فرض مراقبة عدد 2

(أ) حساب B:

$$\text{B} = 4\times(1+2)^{2}+(2^{3})^{2}\times3+7$$

$$= 4\times9 + 2^{6}\times3+7$$

$$= 36 + 64\times3+7$$

$$= 36 + 192 + 7 = 235$$

(ب) حساب C:

$$\text{C} = 6+28^{0}\times5^{2}-(7\times4-3^{3})^{10}$$

$$= 6+1\times25 - (28-27)^{10}$$

$$= 6+25 - 1 = 30$$

(أ) $$\text{D} = 5^{5}\times25$$

$$\text{D} = 5^{5}\times5^{2} = 5^{7}$$

(ب) $$\text{E} = 16\times(2^{3})^{5}$$

$$\text{E} = 2^{4} \times 2^{15} = 2^{19}$$

(ج) $$25^{5}\times(2^{5})^{2}$$

$$= (5^{2})^{5} \times 2^{10} = 5^{10} \times 2^{10} = 10^{10}$$

(د) $$3^{2}\times(5^{3})^{2}\times(3^{2})^{2}$$

$$= 3^{2} \times 5^{6} \times 3^{4} = 3^{6} \times 5^{6} = 15^{6}$$

$$\text{F} = (8\times5)^{2}\times5^{4} = 40^{2}\times5^{4}$$

$$= (2^{3}\times5)^{2}\times5^{4} = 2^{6}\times5^{2}\times5^{4}$$

$$= 2^{6}\times5^{6} = 10^{6}$$

$$81 = 3^{4}$$, $$49^{2} = 7^{4}$$

$$81\times49^{2} = 3^{4} \times 7^{4}$$

الجواب: $$3^{4} \times 7^{4}$$

$$3\times10^{2} = 300 < 365$$

$$4\times10^{2} = 400 > 365$$

الجواب: $$3\times10^{2} < 365 < 4\times10^{2}$$

$$32\times125^{2}\times2 = 2^{5} \times (5^{3})^{2} \times 2$$

$$= 2^{6} \times 5^{6} = 10^{6}$$

الجواب: $$10^{6}$$

$$10^{z}\times5^{3} = 2^{z}\times5^{z+3}$$

بالمقارنة: $$z = 4$$, إذن $$5^{z+3} = 5^{7}$$

الجواب: $$2^{4}\times5^{7} = 10^{4}\times5^{3}$$

$$a=3^{4}\times5^{4}\times(2^{4}\times3-8)^{2}$$

$$2^{4}\times3-8 = 16\times3-8 = 48-8 = 40$$

$$a = 3^{4}\times5^{4}\times40^{2}$$

$$= (3\times5)^{4}\times40^{2} = 15^{4}\times40^{2}$$

✓ تم الإثبات

$$a = 3^{4}\times5^{4}\times40^{2}$$

$$40 = 2^{3}\times5$$

$$a = 3^{4}\times5^{4}\times(2^{3}\times5)^{2}$$

$$= 3^{4}\times5^{4}\times2^{6}\times5^{2}$$

$$= 3^{4}\times2^{6}\times5^{6}$$

$$= 81\times(2\times5)^{6} = 81\times10^{6}$$

✓ تم الإثبات

$$b=3^{6}\times10^{7}-9\times30^{6}$$

$$= 3^{6}\times10\times10^{6}-3^{2}\times(3\times10)^{6}$$

$$= 3^{6}\times10\times10^{6}-3^{2}\times3^{6}\times10^{6}$$

$$= 3^{6}\times10^{6}(10-3^{2})$$

$$= 3^{6}\times10^{6}(10-9) = 3^{6}\times10^{6}$$

$$= (3\times10)^{6} = 30^{6}$$

✓ تم الإثبات

$$b-a = 30^{6} - 81\times10^{6}$$

$$= (3\times10)^{6} - 81\times10^{6}$$

$$= 3^{6}\times10^{6} - 81\times10^{6}$$

$$= (3^{6}-81)\times10^{6}$$

$$= (729-81)\times10^{6}$$

$$= 648\times10^{6}$$

✓ تم الإثبات

الخطوة 1: حساب الزاوية $$\angle BAC$$

بما أن $$\angle DAC = 55°$$ و $$\angle BAF = 35°$$

والزاوية $$\angle FAD$$ هي زاوية مستقيمة = $$180°$$

$$\angle BAC = \angle FAD - \angle BAF - \angle DAC$$

$$\angle BAC = 180° - 35° - 55° = 90°$$

الجواب: بما أن $$\angle BAC = 90°$$، فإن المستقيمين $$(AB)$$ و $$(AC)$$ متعامدان.

