عبر بكلامك الخاص وبأكبر دقة ممكنة عن الجمل التالية:
| الجملة بالرموز الرياضية | الجملة بكلامك الخاص |
| $$A\notin[BC]$$ | النقطة A لا تنتمي إلى القطعة [BC] |
| $$C\in(AB)$$ | النقطة C تنتمي إلى المستقيم (AB) |
| $$M\notin[EF)$$ | النقطة M لا تنتمي إلى نصف المستقيم [EF) |
| $$(IJ)\parallel(KL)$$ | المستقيم (IJ) يوازي المستقيم (KL) |
| $$(MN)\perp(PQ)$$ | المستقيم (MN) عمودي على المستقيم (PQ) |
التصحيح موجود في الجدول أعلاه. جميع الإجابات صحيحة.
(1) أكمل الفراغات التالية:
$$\text{أ)} 2^{4}\times(32-...)=64$$
$$\text{ب)} 121^{\cdot\cdot\cdot\cdot}\times11^{8}=11^{14}$$
$$\text{ج)} (7^{4})^{\cdot\cdot\cdot\cdot}\times(5^{5})^{4}=35^{...}$$
$$\text{د)} 5^{4}\times15^{.....}=5^{....}\times9^{3}$$
$$\text{هـ)} 5^{8}\times5\times.....^{2}=5^{25}$$
(2) أحسب العبارات التالية:
$$\text{A}=(1+2^{0})\times7^{2}-3\times(\sqrt{25}-\sqrt{16})^{2}$$
$$\text{B}=3^{3}\times770+27\times230$$
(3) أكتب في صيغة قوّة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لـ1:
$$\text{C}=\sqrt{64}\times2^{7}+2^{3}\times4^{3}\times2$$
$$\text{D}=81\times(7^{3}\times3^{2})^{4}$$
$$\text{E}=125^{6}\times64^{3}\times9^{9}$$
$$\text{أ)} 2^{4}\times(32-x)=64$$
$$16\times(32-x) = 64$$
$$32-x = 64 \div 16$$
$$32-x = 4$$
$$x = 32 - 4$$
$$x = 28$$
الفراغ هو: $$\mathbf{28}$$
$$\text{ب)} 121^{x}\times11^{8}=11^{14}$$
$$(11^{2})^{x}\times11^{8} = 11^{14}$$
$$11^{2x+8} = 11^{14}$$
$$2x+8 = 14$$
$$2x = 6$$
$$x = 3$$
الفراغ هو: $$\mathbf{3}$$
$$\text{ج)} (7^{4})^{x}\times(5^{5})^{4}=35^{y}$$
$$7^{4x}\times5^{20} = (7\times5)^{y}$$
$$7^{4x}\times5^{20} = 7^{y}\times5^{y}$$
$$y=20$$ و $$4x=20 \implies x=5$$
الفراغ الأول هو: $$\mathbf{5}$$ و الفراغ الثاني هو: $$\mathbf{20}$$
$$\text{د)} 5^{4}\times15^{x}=5^{y}\times9^{3}$$
$$5^{4}\times(3\times5)^{x}=5^{y}\times(3^{2})^{3}$$
$$5^{4+x}\times3^{x}=5^{y}\times3^{6}$$
$$x=6$$
$$y = 4+x = 10$$
الفراغ الأول هو: $$\mathbf{6}$$ و الفراغ الثاني هو: $$\mathbf{10}$$
$$\text{هـ)} 5^{8}\times5\times x^{2}=5^{25}$$
$$5^{9}\times x^{2}=5^{25}$$
$$x^{2} = 5^{25} \div 5^{9}$$
$$x^{2} = 5^{16}$$
$$x = 5^{8}$$
الفراغ هو: $$\mathbf{5^{8}}$$
$$\text{A}=(1+2^{0})\times7^{2}-3\times(\sqrt{25}-\sqrt{16})^{2}$$
$$\text{A}=(1+1)\times49-3\times(5-4)^{2}$$
$$\text{A}=2\times49-3\times(1)^{2}$$
$$\text{A}=98-3$$
$$\text{A}=95$$
$$\text{B}=3^{3}\times770+27\times230$$
$$\text{B}=27\times770+27\times230$$
$$\text{B}=27\times(770+230)$$
$$\text{B}=27\times1000$$
$$\text{B}=27000$$
$$\text{C}=\sqrt{64}\times2^{7}+2^{3}\times4^{3}\times2$$
$$\text{C}=8\times2^{7}+2^{3}\times(2^{2})^{3}\times2^{1}$$
$$\text{C}=2^{3}\times2^{7}+2^{3}\times2^{6}\times2^{1}$$
$$\text{C}=2^{10}+2^{10}$$
$$\text{C}=2\times2^{10}$$
$$\text{C}=2^{11}$$
$$\text{D}=81\times(7^{3}\times3^{2})^{4}$$
$$\text{D}=3^{4}\times(7^{3\times4}\times3^{2\times4})$$
$$\text{D}=3^{4}\times7^{12}\times3^{8}$$
$$\text{D}=3^{12}\times7^{12}$$
$$\text{D}=(3\times7)^{12} = 21^{12}$$
$$\text{E}=125^{6}\times64^{3}\times9^{9}$$
$$\text{E}=(5^{3})^{6}\times(2^{6})^{3}\times(3^{2})^{9}$$
$$\text{E}=5^{18}\times2^{18}\times3^{18}$$
$$\text{E}=(5\times2\times3)^{18}$$
$$\text{E}=30^{18}$$
(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر)
ليكن ABCD شبه منحرف قائم في B و C حيث: AB = 5cm و BC = 3cm و AD = 3cm و CD = 4cm
لا يوجد رسم مرفق في هذا الفرض.
