^{\text{....}}\times7^{9}$$
$$\text{A}=1\times2^{6}+25 = 64+25 = 89$$
$$\text{B}=2\times2^{3} = 2^{4} = 16$$
$$\text{C}=5^{2}\times(2^{3}-2^{2}) = 25\times(8-4) = 25\times4 = 100$$
$$\text{D}=25+6\times(1+4)^{2} = 25+6\times5^{2} = 25+6\times25 = 25\times(1+6) = 25\times7 = 175$$
$$\text{E}=3^{4}\times2^{4} = (3\times2)^{4} = 6^{4}$$
$$\text{F}=7^{2}\times(7\times5)\times5^{2} = 7^{3}\times5^{3} = (7\times5)^{3} = 35^{3}$$
$$\text{G}=3^{3}\times(75+50) = 3^{3}\times125 = 3^{3}\times5^{3} = (3\times5)^{3} = 15^{3}$$
$$\text{D}=3^{15}\times7^{6}\times7^{9} = 3^{15}\times7^{15} = (3\times7)^{15} = 21^{15}$$
$$5^{4}\times2^{\mathbf{4}}=10^{4}$$ لأن $$10^4 = (5\times2)^4 = 5^4\times2^4$$
نُقارن: $$(3^{2\times3}\times7^{3\times n}) = 3^{m}\times7^{9}$$
مقارنة أسس 7: $$3n=9 \implies n=\mathbf{3}$$
مقارنة أسس 3: $$m=2\times3 = \mathbf{6}$$
الجواب: $$(3^{2}\times7^{\mathbf{3}})^{3}=3^{\mathbf{6}}\times7^{9}$$
أرض مستطيلة الشكل مساحتها $$2^{12}m^{2}$$ وعرضها $$32$$ م.
أ/ ابحث عن قيس طولها في صيغة قوة للعدد $$2$$.
ب/ أوجد بالمتر طول ضلع أرض مربعة الشكل لها نفس مساحة المستطيل.
المساحة $S = L \times l$
الطول: $$L = S \div l$$
لدينا: $$l = 32 = 2^{5}$$
$$L = 2^{12} \div 2^{5}$$
$$L = 2^{12-5}$$
$$L = 2^{7} \text{ m}$$
مساحة المربع: $$S = c^{2}$$
$$c^{2} = 2^{12}$$
$$c = \sqrt{2^{12}} = 2^{12 \div 2}$$
$$c = 2^{6}$$
$$c = 64 \text{ m}$$
نعتبر الرسم التالي حيث $$B, A, C, H$$ نقاط من مستقيم أفقي، $$BA \perp AC$$, $$MH \perp CH$$ و $$MK \perp BC$$. [انظر الرسم المرافق في الملف الأصلي] حيث $$MH=4 \text{cm}$$ و $$\angle MCH = 25^{\circ}$$.
(1) سم زاوية متممة لـ $$\angle ACB$$ (في حالة $$\angle BAC = 90^\circ$$)
(2) سم زاوية مكملة لـ $$\angle CMH$$.
(3) أحسب $$\angle CMH$$ معللاً جوابك (في المثلث $$MCH$$ القائم في $$H$$).
(4) استنتج أن $$(CM]$$ هو منصف الزاوية $$\angle K C H$$ إذا علمت أن $$MK = 4 \text{cm}$$ (خاصية منصف زاوية).
(5) أحسب $$MK$$ معللاً جوابك.
إذا افترضنا أن $$\angle BAC = 90^{\circ}$$ (حسب نص التمرين)، فإن $$\angle ACB$$ و $$\angle ABC$$ زاويتان متتامتان.
الجواب: $$\angle ABC$$
الزاوية المكملة لـ $$\angle CMH$$ هي زاوية مجموع قيسها مع $$\angle CMH$$ يساوي $$180^{\circ}$$.
نعتبر النقطة $$T$$ حيث $$C, M, T$$ ليست على استقامة واحدة. نمدد الضلع $$HC$$ إلى $$X'$$ لتصبح $$X' H C$$ مستقيم. الزاوية $$\angle CM X'$$ مكملة لـ $$\angle CMH$$
الجواب: $$\angle CM X'$$ (حيث $$H \in (C X')$$)
في المثلث $$MCH$$ القائم الزاوية في $$H$$ (لأن $$MH \perp CH$$):
مجموع زوايا المثلث هو $$180^{\circ}$$
$$\angle CMH = 180^{\circ} - (\angle M H C + \angle M C H)$$
$$\angle CMH = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 25^{\circ})$$
$$\angle CMH = 180^{\circ} - 115^{\circ}$$
$$\angle CMH = 65^{\circ}$$
خاصية منصف زاوية: كل نقطة تنتمي إلى منصف زاوية تكون متساوية البعد عن ضلعي هذه الزاوية.
لدينا: $$M K \perp C K$$ و $$M H \perp C H$$
لدينا: $$MK = 4 \text{cm}$$ (معطى في هذه النقطة) و $$MH = 4 \text{cm}$$ (معطى أصلي)
بما أن النقطة $$M$$ متساوية البعد عن ضلعي الزاوية $$\angle K C H$$ ($$MK = MH$$)،
فإنّ $$M$$ تنتمي إلى منصف هذه الزاوية.
النتيجة: $$(CM]$$ هو منصف الزاوية $$\angle K C H$$
بما أن $$(CM]$$ هو منصف الزاوية $$\angle K C H$$ (من 4)،
وبما أن $$MK$$ هو بعد النقطة $$M$$ عن $$(CK)$$، و $$MH$$ هو بعد النقطة $$M$$ عن $$(CH)$$،
فإنه حسب خاصية منصف الزاوية: $$MK = MH$$
ولدينا $$MH = 4 \text{cm}$$ (معطى).
النتيجة: $$MK = 4 \text{cm}$$