التعليل: مجموع الزوايا المجاورة على استقامة واحدة يساوي $$180°$$.

الخطوة 1: استخدام المعطى

لدينا: $$(BE) // (AC)$$

من السؤال السابق: $$(AB) \perp (AC)$$

الخطوة 2: تطبيق الخاصية

بما أن $$(BE) // (AC)$$ و $$(AB) \perp (AC)$$

إذن: $$(AB) \perp (BE)$$

الجواب: المستقيمان $$(AB)$$ و $$(BE)$$ متعامدان.

التعليل: إذا كان مستقيم عمودي على أحد مستقيمين متوازيين، فهو عمودي على الآخر.

الخطوة 1: تحديد العمودي من $$E$$ إلى $$(AC)$$

بما أن $$(BE) // (AC)$$ و $$(AB) \perp (AC)$$

فإن $$(AB) \perp (BE)$$ أيضاً

إذن $$(AB)$$ هو العمودي المشترك بين المتوازيين $$(BE)$$ و $$(AC)$$

الخطوة 2: حساب المسافة

بعد $$E$$ عن $$(AC)$$ = المسافة بين المتوازيين $$(BE)$$ و $$(AC)$$

= طول القطعة العمودية = $$AB = 3 \text{ cm}$$

الجواب: بعد النقطة $$E$$ عن المستقيم $$(AC)$$ هو $$3 \text{ cm}$$.

التعليل: المسافة بين متوازيين هي طول العمودي المشترك بينهما.

الخطوة 1: تحديد عناصر الدائرة

مركز الدائرة: $$E$$

الشعاع: $$R = EB = 2 \text{ cm}$$ (الدائرة تمر من $$B$$)

الخطوة 2: حساب المسافة من المركز $$E$$ إلى المستقيم $$(AC)$$

من السؤال السابق: $$d = 3 \text{ cm}$$

الخطوة 3: المقارنة

$$d = 3 \text{ cm} > R = 2 \text{ cm}$$

الجواب: الدائرة $$\mathcal{C}$$ والمستقيم $$(AC)$$ **خارجيان** (لا يتقاطعان).

التعليل: المسافة من المركز إلى المستقيم (3 cm) أكبر من الشعاع (2 cm).

الخطوة 1: تحديد المسافة من المركز $$E$$ إلى المستقيم $$(AB)$$

بما أن $$(AB) \perp (BE)$$ و $$E$$ تنتمي إلى $$(BE)$$

فإن العمودي من $$E$$ إلى $$(AB)$$ ينزل على النقطة $$B$$

إذن المسافة: $$d = EB = 2 \text{ cm}$$

الخطوة 2: المقارنة

الشعاع: $$R = EB = 2 \text{ cm}$$

$$d = R = 2 \text{ cm}$$

الجواب: الدائرة $$\mathcal{C}$$ والمستقيم $$(AB)$$ **متماسان**.

التعليل: المسافة من المركز إلى المستقيم تساوي الشعاع، والنقطة $$B$$ هي نقطة التماس.

بما أن النقاط $$F$$، $$A$$، $$D$$ على استقامة واحدة

والنقاط $$B$$، $$A$$، $$C$$ تشكل زاوية

فإن $$\angle DAC$$ و $$\angle BAF$$ **متقابلتان بالرأس**

الجواب: الزاويتان $$\angle DAC$$ و $$\angle BAF$$ **متقابلتان بالرأس**.

الزاوية المتجاورة والمتكاملة مع $$\angle DAC$$ هي $$\angle DAB$$

لأن: $$\angle DAC + \angle DAB = \angle CAB + \angle DAC + \angle BAF = 90° + 55° + 35° = 180°$$

أو ببساطة: $$\angle DAB$$ والزاوية $$\angle DAC$$ متجاورتان على المستقيم $$(AC)$$

الجواب: الزاويتان $$\angle DAC$$ و $$\angle CAB$$ (أو $$\angle BAC$$) متجاورتان ومتكاملتان.