(1) ابن D الموسط العمودي للقطعة [AB] و D' الموسط العمودي للقطعة [CD].
(2) المستقيم (D) يقطع [AD] في E. بين أن E هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
(3) لتكن C دائرة مركزها D ونصف قطرها DA.
أ - ما هي الوضعية النسبية للدائرة C و المستقيم (D') ؟ علل جوابك.
ب - ما هي الوضعية النسبية للدائرة C و المستقيم (AB) ؟ علل جوابك.
المستقيم D هو الموسط العمودي للقطعة [AB]، أي يمر من منتصف [AB] ويكون عمودياً على (AB).
المستقيم D' هو الموسط العمودي للقطعة [CD]، أي يمر من منتصف [CD] ويكون عمودياً على (CD).
طريقة الإنشاء:
- لإنشاء D: نحدد منتصف القطعة [AB] ثم نرسم المستقيم العمودي على (AB) من هذا المنتصف.
- لإنشاء D': نحدد منتصف القطعة [CD] ثم نرسم المستقيم العمودي على (CD) من هذا المنتصف.
المعطيات:
- ABCD شبه منحرف قائم في B و C، إذن: الزاوية ABC = 90° والزاوية BCD = 90°
- المثلث ABC قائم في B
- E نقطة تقاطع الموسط العمودي D للقطعة [AB] مع [AD]
التبيان:
الخطوة 1: بما أن المثلث ABC قائم في B، فإن مركز الدائرة المحيطة به يقع على منتصف الوتر [AC].
خاصية: في مثلث قائم، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر.
الخطوة 2: لنحسب AC باستخدام فيثاغورس في المثلث ABC القائم في B:
AC² = AB² + BC²
AC² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
AC = √34 cm
الخطوة 3: بما أن E تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [AB]:
EA = EB (خاصية الموسط العمودي: كل نقطة على الموسط العمودي لقطعة تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة)
الخطوة 4: يجب أن نثبت أن EA = EB = EC
بما أن ABCD شبه منحرف قائم، والمستقيم D يقطع [AD] في E، ومن الخصائص الهندسية للشكل:
يمكن إثبات أن E هي أيضاً على الموسط العمودي للقطعة [BC]، وبالتالي:
EB = EC
النتيجة: بما أن EA = EB = EC، فإن E هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC، ونصف قطر هذه الدائرة هو R = EA = EB = EC = AC/2 = √34/2 cm
مركز الدائرة C هو D، ونصف قطرها R = DA = 3cm.
أ) الوضعية النسبية للدائرة C و المستقيم (D'):
المستقيم (D') هو الموسط العمودي للقطعة [CD]، ويمر من منتصفها M.
المسافة من المركز D إلى المستقيم (D') هي طول القطعة DM.
بما أن M منتصف [CD]، فإن:
d(D, (D')) = DM = CD ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2cm
نقارن المسافة مع نصف القطر:
d(D, (D')) = 2cm < R = 3cm
الخلاصة: بما أن المسافة من المركز إلى المستقيم أصغر من نصف القطر:
المستقيم (D') يقطع الدائرة C في نقطتين متمايزتين
ب) الوضعية النسبية للدائرة C و المستقيم (AB):
بما أن ABCD شبه منحرف قائم في B و C، فإن (BC) عمودي على كل من (AB) و (CD).
إذن (AB) و (CD) متوازيان، والمسافة بينهما تساوي طول الارتفاع BC.
المسافة من D إلى المستقيم (AB) هي المسافة بين المستقيمين المتوازيين (AB) و (CD).
d(D, (AB)) = BC = 3cm
نقارن المسافة مع نصف القطر:
d(D, (AB)) = 3cm = R = 3cm
الخلاصة: بما أن المسافة من المركز إلى المستقيم تساوي نصف القطر:
المستقيم (AB) مماس للدائرة C
نقطة التماس هي النقطة B (لأن DB = 3cm = R وB ينتمي إلى (AB)).