1) نتيجة العبارة $$(11\times11^{0})^{2}+4^{3}$$ تساوي:
| $$185$$ | $$12$$ | $$65$$ |
2) إذا كانت مساحة مربع تساوي $$(4\times5)^{3}\times125$$، فإن قيس طول ضلعه يساوي:
| $$20^{3}$$ | $$10^{6}$$ | $$10^{3}$$ |
3) إذا كان شعاع دائرة يساوي 5 cm وبعد مركزها عن مستقيم 10 cm، فإنّ الدائرة والمستقيم:
| $$منفصلان$$ | $$متقاطعان$$ | $$متماسان$$ |
4) نتيجة العبارة $$4^{2}+4^{2}+4^{2}+4^{2}$$ تساوي:
| $$2^{8}$$ | $$12^{3}$$ | $$4^{12}$$ |
الخطوة 1: تبسيط القوى
$$11^{0} = 1$$
$$4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64$$
الخطوة 2: إتمام الحساب
$$\text{النتيجة} = (11\times1)^{2} + 64$$
$$= 11^{2} + 64$$
$$= 121 + 64$$
$$= 185$$
الجواب الصحيح: $$185$$
الخطوة 1: حساب مساحة المربع $$S$$
$$S = (4\times5)^{3}\times125$$
$$S = 20^{3}\times5^{3}$$
$$S = (20\times5)^{3}$$
$$S = 100^{3}$$
$$S = (10^{2})^{3}$$
$$S = 10^{6}$$
الخطوة 2: حساب طول الضلع $$c$$ ($$S = c^{2}$$)
$$c^{2} = 10^{6}$$
$$c = \sqrt{10^{6}} = 10^{3}$$
الجواب الصحيح: $$10^{3}$$
الخطوة 1: تحديد المعطيات
شعاع الدائرة: $$R = 5 \text{cm}$$
بعد المركز عن المستقيم: $$d = 10 \text{cm}$$
الخطوة 2: المقارنة والاستنتاج
بما أن $$d > R$$ ($10 \text{cm} > 5 \text{cm}$$)، فإن الدائرة والمستقيم لا يتقاطعان.
الجواب الصحيح: منفصلان
الخطوة 1: تحويل الجمع إلى ضرب
$$\text{النتيجة} = 4 \times 4^{2}$$
الخطوة 2: تطبيق قاعدة ضرب القوى
$$\text{النتيجة} = 4^{1} \times 4^{2} = 4^{1+2} = 4^{3}$$
الخطوة 3: كتابة $$4^{3}$$ في صيغة قوة للعدد 2
$$4^{3} = (2^{2})^{3} = 2^{6}$$
ملاحظة: لا توجد $$2^{6}$$ في الخيارات. نختار الإجابة الصحيحة رياضياً $$4^{3}$$ أو $$2^{6}$$
الجواب الصحيح: $$4^{3}$$ (أو $$2^{6}$$)
(1) أحسب العبارات التالية:
$$\text{a}=(15^{2}\times8-2^{2})^{0}\times(11^{2}+1^{99})$$
$$\text{b}=(4^{3}+5^{14})-(2^{5}+25^{7})$$
$$\text{c}=2^{2}+3^{2}\times\sqrt{16}-2^{3}$$
(2) أكمل الفراغات بالأرقام المناسبة لتكون المساواة صحيحة:
$$100000\times10^{\text{....}}=100^{5}$$
$$(9^{\text{....}})^{3}=3^{36}$$
(3) أكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:
$$\text{d}=3^{5}\times\sqrt{81}^{15}\times27^{2}$$
$$\text{e}=2^{13}\times36^{5}\times3^{13}$$
$$\text{f}=5^{2019}\times3^{3}-5^{2019}\times2$$
$$\text{i}=25^{2}\times8^{3}\times5^{5}$$
$$\text{g}=(11^{2}\times5-4^{3})+(64+20^{2}-5)$$
$$\text{h}=2^{12}\times\sqrt{196}+4^{6}\times50$$
(أ) حساب $$\text{a}$$:
$$\text{a}=(15^{2}\times8-2^{2})^{0}\times(11^{2}+1^{99})$$
