فرض مراقبة عدد 1

(أ) حساب A:

$$\text{A} = 3^{3} + 3^{2}$$

$$\text{A} = 27 + 9$$

$$\text{A} = 36$$

---

(ب) حساب B:

$$\text{B} = 7^{2} \times 35 \times 5^{2}$$

$$\text{B} = 7^{2} \times (7 \times 5) \times 5^{2}$$

$$\text{B} = (7^{2} \times 7^{1}) \times (5^{1} \times 5^{2})$$

$$\text{B} = 7^{2+1} \times 5^{1+2}$$

$$\text{B} = 7^{3} \times 5^{3}$$

$$\text{B} = (7 \times 5)^{3}$$

$$\text{B} = 35^{3}$$

$$\text{B} = 42875$$

---

(ج) حساب C: (بافتراض $\text{C} = (2 \times 3) + 5^{2} (1 + 2^{2})^{0}$)

$$\text{C} = 6 + 5^{2} \times (1 + 4)^{0}$$

$$\text{C} = 6 + 5^{2} \times (5)^{0}$$

$$\text{C} = 6 + 25 \times 1$$

$$\text{C} = 6 + 25$$

$$\text{C} = 31$$

---

(د) حساب D:

$$\text{D} = 2^{3} \times 5^{4}$$

$$\text{D} = 2^{3} \times 5^{3} \times 5^{1}$$

$$\text{D} = (2 \times 5)^{3} \times 5$$

$$\text{D} = 10^{3} \times 5$$

$$\text{D} = 1000 \times 5$$

$$\text{D} = 5000$$

---

(هـ) حساب E:

$$\text{E} = 5^{2} \times 2^{2} - 5^{2} \times 2^{3}$$

$$\text{E} = 5^{2} \times (2^{2} - 2^{3})$$ (عامل مشترك $5^2$)

$$\text{E} = 25 \times (4 - 8)$$

$$\text{E} = 25 \times (-4)$$

$$\text{E} = -100$$

(أ) $$16 \times (5^{2})^{2}$$

$$16 \times (5^{2})^{2} = 2^{4} \times 5^{2 \times 2}$$

$$= 2^{4} \times 5^{4}$$

$$= (2 \times 5)^{4}$$ (قاعدة: $a^n \times b^n = (ab)^n$)

$$= 10^{4}$$

---

(ب) $$2^{3} \times 75 + 2^{3} \times 50$$

$$2^{3} \times 75 + 2^{3} \times 50 = 2^{3} \times (75 + 50)$$ (عامل مشترك $2^3$)

$$= 2^{3} \times 125$$

$$= 2^{3} \times 5^{3}$$ (تحويل $125 = 5^3$)

$$= (2 \times 5)^{3}$$

$$= 10^{3}$$

(أ) $$3^{5} \times 2^{\text{.....}} = 6^{5}$$

$$3^{5} \times 2^{\text{.....}} = 3^{5} \times 2^{5}$$

الجواب: الفراغ هو 5

---

(ب) $$(3^{2} \times 5^{\text{.........}})^{3} = 3^{\text{......}} \times 5^{9}$$

الطرف الأيسر: $$(3^{2} \times 5^{n})^{3} = 3^{2 \times 3} \times 5^{n \times 3} = 3^{6} \times 5^{3n}$$

الطرف الأيمن: $$3^{\text{m}} \times 5^{9}$$

بالمقارنة: $$m = 6$$ و $$3n = 9$$، أي $$n = 3$$

الجواب: الفراغات هي 3 و 6

---

(ج) $$2^{4} \times 5^{\text{......}} = 10^{\text{.......}} \times 5^{2}$$

نسمي الفراغ الأول $n$ والثاني $m$:

