عوّض النقاط بالعدد المناسب في كلّ حالة:
| $$2^{6} \times 25^{.....} = 10^{6}$$ | $$10 \times 10^{7} \times 10^{.....} = 10^{11}$$ |
| $$2^{9} \times 3^{.....} = 2^{.....} \times 6^{5}$$ | $$3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4} = ..... ^{.....}$$ |
الحل:
نعلم أن: $$10 = 2 \times 5$$
إذن: $$10^{6} = (2 \times 5)^{6} = 2^{6} \times 5^{6}$$
وبما أن: $$25 = 5^{2}$$
فإن: $$25^{3} = (5^{2})^{3} = 5^{6}$$
إذن: $$2^{6} \times 25^{3} = 2^{6} \times 5^{6} = 10^{6}$$
الجواب: $$2^{6} \times 25^{\boxed{3}} = 10^{6}$$
الحل:
نعلم أن: $$10 = 10^{1}$$
وباستخدام قاعدة الضرب: $$10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b}$$
إذن: $$10^{1} \times 10^{7} \times 10^{x} = 10^{1+7+x} = 10^{8+x}$$
نريد: $$10^{8+x} = 10^{11}$$
إذن: $$8 + x = 11$$
$$x = 11 - 8 = 3$$
الجواب: $$10 \times 10^{7} \times 10^{\boxed{3}} = 10^{11}$$
الحل:
نعلم أن: $$6 = 2 \times 3$$
إذن: $$6^{5} = (2 \times 3)^{5} = 2^{5} \times 3^{5}$$
لدينا: $$2^{9} \times 3^{x} = 2^{y} \times 6^{5}$$
أي: $$2^{9} \times 3^{x} = 2^{y} \times 2^{5} \times 3^{5}$$
$$2^{9} \times 3^{x} = 2^{y+5} \times 3^{5}$$
بالمقارنة:
- للأساس 3: $$x = 5$$
- للأساس 2: $$9 = y + 5$$، إذن $$y = 4$$
الجواب: $$2^{9} \times 3^{\boxed{5}} = 2^{\boxed{4}} \times 6^{5}$$
للتحقق: $$2^{9} \times 3^{5} = 512 \times 243 = 124416$$
$$2^{4} \times 6^{5} = 16 \times 7776 = 124416$$ ✓
الحل:
نحسب مباشرة:
$$3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4} = 1 + 3 + 9 + 27 + 81$$
$$= 4 + 9 + 27 + 81$$
$$= 13 + 27 + 81$$
$$= 40 + 81$$
$$= 121$$
نلاحظ أن: $$121 = 11^{2}$$
لكن هذه الصيغة ليست الأكثر شيوعاً. يمكن أيضاً كتابتها كـ: $$121 = 11^{2}$$
ملاحظة: في الواقع، هناك صيغة عامة:
$$\sum_{k=0}^{n} a^{k} = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$$
في حالتنا: $$\sum_{k=0}^{4} 3^{k} = \frac{3^{5}-1}{3-1} = \frac{243-1}{2} = \frac{242}{2} = 121$$
لكن $$121 = 11^{2}$$ أيضاً، والإجابة المتوقعة قد تكون: $$3^{5}$$ (لكن $$3^{5} = 243 \neq 121$$)
الإجابة الأصح رياضياً: $$3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4} = 121 = 11^{2}$$
الجواب: $$3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4} = \boxed{11}^{\boxed{2}}$$ أو $$\boxed{121}$$
1) احسب العبارات التالية:
$$A = (3^{2}+2015^{0})^{3} + (3^{2}-2^{3})^{2015}$$
$$B = 7^{2} \times (17-2^{4})^{3} - 2 \times 3^{2} + 5^{2}$$
2) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لـ 1:
$$D = 5^{9} \times 8^{3}$$
$$E = 7^{5} \times 6^{2} - \sqrt{16} \times 7^{5}$$
$$F = 27^{6} + 27^{6} + 27^{6}$$
(أ) حساب A:
$$\text{A}=(3^{2}+2015^{0})^{3}+(3^{2}-2^{3})^{2015}$$
تذكير: $$a^{0} = 1$$ لكل $$a \neq 0$$
$$\text{A}=(9+1)^{3}+(9-8)^{2015}$$
$$\text{A}=(10)^{3}+(1)^{2015}$$
$$\text{A}=1000+1$$
$$\text{A}=1001$$
(ب) حساب B:
$$\text{B}=7^{2}\times(17-2^{4})^{3}-2\times3^{2}+5^{2}$$
$$\text{B}=49\times(17-16)^{3}-2\times9+25$$
$$\text{B}=49\times(1)^{3}-18+25$$
$$\text{B}=49\times1+7$$
$$\text{B}=49+7$$
$$\text{B}=56$$
(ج) حساب المجموع:
$$\text{المجموع} = 3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}$$
$$\text{المجموع} = 1 + 3 + 9 + 27 + 81$$
$$\text{المجموع} = 4 + 9 + 27 + 81$$
$$\text{المجموع} = 13 + 27 + 81$$
$$\text{المجموع} = 40 + 81$$
$$\text{المجموع} = 121$$
(أ) $$\text{D}=5^{9}\times8^{3}$$:
$$\text{D}=5^{9}\times(2^{3})^{3}$$
$$\text{D}=5^{9}\times2^{9}$$
$$\text{D}=(5\times2)^{9}$$
$$\text{D}=10^{9}$$
(ب) $$\text{E}=7^{5}\times6^{2}-\sqrt{16}\times7^{5}$$:
ملاحظة: $$\sqrt{16} = 4$$
$$\text{E}=7^{5}\times6^{2}-4\times7^{5}$$
$$\text{E}=7^{5}\times(6^{2}-4)$$ (عامل مشترك $$7^{5}$$)
$$\text{E}=7^{5}\times(36-4)$$
$$\text{E}=7^{5}\times32$$
$$\text{E}=7^{5}\times2^{5}$$ (لأن $$32 = 2^{5}$$)
$$\text{E}=(7\times2)^{5}$$
$$\text{E}=14^{5}$$
(ج) $$\text{F}=27^{6}+27^{6}+27^{6}$$:
$$\text{F}=3 \times 27^{6}$$
$$\text{F}=3^{1} \times (3^{3})^{6}$$ (لأن $$27 = 3^{3}$$)
$$\text{F}=3^{1} \times 3^{18}$$
$$\text{F}=3^{1+18}$$
$$\text{F}=3^{19}$$
يمثل الشكل التالي شبه منحرف ABCD قائما في A و D وحيث:
قيس الزاوية BCD = 50° و قيس الزاوية ABD = 40°
(1) أحسب كلا من قيس الزاوية BDC و قيس الزاوية ABC معللاً جوابك.
(2) استنتج أن المستقيم (DB) عمودي على المستقيم (BC).
أ) حساب قيس الزاوية BDC:
1. بما أن ABCD شبه منحرف قائم في A و D، فإن قاعدتيه [AB] و [CD] متوازيتان.
إذن: المستقيم (AB) يوازي المستقيم (CD)
2. المستقيم (DB) قاطع للمستقيمين المتوازيين (AB) و (CD).
3. الزاويتان (قيس الزاوية ABD) و (قيس الزاوية BDC) هما زاويتان متبادلتان داخلياً.
إذن: قيس الزاوية BDC = قيس الزاوية ABD
4. بالتعويض: قيس الزاوية BDC = 40°
ب) حساب قيس الزاوية ABC:
1. الزاوية ABC تتكون من مجموع الزاويتين ABD و DBC:
قيس الزاوية ABC = قيس الزاوية ABD + قيس الزاوية DBC
2. نحسب أولاً قيس الزاوية DBC في المثلث BCD.
