(1) عوّض النقاط بما يناسب:
$$\text{أ)} (2^{2}+2^{2})^{2}=2^{\text{....}}$$
$$\text{ب)} 8^{\text{....}}\times2^{9}=2^{21}$$
(2) أحسب:
$$\text{A}=2^{2}\times(0^{21}\times5^{4}+5^{2})$$
$$\text{B}=2^{2}+3^{2}\times5^{0}-2^{3}+1^{3}$$
(3) أكتب في صيغة قوّة عدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:
$$\text{C}=27^{2}\times3$$
$$\text{D}=8^{4}\times6^{5}\times3^{12}$$
$$\text{E}=5^{41}\times20+5^{42}$$
$$\text{F}=49\times\sqrt{49}$$
$$\text{G}=125000$$
$$\text{H}=3^{8}\times85-81^{2}\times58$$
أ) $$(2^{2}+2^{2})^{2}=2^{\text{....}}$$
$$(2^{2}+2^{2})^{2} = (4+4)^{2} = 8^{2} = 64$$
$$(2^{2}+2^{2})^{2} = (2\times2^{2})^{2} = (2^{3})^{2} = 2^{6} = 64$$
الفراغ هو: $$\mathbf{6}$$
ب) $$8^{\text{....}}\times2^{9}=2^{21}$$
نكتب $$8 = 2^3$$:
$$(2^{3})^{x}\times2^{9} = 2^{21}$$
$$2^{3x+9} = 2^{21}$$
$$3x+9 = 21 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$$
الفراغ هو: $$\mathbf{4}$$
A: $$\text{A}=2^{2}\times(0^{21}\times5^{4}+5^{2})$$
$$\text{A}=4\times(0+25) = 4\times25 = 100$$
B: $$\text{B}=2^{2}+3^{2}\times5^{0}-2^{3}+1^{3}$$
$$\text{B}=4+9\times1-8+1 = 4+9-8+1 = 6$$
C: $$27^{2}\times3 = (3^{3})^{2}\times3^{1} = 3^{6}\times3^{1} = 3^{7}$$
D: $$8^{4}\times6^{5}\times3^{12} = (2^{3})^{4}\times(2\times3)^{5}\times3^{12}$$
$$= 2^{12}\times2^{5}\times3^{5}\times3^{12} = 2^{17}\times3^{17} = 6^{17}$$
E: $$5^{41}\times20+5^{42} = 5^{41}(20+5) = 5^{41}\times25 = 5^{41}\times5^{2} = 5^{43}$$
F: $$49\times\sqrt{49} = 7^{2}\times7 = 7^{3}$$
G: $$125000 = 125\times1000 = 5^{3}\times10^{3} = 50^{3}$$
H: $$3^{8}\times85-81^{2}\times58 = 3^{8}\times85-3^{8}\times58 = 3^{8}(85-58) = 3^{8}\times27 = 3^{11}$$
(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر)
في الرسم المرافق (BE) يوازي (AC) و $$\widehat{DAC}=55°$$ و $$EB=2$$ و $$AB=3$$ و $$\widehat{BAF}=35°$$
النقط F و A و D على استقامة واحدة
(1)
أ - بيّن أن المستقيمين (AB) و (AC) متعامدان.
ب - استنتج أن المستقيمين (AB) و (BE) متعامدان.
(2) حدّد بعد النقطة E عن المستقيم (AC). علّل جوابك.
(3) لتكن C دائرة مركزها E وتمر من B.
أ - ماهي الوضعية النسبية للدائرة C و المستقيم (AC) ؟ علّل جوابك.
ب - ماهي الوضعية النسبية للدائرة C و المستقيم (AB) ؟ علّل جوابك.
(4) أكمل بما يناسب:
أ- الزاويتان $$\widehat{DAC}$$ و $$\widehat{BAF}$$ .....................................................
ب - الزاويتان $$\widehat{DAC}$$ و .................. متجاورتان و متكاملتان.
أ) بيان أن (AB) ⊥ (AC):
المعطيات: D, A, F على استقامة واحدة، $$\widehat{DAC}=55°$$، $$\widehat{BAF}=35°$$
الحل:
بما أن D و A و F على استقامة واحدة: $$\widehat{DAF}=180°$$ (زاوية مستقيمة)
$$\widehat{DAF} = \widehat{DAC} + \widehat{CAB} + \widehat{BAF}$$
$$180° = 55° + \widehat{CAB} + 35°$$
$$\widehat{CAB} = 180° - 90° = 90°$$
النتيجة: (AB) ⊥ (AC)
ب) استنتاج أن (AB) ⊥ (BE):
الخاصية: إذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين، فهو عمودي على الآخر
بما أن: (AB) ⊥ (AC) و (BE) // (AC)
النتيجة: (AB) ⊥ (BE)
التحليل:
(BE) // (AC) ⇒ المسافة بين المستقيمين ثابتة
(AB) ⊥ (AC) ⇒ المسافة من B إلى (AC) هي AB
الحساب:
المسافة من E إلى (AC) = المسافة من B إلى (AC) = AB = 3 cm
التعليل: لأن (BE) يوازي (AC)، فالمسافة العمودية من أي نقطة على (BE) إلى (AC) ثابتة وتساوي AB
النتيجة: بعد E عن (AC) هو 3 cm
معطيات: مركز الدائرة E، نصف القطر R = EB = 2 cm
أ) الوضعية مع (AC):
المسافة: d(E, (AC)) = 3 cm (من السؤال 2)
المقارنة: d > R (3 > 2)
النتيجة: المستقيم (AC) خارجي بالنسبة للدائرة
التعليل: لأن المسافة من المركز إلى المستقيم أكبر من نصف القطر
ب) الوضعية مع (AB):
بما أن (AB) ⊥ (BE) في B، و B ينتمي إلى (AB)
المسافة: d(E, (AB)) = EB = 2 cm
المقارنة: d = R (2 = 2)
النتيجة: المستقيم (AB) مماس للدائرة
التعليل: لأن المسافة من المركز إلى المستقيم تساوي نصف القطر، ونقطة التماس هي B
أ) الزاويتان $$\widehat{DAC}$$ و $$\widehat{BAF}$$:
لهما نفس الرأس A، لكن ليس لهما ضلع مشترك
الإجابة: غير متجاورتين أو منفصلتان
ب) الزاويتان $$\widehat{DAC}$$ و .......... متجاورتان ومتكاملتان:
نبحث عن زاوية لها ضلع مشترك مع $$\widehat{DAC}$$ ومجموعهما 180°
$$\widehat{CAF} = \widehat{CAB} + \widehat{BAF} = 90° + 35° = 125°$$
التحقق: $$55° + 125° = 180°$$ ✓
الإجابة: $$\widehat{CAF}$$