$$2^{4} \times 5^{n} = 10^{m} \times 5^{2}$$

$$2^{4} \times 5^{n} = (2 \times 5)^{m} \times 5^{2}$$

$$2^{4} \times 5^{n} = 2^{m} \times 5^{m} \times 5^{2}$$

$$2^{4} \times 5^{n} = 2^{m} \times 5^{m+2}$$

بالمقارنة بين أسس 2: $$m = 4$$

بالمقارنة بين أسس 5: $$n = m + 2$$

بالتعويض: $$n = 4 + 2 = 6$$

الجواب: الفراغات هي 6 و 4

الخطوة 1: كتابة أبعاد المستطيل

البعد الأول (الطول أو العرض): $$\text{L} = 3 \times 8$$

البعد الثاني (العرض أو الطول): $$\text{l} = 9 \times 2$$

الخطوة 2: حساب المساحة S

$$S = \text{L} \times \text{l}$$

$$S = (3 \times 8) \times (9 \times 2)$$

$$S = 3 \times (2^{3}) \times (3^{2}) \times 2$$

الخطوة 3: تجميع العوامل المتشابهة

$$S = (3^{1} \times 3^{2}) \times (2^{3} \times 2^{1})$$

$$S = 3^{1+2} \times 2^{3+1}$$

$$S = 3^{3} \times 2^{4}$$

الخطوة 4: الكتابة في صيغة قوة للعدد 6 (تحويل $2^4 = 2^3 \times 2^1$)

$$S = 3^{3} \times 2^{3} \times 2$$

$$S = (3 \times 2)^{3} \times 2$$

$$S = 6^{3} \times 2$$

الخطوة 1: تحديد مساحة المربع

مساحة المربع $S'$ = مساحة المستطيل $S$

$$S' = 432$$

الخطوة 2: إيجاد طول الضلع $\text{c}$

$$\text{c}^{2} = 432$$

$$\text{c} = \sqrt{432}$$

$$\text{c} = \sqrt{144 \times 3} = 12 \sqrt{3}$$

بافتراض خطأ في السؤال وكان المطلوب هو مساحة $36^2 = (6^2)^2 = 6^4$:

طول الضلع $\text{c} = \sqrt{6^4} = 6^{4/2} = 6^2 = 36$ متر

الجواب بناءً على النص الأصلي: طول الضلع $\text{c} = \sqrt{432}$ متر. بما أن $432$ ليس مربعاً كاملاً، يجب تركه كقيمة دقيقة.

لدينا: $$a = 56 \times 41 + 48$$

• المقسوم هو $a$
• القاسم المقترح هو 56
• الخارج المقترح هو 41
• الباقي المقترح هو 48

التحقق من الشرط: $$0 \le 48 < 56$$

بما أن $$48 < 56$$ (الباقي أصغر من القاسم)، فإن الكتابة تمثل قسمة إقليدية.

الجواب: نعم، الكتابة تمثل قسمة إقليدية. القاسم هو 56.

لدينا: $$b = 19 \times 56 + 120$$

القاسم هو 56، لكن الباقي المقترح هو 120، وهو ليس أصغر من 56 ($120 \ge 56$).

يجب إجراء قسمة إقليدية جديدة للباقي على القاسم:

الخطوة 1: قسمة 120 على 56

$$120 = 56 \times 2 + 8$$ (لأن $56 \times 2 = 112$، والباقي $120 - 112 = 8$)

الخطوة 2: تعويض الباقي في معادلة $b$

$$b = 19 \times 56 + (56 \times 2 + 8)$$

$$b = 19 \times 56 + 2 \times 56 + 8$$

$$b = (19 + 2) \times 56 + 8$$ (عامل مشترك 56)

$$b = 21 \times 56 + 8$$

التحقق من الشرط: $$0 \le 8 < 56$$ (صحيح)

الجواب: خارج القسمة الإقليدية للعدد $b$ على 56 هو 21، والباقي هو 8.

الخطوة 1: كتابة $a$ و $b$ بصيغة القسمة الإقليدية على 56

• $$a = 56 \times 41 + 48$$
• $$b = 56 \times 21 + 8$$

الخطوة 2: حساب المجموع $c = a + b$

$$c = (56 \times 41 + 48) + (56 \times 21 + 8)$$

$$c = 56 \times 41 + 56 \times 21 + 48 + 8$$

$$c = 56 \times (41 + 21) + 56$$

$$c = 56 \times 62 + 56 \times 1$$

$$c = 56 \times (62 + 1)$$

$$c = 56 \times 63$$

بما أن $c$ يُكتب في صيغة $56 \times k$ ($k = 63$)

الجواب: العدد $c = a + b$ هو مضاعف لـ 56.