$$\text{a}=(1)^{0}\times(121+1)$$ (لأن $(...)^{0}=1$)
$$\text{a}=1 \times 122$$
$$\text{a}=122$$
(ب) حساب $$\text{b}$$:
$$\text{b}=(4^{3}+5^{14})-(2^{5}+25^{7})$$
$$\text{b}=(64+5^{14})-(32+(5^{2})^{7})$$
$$\text{b}=64+5^{14}-32-5^{14}$$
$$\text{b}=64-32$$
$$\text{b}=32$$
(ج) حساب $$\text{c}$$:
$$\text{c}=2^{2}+3^{2}\times\sqrt{16}-2^{3}$$
$$\text{c}=4+9\times4-8$$
$$\text{c}=4+36-8$$
$$\text{c}=40-8$$
$$\text{c}=32$$
(أ) $$100000\times10^{n}=100^{5}$$:
$$10^{5}\times10^{n}=(10^{2})^{5}$$
$$10^{5+n}=10^{10}$$
$$5+n=10 \implies n=5$$
الجواب: $$100000\times10^{\mathbf{5}}=100^{5}$$
(ب) $$(9^{n})^{3}=3^{36}$$:
$$((3^{2})^{n})^{3}=3^{36}$$
$$3^{2\times n\times3}=3^{36}$$
$$3^{6n}=3^{36}$$
$$6n=36 \implies n=6$$
الجواب: $$(9^{\mathbf{6}})^{3}=3^{36}$$
(د) $$\text{d}=3^{5}\times\sqrt{81}^{15}\times27^{2}$$:
$$\text{d}=3^{5}\times9^{15}\times(3^{3})^{2}$$
$$\text{d}=3^{5}\times(3^{2})^{15}\times3^{6}$$
$$\text{d}=3^{5}\times3^{30}\times3^{6}$$
$$\text{d}=3^{5+30+6} = 3^{41}$$
(هـ) $$\text{e}=2^{13}\times36^{5}\times3^{13}$$:
$$\text{e}=(2\times3)^{13}\times(6^{2})^{5}$$
$$\text{e}=6^{13}\times6^{10}$$
$$\text{e}=6^{13+10} = 6^{23}$$
(و) $$\text{f}=5^{2019}\times3^{3}-5^{2019}\times2$$:
$$\text{f}=5^{2019}\times(3^{3}-2)$$ (عامل مشترك $$5^{2019}$$)
$$\text{f}=5^{2019}\times(27-2)$$
$$\text{f}=5^{2019}\times25$$
$$\text{f}=5^{2019}\times5^{2}$$
$$\text{f}=5^{2019+2} = 5^{2021}$$
(ي) $$\text{i}=25^{2}\times8^{3}\times5^{5}$$:
$$\text{i}=(5^{2})^{2}\times(2^{3})^{3}\times5^{5}$$
$$\text{i}=5^{4}\times2^{9}\times5^{5}$$
$$\text{i}=2^{9}\times5^{4+5}$$
$$\text{i}=2^{9}\times5^{9}$$
$$\text{i}=(2\times5)^{9} = 10^{9}$$
(ز) $$\text{g}=(11^{2}\times5-4^{3})+(64+20^{2}-5)$$ (يتم طلب الكتابة في صيغة قوة):
$$\text{g}=(121\times5-64)+(64+400-5)$$
$$\text{g}=(605-64)+(464-5)$$
$$\text{g}=541+459$$
$$\text{g}=1000 = 10^{3}$$
(ح) $$\text{h}=2^{12}\times\sqrt{196}+4^{6}\times50$$ (يتم طلب الكتابة في صيغة قوة):
$$\text{h}=2^{12}\times14+(2^{2})^{6}\times50$$ (لأن $\sqrt{196}=14$)
$$\text{h}=2^{12}\times14+2^{12}\times50$$
$$\text{h}=2^{12}\times(14+50)$$ (عامل مشترك $$2^{12}$$)
$$\text{h}=2^{12}\times64$$
$$\text{h}=2^{12}\times2^{6}$$
$$\text{h}=2^{12+6} = 2^{18}$$
(1) ارسم دائرة C مركزها O وشعاعها 4 cm وعين عليها نقطتين A و B بحيث (OA) عمودي على (OB).
