1) القوى:
- $$4^{3}\times4^{5}$$ تساوي $$4^{8}$$
- $$2^{9}\times2^{9}$$ تساوي $$2^{18}$$
- $$2^{5}\times2^{4}$$ تساوي $$2^{9}$$
2) تفكيك الأعداد:
- $$10^{3}+10^{2}+10^{1}$$ تساوي $$1110$$
3) التعاريف الهندسية:
- الزاويتان اللتان مجموعهما $$90^{\circ}$$ هما زاويتان متتامتان.
- الزاويتان اللتان مجموعهما $$180^{\circ}$$ هما زاويتان متكاملتان.
$$4^{3}\times4^{5} = 4^{3+5} = 4^{8}$$
$$2^{9}\times2^{9} = 2^{9+9} = 2^{18}$$
$$2^{5}\times2^{4} = 2^{5+4} = 2^{9}$$
$$10^{3}+10^{2}+10^{1} = 1000 + 100 + 10 = 1110$$
$$10^{3}+10^{2}+10^{0} = 1000 + 100 + 1 = 1101$$
$$10^{4}+10^{2}+10^{1} = 10000 + 100 + 10 = 10110$$
ملاحظة حول العدد 1 بليار: $$1 \text{ بليار} = 10^{9}$$
(أ) $$\text{a}=29\times5^{4}-13\times5^{4}$$
(ب) $$\text{b}=(3^{3}-5^{2})^{4}-1^{15}\times26^{0}$$
(ج) $$\text{c}=(3^{2}-\sqrt{64})^{7}+(7^{5}\times0)^{3}$$
(د) $$\text{d}=3^{3}-10^{0}\times11+5^{16}\times0^{4}$$
$$\text{a}=29\times5^{4}-13\times5^{4}$$
$$\text{a}=(29-13)\times5^{4}$$ (عامل مشترك $$5^{4}$$)
$$\text{a}=16\times5^{4}$$
$$\text{a}=16\times625$$
$$\text{a}=10000$$
$$\text{b}=(3^{3}-5^{2})^{4}-1^{15}\times26^{0}$$
$$\text{b}=(27-25)^{4}-1\times1$$
$$\text{b}=2^{4}-1$$
$$\text{b}=16-1$$
$$\text{b}=15$$
$$\text{c}=(3^{2}-\sqrt{64})^{7}+(7^{5}\times0)^{3}$$
$$\text{c}=(9-8)^{7}+(0)^{3}$$
$$\text{c}=1^{7}+0$$
$$\text{c}=1$$
$$\text{d}=3^{3}-10^{0}\times11+5^{16}\times0^{4}$$
$$\text{d}=27-1\times11+5^{16}\times0$$
$$\text{d}=27-11+0$$
$$\text{d}=16$$
(1) عوض النقاط بما يناسب:
$$\text{أ)}$$ $$5^{2}\times5^{4}\times27^{2}=15^{\text{....}}$$
$$\text{ب)}$$ $$3^{5}\times7^{\text{...}}=3^{\text{....}}\times21^{3}$$
(2) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لـ1:
$$\text{أ)}$$ $$I=2^{3}+2^{3}+2^{3}+2^{3}$$
$$\text{ب)}$$ $$J=125\times20^{3}\times100^{13}$$
أ) $$5^{2}\times5^{4}\times27^{2}=15^{n}$$
$$5^{2+4}\times(3^{3})^{2}=15^{n}$$
$$5^{6}\times3^{6}=15^{n}$$
$$(5\times3)^{6}=15^{n}$$
$$15^{6}=15^{n} \implies n=6$$
الجواب: $$5^{2}\times5^{4}\times27^{2}=15^{\mathbf{6}}$$
ب) $$3^{5}\times7^{n}=3^{m}\times21^{3}$$
نُبسّط الطرف الأيمن: $$3^{m}\times21^{3} = 3^{m}\times(3\times7)^{3}$$
$$= 3^{m}\times3^{3}\times7^{3}$$
$$= 3^{m+3}\times7^{3}$$
نُقارن الطرفين: $$3^{5}\times7^{n} = 3^{m+3}\times7^{3}$$
مقارنة أسس 7: $$n = 3$$
مقارنة أسس 3: $$5 = m+3 \implies m=2$$
الجواب: $$3^{5}\times7^{\mathbf{3}}=3^{\mathbf{2}}\times21^{3}$$
أ) $$I=2^{3}+2^{3}+2^{3}+2^{3}$$:
$$I = 4\times2^{3}$$
$$I = 2^{2}\times2^{3}$$
$$I = 2^{2+3} = 2^{5}$$
ب) $$J=125\times20^{3}\times100^{13}$$:
$$J = 5^{3}\times(4\times5)^{3}\times(10^{2})^{13}$$
$$J = 5^{3}\times4^{3}\times5^{3}\times10^{26}$$
$$J = 5^{3+3}\times(2^{2})^{3}\times10^{26}$$
$$J = 5^{6}\times2^{6}\times10^{26}$$
$$J = (5\times2)^{6}\times10^{26}$$
$$J = 10^{6}\times10^{26}$$
$$J = 10^{6+26} = 10^{32}$$
ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و I منتصف [BC].