الخطوة 1: تحليل $c = 56 \times 63$

نفكك العددين 56 و 63:

• $$56 = 7 \times 8 = 7 \times 2^{3}$$
• $$63 = 7 \times 9 = 7 \times 3^{2}$$

الخطوة 2: كتابة $c$ كجذاء عوامل أولية

$$c = 56 \times 63$$

$$c = (2^{3} \times 7) \times (3^{2} \times 7)$$

$$c = 2^{3} \times 3^{2} \times 7^{1} \times 7^{1}$$

$$c = 2^{3} \times 3^{2} \times 7^{2}$$

الجواب: التفكيك إلى جذاء عوامل أولية هو $$c = 2^{3} \times 3^{2} \times 7^{2}$$

الخطوة 1: إجراء القسمات المتتالية

• $$540 \div 2 = 270$$
• $$270 \div 2 = 135$$
• $$135 \div 3 = 45$$
• $$45 \div 3 = 15$$
• $$15 \div 3 = 5$$
• $$5 \div 5 = 1$$

الخطوة 2: كتابة التفكيك

$$d = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5$$

$$d = 2^{2} \times 3^{3} \times 5^{1}$$

الجواب: التفكيك هو $$d = 2^{2} \times 3^{3} \times 5$$

التفكيكات:

• $$c = 2^{3} \times 3^{2} \times 7^{2}$$
• $$d = 2^{2} \times 3^{3} \times 5$$

الخطوة 1: تحديد العوامل المشتركة: $2$ و $3$.

الخطوة 2: تحديد أصغر أس لكل عامل مشترك:

• للعامل 2: أصغر أس هو 2 (بين $2^3$ و $2^2$)
• للعامل 3: أصغر أس هو 2 (بين $3^2$ و $3^3$)

الخطوة 3: حساب القاسم المشترك الأكبر

$$\text{GCD}(c, d) = 2^{\min(3, 2)} \times 3^{\min(2, 3)} \times 5^{0} \times 7^{0}$$

$$\text{GCD}(c, d) = 2^{2} \times 3^{2}$$

$$\text{GCD}(c, d) = 4 \times 9$$

$$\text{GCD}(c, d) = 36$$

الجواب: القاسم المشترك الأكبر لـ $c$ و $d$ هو 36.

الشعاع $R = OA = 3 \text{cm}$

1) أ: إنشاء $\Delta$ و B

• المستقيم $\Delta$ مماس لـ $\mathcal{C}$ في $A$ يعني أن $\Delta \perp (OA)$ في $A$.
• المثلث $OAB$ قائم الزاوية في $A$ لأن $\Delta = (AB)$ عمودي على $(OA)$.
• أطوال الأضلاع: $OA = 3 \text{cm}$ (شعاع)، $AB = 4 \text{cm}$ (معطى).
• باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث $OAB$: $$OB^{2} = OA^{2} + AB^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$$ $$\text{إذن: } OB = 5 \text{cm}$$

1) ب: إنشاء $\Delta'$

• $\Delta'$ هو **الموسط العمودي** للقطعة $[AB]$، يقطع $[AB]$ في منتصفها $I$.
• $I$ منتصف $[AB]$، إذن $AI = IB = 4/2 = 2 \text{cm}$.
• $\Delta' \perp (AB)$ في $I$.

البرهان:

1) المستقيم $\Delta$ مماس للدائرة $\mathcal{C}$ في $A$.

2) المستقيم $(OA)$ هو الشعاع الذي يمر بمركز الدائرة $O$ والنقطة $A$.

3) حسب خاصية المماس: المستقيم المماس عمودي على الشعاع في نقطة التماس.

إذن: $$\Delta \perp (OA)$$ في $A$.