نحن نعلم أن مجموع زوايا المثلث = 180°
قيس الزاوية DBC = 180° - (قيس الزاوية BCD + قيس الزاوية BDC)
3. بالتعويض:
قيس الزاوية DBC = 180° - (50° + 40°)
قيس الزاوية DBC = 180° - 90°
قيس الزاوية DBC = 90°
4. نحسب قيس الزاوية ABC:
قيس الزاوية ABC = 40° + 90°
قيس الزاوية ABC = 130°
الخطوة 1: تحديد قياس الزاوية بين المستقيمين
لقد وجدنا في السؤال السابق أن قيس الزاوية بين (DB) و (BC) هو:
قيس الزاوية DBC = 90°
الخطوة 2: الاستنتاج
بما أن الزاوية بين المستقيمين تساوي 90°، فإن المستقيمين متعامدان.
الاستنتاج النهائي: المستقيم (DB) عمودي على المستقيم (BC)
نرمز: (DB) ⊥ (BC)
تأمل الشكل التالي حيث قيس الزاوية xOy = 37°
(1)
أ- عين على نصف المستقيم [Ox) نقطة A بحيث OA = 4 cm ثم ارسم دائرة (C) مركزها O و تمر من A.
ب- ابن المستقيم Δ المماس لـ (C) في A. يقطع [Oy) في B. أحسب قيس الزاوية OBA معللاً جوابك.
(2) ابن المستقيم Δ' الموسط العمودي لـ [OA] والذي يقطع [Oy) في I.
أ- حدد بعد النقطة O عن المستقيم Δ' معللاً جوابك.
ب- استنتج الوضعية النسبية للدائرة (C) والمستقيم Δ'.
(3) المستقيم Δ' يقطع الدائرة (C) في نقطتين إحداهما D. بيّن أن: AD = 4 cm.
1. بما أن المستقيم Δ مماس للدائرة (C) في النقطة A، فإن Δ عمودي على الشعاع [OA] في A.
إذن: Δ عمودي على (OA)، أي المثلث OAB هو مثلث قائم الزاوية في A
(قيس الزاوية OAB = 90°)
2. نعلم أن مجموع زوايا المثلث = 180°
قيس الزاوية OBA = 180° - (قيس الزاوية AOB + قيس الزاوية OAB)
3. بالتعويض:
قيس الزاوية AOB = قيس الزاوية xOy = 37°
قيس الزاوية OBA = 180° - (37° + 90°)
قيس الزاوية OBA = 180° - 127°
قيس الزاوية OBA = 53°
1. المستقيم Δ' هو الموسط العمودي لـ [OA].
لتكن M منتصف [OA]
2. البعد بين النقطة O والمستقيم Δ' هو طول القطعة العمودية من O على Δ'.
3. بما أن Δ' عمودي على (OA) في M، فإن هذه المسافة هي OM.
4. M منتصف [OA] و OA = 4 cm
المسافة = OM = OA ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2 cm
الجواب: بعد النقطة O عن Δ' هو 2 cm
1. شعاع الدائرة (C) هو: R = OA = 4 cm
2. بعد المركز O عن المستقيم Δ' هو: d = 2 cm
3. المقارنة:
d = 2 cm و R = 4 cm
نلاحظ أن d < R (البعد أصغر من الشعاع)
4. القاعدة: بما أن المسافة بين المركز والمستقيم أصغر من الشعاع،
فإن المستقيم قاطع للدائرة ويتقاطع معها في نقطتين.
الاستنتاج النهائي: المستقيم Δ' قاطع للدائرة (C)
1. النقطة D تنتمي إلى المستقيم Δ'.
2. المستقيم Δ' هو الموسط العمودي للقطعة [OA].
3. خاصية الموسط العمودي:
كل نقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة هي متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة.
إذن: AD = OD
4. النقطة D تنتمي أيضاً إلى الدائرة (C) مركزها O وشعاعها R = OA = 4 cm
إذن: OD = R = 4 cm
5. بالتعويض نستنتج:
AD = OD = 4 cm
ملخص البرهان: بما أن D تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [OA]، فإن AD = OD، وبما أن D على الدائرة فإن OD = 4 cm، إذن AD = 4 cm