(2)
أ- ابن المستقيم دلتا المماس للدائرة في A.
ب- بيّن أن (دلتا) يوازي (OB).
(3)
أ- عين نقطتين E و F على دلتا بحيث A منتصف [EF].
ب- بيّن أن OE=OF.
(4)
أ- ارسم دائرة C' قطرها [OB] و سم مركزها I.
ب- ماهي الوضعية النسبية للدائرة C' والمستقيم دلتا.
الخطوة 1: تحديد العلاقة بين دلتا و (OA)
بما أن المستقيم دلتا مماس للدائرة C في النقطة A، فإن دلتا عمودي على الشعاع [OA] في A.
إذن: (دلتا) عمودي على (OA).
الخطوة 2: تحديد العلاقة بين (OB) و (OA)
حسب المعطيات في (1)، لدينا (OA) عمودي على (OB).
الخطوة 3: الاستنتاج (خاصية تعامد مستقيمين لمستقيم ثالث)
بما أن (دلتا) و (OB) مستقيمان عموديان على نفس المستقيم (OA)، فإنهما متوازيان.
النتيجة: (دلتا) يوازي (OB)
الخطوة 1: تحديد طبيعة المثلث OEF
لدينا A منتصف [EF]، إذن AE = AF (القطعة [OA] هي **الموسط** الصادر من O).
لدينا (دلتا) عمودي على (OA)، وبما أن E, F تنتمي لـ دلتا، فإن (EF) عمودي على (OA). إذن [OA] هو **الارتفاع** الصادر من O على [EF].
الخطوة 2: الاستنتاج
بما أن [OA] هو موسط وارتفاع صادر من نفس الرأس O في المثلث OEF، فإن المثلث OEF هو **مثلث متقايس الضلعين** في O.
النتيجة: OE = OF
الخطوة 1: تحديد شعاع الدائرة C' والمسافة بين المركز والمستقيم
مركز الدائرة C' هو I منتصف [OB] وقطرها [OB].
شعاع C': R' = OB / 2
بما أن O تنتمي لـ C، فإن OB = OA = 4 cm. إذن: R' = 4 / 2 = 2 cm
الخطوة 2: تحديد المسافة d' بين مركز الدائرة C' والمستقيم دلتا
بما أن (دلتا) يوازي (OB) (حسب 2-ب)، وبما أن I تنتمي لـ (OB)، فإن المسافة d' بين النقطة I والمستقيم دلتا هي **المسافة بين المستقيمين المتوازيين** (دلتا) و (OB).
الخطوة 3: حساب المسافة بين (دلتا) و (OB)
بما أن (OA) عمودي على (دلتا) و (OA) عمودي على (OB)، فإن المسافة بينهما هي طول القطعة [OA] (حيث A تنتمي لـ دلتا و O تنتمي لـ (OB)).
إذن: d' = OA = 4 cm
الخطوة 4: المقارنة والاستنتاج
لدينا: d' = 4 cm و R' = 2 cm.
بما أن d' > R' (4 cm > 2 cm)، فإن الدائرة والمستقيم لا يتقاطعان.
النتيجة: الدائرة C' والمستقيم دلتا **منفصلان**.
زاوية xOy تساوي 110 درجة و C دائرة مركزها O وشعاعها 3 cm تقطع [Ox) في A و [Oy) في B.
ملاحظة: هذا التمرين غير مكتمل (لا يوجد سؤال مطلوب).