يلي كل سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة. حدّد هذه الإجابة بوضعها في دائرة
| ج | ب | أ | المعطيات |
| $$310=15\times19+25$$ | $$310=20\times15+10$$ | $$310=15\times19+25$$ | الكتابة التي تمثل القسمة الإقليدية للعدد 310 على 15 هي: |
| $$13\times10^3$$ | $$12\times10^3$$ | $$2000$$ | القيمة التقريبية بالآلاف للعدد 12495 تساوي: |
(2) نعتبر الرسم التالي:
رسم يحتوي على نصف مستقيم Ox ونصف مستقيم Oy والدائرة C
أ- أرسم نصف المستقيم [Ot) إذا علمت أن $$\widehat{xOy}$$ و $$\widehat{xOt}$$ زاويتان متجاورتان و متكاملتان
ب - أرسم نصف المستقيم [Ou) إذا علمت أن $$\widehat{xOy}$$ و $$\widehat{yOu}$$ زاويتان متجاورتان و متتامتان
ج- في الرسم المرافق ينقص النقطة I مركز الدائرة المماسة لـ (Oy) في C والتي تقطع (Ox) في A و B. عيّن النقطة I مع ترك أثار البركار
لنتحقق من كل خيار:
أ) $$310 = 15 \times 19 + 25 = 285 + 25 = 310$$ ✓ لكن الباقي 25 > 15 (خطأ في القسمة الإقليدية)
ب) $$310 = 20 \times 15 + 10 = 300 + 10 = 310$$ ✓ والباقي 10 < 15 ✓
ج) نفس الخيار أ
الإجابة الصحيحة: ب
$$12495 \approx 12000 = 12 \times 1000 = 12 \times 10^3$$
الإجابة الصحيحة: ب
أ) زاويتان متكاملتان مجموعهما 180°
ب) زاويتان متتامتان مجموعهما 90°
ج) مركز دائرة مماسة لمستقيم هو على العمودي على المستقيم من نقطة التماس
(1) عوّض النقاط بما يناسب:
$$\text{أ)} 4^{2}\times2022^{\text{....}}=2^{4}$$
$$\text{ب)} 27^{\text{....}}=9^{9}$$
(2) أحسب العبارات التالية:
$$\text{A}=(3^{2}-\sqrt{64})^{5}+2^{5}\times(1+2^{2})^{5}$$
$$\text{B}=3^{2}\times1^{2023}-5+2^{2}$$
(3) أكتب في صيغة قوّة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لـ1:
$$\text{C}=2^{9}\times4^{5}$$
$$\text{D}=81^{5}\times3^{10}$$
$$\text{E}=(2022+8^{40})+(8^{40}-2022)$$
$$\text{F}=7^{50}\times6^{2}+7^{50}\times3^{2}+7^{50}\times2^{2}$$
أ) $$4^{2}\times2022^{\text{....}}=2^{4}$$
$$4^{2} = (2^{2})^{2} = 2^{4}$$
$$2^{4}\times2022^{x} = 2^{4}$$
$$2022^{x} = \frac{2^{4}}{2^{4}} = 1 = 2022^{0}$$
الفراغ هو: $$\mathbf{0}$$
ب) $$27^{\text{....}}=9^{9}$$
$$27 = 3^{3}$$ و $$9 = 3^{2}$$
$$(3^{3})^{x} = (3^{2})^{9} = 3^{18}$$
$$3x = 18 \Rightarrow x = 6$$
الفراغ هو: $$\mathbf{6}$$
A: $$\text{A}=(3^{2}-\sqrt{64})^{5}+2^{5}\times(1+2^{2})^{5}$$
$$\text{A}=(9-8)^{5}+2^{5}\times(1+4)^{5} = 1^{5}+2^{5}\times5^{5}$$
$$\text{A}=1+(2\times5)^{5} = 1+10^{5} = 1+100000 = 100001$$
B: $$\text{B}=3^{2}\times1^{2023}-5+2^{2}$$
$$\text{B}=9\times1-5+4 = 9-5+4 = 8$$
C: $$2^{9}\times4^{5} = 2^{9}\times(2^{2})^{5} = 2^{9}\times2^{10} = 2^{19}$$
D: $$81^{5}\times3^{10} = (3^{4})^{5}\times3^{10} = 3^{20}\times3^{10} = 3^{30}$$
E: $$(2022+8^{40})+(8^{40}-2022) = 2\times8^{40} = 2\times(2^{3})^{40} = 2^{121}$$
F: $$7^{50}(6^{2}+3^{2}+2^{2}) = 7^{50}(36+9+4) = 7^{50}\times49 = 7^{52}$$
(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر)
في الرسم المرافق ABCD شبه منحرف قائم في A و D. قاعدتاه [AB] و [CD] حيث BC=3 و AD=2 و CD=4.
(1) حدّد بعد النقطة B عن المستقيم (CD). علّل جوابك.
