1) أحسب العبارات التالية:
$$B = 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0$$
$$C = 5^2 \times (2^4 - 5 \times 3)^{10} - 6 + 9^0 \times 3^2$$
$$E = 103 - 3^2$$
$$F = 5^{12} \times (2^5 - 2^4)^3$$
$$G = 7^2 + 3^2 \times 4$$
$$H = 6 + 4 \times 3^2 - (1 + 6^5)^0$$
2) أكتب في صورة قوة لعدد صحيح طبيعي:
$$I = 7^7 + 7^7 + 7^7 + 7^7$$
$$J = 27 \times 88 - 3^3 \times 7$$
$$K = 160000$$
$$L = 2^{11} \times 15 - 2^{11} \times 7$$
$$M = 45 \times 3^2 \times 5^3$$
$$N = 4^4 + 2^8$$
3) أكتب في صيغة قوة للعدد 10:
$$25^2 \times 16 \times 100^2$$
$$8^2 \times 10^4 + 6^2 \times 10^4$$
$$25^6 \times 8^4 \times 100$$
$$\frac{6^4 \times 25^4}{8^4 \times 2^4}$$
4) أكمل الفراغات التالية بما يناسب:
$$\sqrt{......} = 2^3$$
$$(2^2 \times 2^{....})^4 \times 4 = 2^{10}$$
$$\sqrt{64} = .....^2$$
$$3^4 \times .......^2 = 21^{....} \times 7^2$$
$$2^4 \times 2^{.....} = 4^4$$
$$25^6 \times (3^{.....})^4 \times 9^2 = 15^{.....}$$
B: $$B = 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31$$
C: $$C = 5^2 \times (2^4 - 5 \times 3)^{10} - 6 + 9^0 \times 3^2$$
$$= 25 \times (16 - 15)^{10} - 6 + 1 \times 9 = 25 \times 1 - 6 + 9 = 28$$
E: $$E = 103 - 3^2 = 103 - 9 = 94$$
F: $$F = 5^{12} \times (2^5 - 2^4)^3 = 5^{12} \times (32 - 16)^3 = 5^{12} \times 16^3$$
$$= 5^{12} \times (2^4)^3 = 5^{12} \times 2^{12} = 10^{12}$$
G: $$G = 7^2 + 3^2 \times 4 = 49 + 9 \times 4 = 49 + 36 = 85$$
H: $$H = 6 + 4 \times 3^2 - (1 + 6^5)^0 = 6 + 4 \times 9 - 1 = 6 + 36 - 1 = 41$$
I: $$I = 7^7 + 7^7 + 7^7 + 7^7 = 4 \times 7^7 = 2^2 \times 7^7$$
J: $$J = 27 \times 88 - 3^3 \times 7 = 27 \times 88 - 27 \times 7 = 27(88 - 7)$$
$$= 3^3 \times 81 = 3^3 \times 3^4 = 3^7$$
K: $$K = 160000 = 16 \times 10000 = 2^4 \times 10^4 = (2 \times 10)^4 = 20^4$$
L: $$L = 2^{11} \times 15 - 2^{11} \times 7 = 2^{11}(15 - 7) = 2^{11} \times 8 = 2^{11} \times 2^3 = 2^{14}$$
M: $$M = 45 \times 3^2 \times 5^3 = 9 \times 5 \times 3^2 \times 5^3 = 3^2 \times 5 \times 3^2 \times 5^3$$
$$= 3^4 \times 5^4 = 15^4$$
N: $$N = 4^4 + 2^8 = (2^2)^4 + 2^8 = 2^8 + 2^8 = 2 \times 2^8 = 2^9$$
$$25^2 \times 16 \times 100^2 = (5^2)^2 \times 2^4 \times (10^2)^2 = 5^4 \times 2^4 \times 10^4$$
$$= (5 \times 2)^4 \times 10^4 = 10^4 \times 10^4 = 10^8$$
$$8^2 \times 10^4 + 6^2 \times 10^4 = (8^2 + 6^2) \times 10^4 = (64 + 36) \times 10^4$$
$$= 100 \times 10^4 = 10^2 \times 10^4 = 10^6$$
$$25^6 \times 8^4 \times 100 = (5^2)^6 \times (2^3)^4 \times 10^2 = 5^{12} \times 2^{12} \times 10^2$$
$$= (5 \times 2)^{12} \times 10^2 = 10^{12} \times 10^2 = 10^{14}$$
$$\sqrt{\mathbf{64}} = 2^3 = 8$$
$$(2^2 \times 2^{\mathbf{0}})^4 \times 4 = 2^{10}$$
لأن: $$(2^2)^4 \times 2^2 = 2^8 \times 2^2 = 2^{10}$$
$$\sqrt{64} = \mathbf{2}^{\mathbf{3}}$$ (لأن $$\sqrt{64} = 8 = 2^3$$)
$$3^4 \times \mathbf{7^4} = 21^{\mathbf{4}} \times 7^2$$ غير صحيح
الصحيح: $$3^4 \times 7^4 = (3 \times 7)^4 = 21^4$$
$$2^4 \times 2^{\mathbf{4}} = 4^4 = (2^2)^4 = 2^8$$
$$25^6 \times (3^{\mathbf{2}})^4 \times 9^2 = 15^{\mathbf{12}}$$
لأن: $$(5^2)^6 \times 3^8 \times (3^2)^2 = 5^{12} \times 3^{12} = 15^{12}$$
نعتبر الرسم التالي: ABC مثلث قائم الزاوية في A وحيث $$\widehat{BCx} = 130°$$
الرسم: مثلث ABC قائم في A. الشعاع [Cx يمتد من C خارج المثلث ويشكل زاوية 130° مع [BC
1) أ- بالإعتماد على الرسم أعط:
✓ مثالاً لزاويتين متتامتين
✓ مثالاً لزاويتين متقابلتين بالرأس
ب- احسب معللاً جوابك $$\widehat{xCy}$$
2) أ- ابن منصف الزاوية $$\widehat{BCx}$$ وعين عليه نقطة I بحيث CI = 5cm
ب- ابن المستقيم Δ المار من I والعمودي على (Cx) والذي يقطعه في النقطة H. ماذا تمثل النقطة H بالنسبة إلى النقطة I؟
ج- ابن النقطة K المسقط العمودي للنقطة I على المستقيم (BC)
د- قارن معللاً جوابك البعدين: IH و IK
3) لتكن $(\mathcal{C})$ دائرة مركزها النقطة O وقطرها [AB]. الدائرة $(\mathcal{C})$ تقطع المستقيم (BC) في نقطة ثانية F.