الجواب: المستقيمان $\Delta$ و $(OA)$ **متعامدان** (عموديان على بعضهما).

التعليل: لأن $\Delta$ مماس للدائرة $\mathcal{C}$ في النقطة $A$، وحسب خاصية المماس، فإن المماس عمودي على الشعاع $(OA)$ في نقطة التماس.

1) $\Delta'$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$، إذن $\Delta' \perp (AB)$ في $I$.

2) بعد النقطة $O$ عن $\Delta'$ هو طول العمودي النازل من $O$ إلى $\Delta'$.

3) بما أن $\Delta' \perp (AB) = \Delta$ في $I$، وأن $(OA) \perp \Delta$، فإن $(OI)$ يمثل المسافة من $O$ إلى المستقيم $\Delta'$.

4) في المثلث القائم $OAI$ (قائم في $A$ لأن $(OA) \perp \Delta$):

$OA = 3 \text{cm}$ (شعاع)، $AI = 2 \text{cm}$ (نصف $AB$)

باستخدام نظرية فيثاغورس: $$OI^{2} = OA^{2} + AI^{2}$$

$$OI^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13$$

$$OI = \sqrt{13} \text{cm}$$

الجواب الأصح: بعد النقطة $O$ عن المستقيم $\Delta'$ هو $d = AI = 2 \text{cm}$.

التعليل: لأن $\Delta'$ و $(OA)$ متوازيان (كلاهما عمودي على $\Delta$)، والمسافة بين المتوازيين هي طول العمودي المشترك $AI = 2 \text{cm}$.

قاعدة الوضعية النسبية:

• المستقيم قاطع للدائرة إذا كانت المسافة من المركز إلى المستقيم $d < R$ (الشعاع).

1) مركز الدائرة هو $O$. شعاعها $R = 3 \text{cm}$.

2) المستقيم هو $\Delta'$.

3) المسافة $d$ من المركز $O$ إلى المستقيم $\Delta'$ هي $d = 2 \text{cm}$ (من السؤال السابق).

4) المقارنة: $$d = 2 \text{cm} < R = 3 \text{cm}$$

الجواب: نعم، الدائرة $\mathcal{C}$ والمستقيم $\Delta'$ **متقاطعان**.

التعليل: لأن المسافة من مركز الدائرة $O$ إلى المستقيم $\Delta'$ تساوي $2 \text{cm}$، وهي أصغر من الشعاع $R = 3 \text{cm}$. حسب القاعدة، عندما $d < R$، يكون المستقيم قاطعاً للدائرة في نقطتين.

1) $M$ و $N$ هما نقطتا تقاطع المستقيم $\Delta'$ مع الدائرة $\mathcal{C}$.

2) $[MN]$ هو وتر في الدائرة $\mathcal{C}$.

3) $H$ منتصف الوتر $[MN]$، و $O$ مركز الدائرة.

4) حسب الخاصية: المستقيم $(OH)$ الذي يمر من مركز الدائرة ومنتصف الوتر يكون عمودياً على الوتر.

إذن: $$(OH) \perp [MN]$$

أي: $$(OH) \perp \Delta'$$ (لأن $[MN]$ جزء من $\Delta'$)

5) من السؤال 2، لدينا: $$\Delta \perp (OA)$$

6) من السؤال 3، لدينا: $$\Delta' // (OA)$$ (لأن كلاهما عمودي على $\Delta$)

7) بما أن $(OH) \perp \Delta'$ و $\Delta' // (OA)$، فإن: $$(OH) \perp (OA)$$

8) وبما أن $\Delta \perp (OA)$، فإن: $$(OH) // \Delta$$ (لأن كلاهما عمودي على $(OA)$)

الجواب: نعم، $(OH) // \Delta$.

التعليل: لأن $(OH)$ عمودي على $(OA)$ (كما أثبتنا)، و $\Delta$ عمودي على $(OA)$ (من خاصية المماس). حسب القاعدة، مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث يكونان متوازيين، إذن $(OH) // \Delta$.