(2) لتكن دائرة (C) مركزها B وتمر من C. ما هي الوضعية النسبية للدائرة والمستقيم (CD) ؟ علّل جوابك.
(3) نصف المستقيم [AB) يقطع الدائرة (C) في نقطة E. ابن المستقيم Δ المار من E والعمودي على (CD). بيّن أن Δ مماس للدائرة (C) في E.
(4) المستقيم (AE) يقطع الدائرة (C) في نقطة ثانية F. ابن المستقيم Δ' المماس للدائرة (C) في النقطة F.
أ - بيّن أن المستقيمين Δ و Δ' متوازيان.
ب - حدّد البعد بين المستقيمين Δ و Δ'. علّل جوابك.
الطريقة: نرسم المسقط العمودي H من B على (CD)
التحليل:
• ABCD شبه منحرف قائم في A و D
• إذن: (AD) ⊥ (AB) و (AD) ⊥ (CD)
• نرسم H المسقط العمودي لـ B على (CD)، فيكون: (BH) ⊥ (CD)
• بما أن (AD) ⊥ (CD) و (BH) ⊥ (CD)، فإن: (AD) // (BH)
• بما أن (AB) // (CD)، فإن: (AB) // (DH)
• الرباعي ABHD له ضلعان متقابلان متوازيان: (AB) // (DH) و (AD) // (BH)
• وله زاوية قائمة في A: ∠DAB = 90°
• إذن ABHD مستطيل
النتيجة: BH = AD = 2 cm
التعليل: بعد B عن (CD) هو 2 cm لأن في المستطيل الأضلاع المتقابلة متساوية
معطيات الدائرة:
• المركز: B
• نصف القطر: R = BC = 3 cm
المسافة من المركز إلى المستقيم:
d(B, (CD)) = 2 cm (من السؤال 1)
المقارنة:
d = 2 cm < R = 3 cm
النتيجة: المستقيم (CD) يقطع الدائرة (C) في نقطتين متمايزتين
التعليل: لأن المسافة من المركز إلى المستقيم أصغر من نصف القطر
المعطيات:
• E نقطة على [AB) تقع على الدائرة (C)
• Δ مستقيم يمر من E وعمودي على (CD)
البرهان:
الخطوة 1: بما أن E على [AB)، فإن A, B, E على استقامة واحدة
إذن: (AE) = (AB)
الخطوة 2: بما أن (AB) // (CD) في شبه المنحرف
وبما أن (AE) = (AB)، فإن: (AE) // (CD)
الخطوة 3: بما أن Δ ⊥ (CD) و (AE) // (CD)
فإن: Δ ⊥ (AE) (خاصية: المستقيم العمودي على أحد مستقيمين متوازيين عمودي على الآخر)
الخطوة 4: بما أن B مركز الدائرة و E على الدائرة
فإن [BE] شعاع (نصف قطر) للدائرة
وبما أن B و E على المستقيم (AE)، فإن [BE] جزء من (AE)
الخطوة 5: بما أن Δ ⊥ (AE) في E
فإن: Δ ⊥ [BE] في E
النتيجة: المستقيم Δ عمودي على شعاع الدائرة [BE] في نقطة نهايته E على الدائرة
إذن: Δ مماس للدائرة (C) في E
(خاصية: المستقيم العمودي على شعاع في نقطة نهايته على الدائرة هو مماس للدائرة)
أ) تبيان أن Δ // Δ':
تحليل الوضعية:
• المستقيم (AE) يقطع الدائرة (C) في نقطتين: E و F
• بما أن A, B, E على استقامة واحدة (E على [AB))، فإن B على المستقيم (AE)
• إذن المستقيم (AE) يمر بمركز الدائرة B
• وبما أنه يقطع الدائرة في E و F، فإن [EF] قطر للدائرة
• B منتصف [EF]
البرهان:
• Δ مماس للدائرة في E ⇒ Δ ⊥ [BE]
• Δ' مماس للدائرة في F ⇒ Δ' ⊥ [BF]
• بما أن [BE] و [BF] على نفس المستقيم (AE) (B بين E و F)
• فإن Δ و Δ' عموديان على نفس المستقيم (AE)
النتيجة: Δ // Δ'
(خاصية: مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث يكونان متوازيين)
ب) تحديد البعد بين Δ و Δ':
• البعد بين مستقيمين متوازيين هو طول أي قطعة عمودية عليهما
• بما أن Δ و Δ' عموديان على (AE)
• فإن (AE) عمودي على Δ في E وعمودي على Δ' في F
• إذن البعد بين Δ و Δ' هو: d(Δ, Δ') = EF
الحساب:
• [EF] قطر الدائرة
• EF = 2 × R = 2 × BC = 2 × 3 = 6 cm
التعليل: البعد بين المماسين هو 6 cm لأنه يساوي طول قطر الدائرة الواصل بين نقطتي التماس E و F