حيث: BC=4 cm و AI=6 cm.
(1) أ) بيّن أن المستقيم (AI) هو **الموسط العمودي** لـ [BC].
ب) استنتج بعد النقطة A عن المستقيم (BC) معللاً جوابك.
(2) أ) ابن المستقيم دلتا العمودي على (AI) والمار من A.
ب) ما هو البعد بين المستقيمين دلتا و (BC)؟ علل جوابك.
(3) أ) عين النقطة O من القطعة [AI] حيث OI=2 cm، ثم ابن الدائرة C التي مركزها O وشعاعها 2 cm.
ب) ما هي الوضعية النسبية للمستقيم (BC) والدائرة C؟ علل جوابك.
(4) أ) حدد بعد النقطة O عن دلتا معللاً جوابك.
ب) استنتج الوضعية النسبية للدائرة C والمستقيم دلتا؟ علل جوابك.
(5) قطعة المستقيم [AI] تقطع الدائرة C في النقطة J.
أ) ابن المستقيم دلتا' المماس للدائرة C في J.
ب) بيّن أن دلتا' مواز لـ دلتا.
الخطوة 1: خاصية المثلث متقايس الضلعين
لدينا ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A
لدينا I منتصف [BC]، إذن (AI) هو **الموسط المتعلق بالضلع [BC]** (الموسط).
الخطوة 2: النتيجة
في المثلث متقايس الضلعين، **الموسط المتعلق بالقاعدة** هو أيضاً **الموسط العمودي** للقاعدة.
إذن: المستقيم (AI) هو **الموسط العمودي** لـ [BC].
الخطوة 1: تعريف البعد
بعد النقطة A عن المستقيم (BC) هو طول القطعة العمودية المارة من A والعمودية على (BC).
الخطوة 2: تحديد العمودي
بما أن (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC]، فإن (AI) عمودي على (BC) في I.
الخطوة 3: النتيجة
إذن، البعد هو AI (الارتفاع).
بالتعويض: البعد = AI = 6 cm.
الخطوة 1: تحديد العلاقات بين المستقيمات
لدينا (AI) عمودي على (BC) (من 1-أ).
لدينا دلتا العمودي على (AI) في A (من 2-أ): دلتا عمودي على (AI)
الخطوة 2: الاستنتاج
بما أن دلتا و (BC) عموديان على نفس المستقيم (AI)، فإنهما متوازيان: دلتا يوازي (BC)
الخطوة 3: حساب البعد
المسافة بين مستقيمين متوازيين هي طول القطعة العمودية المشتركة بينهما، وهي AI (لأن (AI) عمودي على دلتا في A و (AI) عمودي على (BC) في I)
البعد بين دلتا و (BC) هو AI = 6 cm
الخطوة 1: تحديد شعاع الدائرة والمسافة
شعاع الدائرة C هو R = 2 cm
مركز الدائرة O ينتمي إلى [AI].
بعد المركز O عن المستقيم (BC): بما أن (AI) عمودي على (BC) في I، و O ينتمي لـ [AI]، فإن البعد هو OI.
البعد = OI = 2 cm (حسب المعطيات).
الخطوة 2: المقارنة
نلاحظ أن البعد = R = 2 cm
الخطوة 3: النتيجة
بما أن بعد المركز عن المستقيم يساوي الشعاع، فإن المستقيم (BC) **مماس** للدائرة C في النقطة I.
الخطوة 1: تحديد المسافة
المركز O ينتمي إلى [AI]. المستقيم دلتا عمودي على (AI) في A.
إذن، البعد بين النقطة O والمستقيم دلتا هو طول القطعة OA.
الخطوة 2: حساب OA
لدينا O ينتمي لـ [AI] و AI=6 cm و OI=2 cm.
OA = AI - OI
OA = 6 - 2
OA = 4 cm
الجواب: بعد النقطة O عن دلتا هو 4 cm
الخطوة 1: المقارنة
شعاع الدائرة: R = 2 cm
بعد المركز O عن المستقيم دلتا: d = OA = 4 cm
نلاحظ أن d > R (4 cm > 2 cm).
الخطوة 2: النتيجة
بما أن المسافة بين المركز والمستقيم أكبر من الشعاع، فإن الدائرة C والمستقيم دلتا **منفصلان** (لا يتقاطعان).
الخطوة 1: تحديد العلاقة بين دلتا' و (OJ)
بما أن دلتا' مماس للدائرة C في J و O هو المركز، فإن دلتا' عمودي على الشعاع [OJ] في J.
بما أن J ينتمي لـ [AI] فإن (OJ) = (AI)
إذن: دلتا' عمودي على (AI)
الخطوة 2: تحديد العلاقة بين دلتا و (AI)
من 2-أ، لدينا دلتا عمودي على (AI): دلتا عمودي على (AI)
الخطوة 3: النتيجة
بما أن دلتا' و دلتا كلاهما عموديان على نفس المستقيم (AI)، فإنهما متوازيان.
النتيجة: دلتا' يوازي دلتا