أ- ماهي الوضعية النسبية للدائرة $(\mathcal{C})$ والمستقيم (AC)؟ علل جوابك
ب- عين النقطة M المسقط العمودي لـ O على (BC)
ج- قارن معللاً جوابك البعدين: OM و OF
هـ- استنتج أن النقطة O لا تنتمي إلى منصف الزاوية $$\widehat{ACB}$$
زاويتان متتامتان:
في المثلث ABC القائم في A، مجموع الزاويتين الحادتين يساوي 90°
$$\widehat{ABC}$$ و $$\widehat{ACB}$$ متتامتان
زاويتان متقابلتان بالرأس:
عند تمديد [CA إلى y (بحيث C, A, y على استقامة واحدة)
$$\widehat{BCx}$$ و $$\widehat{ACy}$$ متقابلتان بالرأس
(لأن (BC) و (Cx) يتقاطعان مع (CA) و (Cy) في النقطة C)
ملاحظة: السؤال في الأصل يطلب $$\widehat{xCy}$$ لكن يبدو أن المقصود هو $$\widehat{ACB}$$
حساب $$\widehat{ACB}$$:
بفرض أن x هو امتداد CA بعد النقطة C، فإن:
$$\widehat{ACB} + \widehat{BCx} = 180°$$ (زاويتان متكاملتان)
$$\widehat{ACB} = 180° - 130° = 50°$$
$$\widehat{ACB} = 50°$$
H هي نقطة تقاطع المستقيم Δ (المار من I) مع المستقيم (Cx)
وبما أن Δ عمودي على (Cx) في H:
H هي المسقط العمودي للنقطة I على المستقيم (Cx)
أو: H هي قدم العمود النازل من I على (Cx)
المعطيات:
• I نقطة على منصف الزاوية $$\widehat{BCx}$$
• IH: البعد من I إلى (Cx) لأن Δ ⊥ (Cx)
• IK: البعد من I إلى (BC) لأن K مسقط عمودي لـ I على (BC)
الخاصية: كل نقطة على منصف زاوية تكون متساوية البعد عن ضلعي الزاوية
IH = IK
التعليل: لأن I تنتمي إلى منصف $$\widehat{BCx}$$، و IH هو البعد عن (Cx)، و IK هو البعد عن (BC)
المعطيات:
• $(\mathcal{C})$ دائرة مركزها O وقطرها [AB]
• المثلث ABC قائم في A
التحليل:
• في مثلث قائم، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر
• إذن O منتصف [AB] (الوتر)
• A نقطة على الدائرة و (AC) ⊥ (AB) في A
• [OA] شعاع و (AC) عمودي على [OA] في نقطة نهايته A
(AC) مماس للدائرة $(\mathcal{C})$ في النقطة A
التعليل: لأن (AC) عمودي على شعاع الدائرة [OA] في نقطة نهايته A على الدائرة
المعطيات:
• OF شعاع الدائرة (F على الدائرة)
• OM المسافة من O إلى (BC) لأن M مسقط عمودي
• M على (BC) و F على (BC)
التحليل:
في المثلث OMF:
• الزاوية في M قائمة (لأن OM ⊥ BC)
• OF هو الوتر (أطول ضلع في المثلث القائم)
OF > OM
التعليل: في مثلث قائم، الوتر أطول من الساقين
البرهان بطريقة الخلف:
الفرضية: لنفترض أن O تنتمي إلى منصف $$\widehat{ACB}$$
خاصية منصف الزاوية:
كل نقطة على منصف زاوية تكون متساوية البعد عن ضلعي الزاوية
إذن يجب أن: البعد من O إلى (AC) = البعد من O إلى (BC)
حساب الأبعاد:
• البعد من O إلى (AC) = OA (لأن (AC) مماس و A نقطة التماس)
• OA = R (شعاع الدائرة)
• البعد من O إلى (BC) = OM
المقارنة:
من السؤال ج: OF > OM
لكن OF = R (شعاع)
إذن: R > OM
أي: OA > OM
إذن: البعد من O إلى (AC) ≠ البعد من O إلى (BC)
بما أن الأبعاد غير متساوية، فإن O لا تنتمي إلى منصف $$\widehat{ACB}$$