1) أكمل الفراغ بالعدد العشري المناسب:
62,01×...........+62,01×16,1 = 6201
2) رتب الأعداد التالية ترتيبا تصاعديا (من الأصغر إلى الأكبر):
11,4; 12; 11,140; 11,41; 11,39
3) احسب بأيسر طريقة معتمداً قواعد الحساب في مجموعة الأعداد العشرية:
A=4,321×173-43,21×7,3
B=65,71-5,71×(3,17+6,83)
62,01×x+62,01×16,1 = 6201
الخطوة 1: نستخرج العامل المشترك 62,01
62,01×(x+16,1) = 6201
الخطوة 2: نكتب 6201 بدلالة 62,01
6201 = 62,01×100
الخطوة 3: نقارن المعادلتين
62,01×(x+16,1) = 62,01×100
x+16,1 = 100
x = 100 - 16,1
x = 83,9
الجواب النهائي: 83,9
الأعداد هي: 11,40; 12,00; 11,14; 11,41; 11,39
للمقارنة بسهولة، نكتبها بنفس عدد الأرقام بعد الفاصلة:
11,400; 12,000; 11,140; 11,410; 11,390
الترتيب التصاعدي (من الأصغر إلى الأكبر) هو:
11,140 < 11,39 < 11,4 < 11,41 < 12
الجواب النهائي: 11,140; 11,39; 11,4; 11,41; 12
حساب A: A=4,321×173-43,21×7,3
نحول 43,21 إلى 4,321×10:
A=4,321×173-(4,321×10)×7,3
A=4,321×173-4,321×(10×7,3)
A=4,321×173-4,321×73
نستخرج العامل المشترك 4,321:
A=4,321×(173-73)
A=4,321×100
A=432,1
الجواب النهائي: A=432,1
حساب B: B=65,71-5,71×(3,17+6,83)
نبدأ بحساب ما بين القوسين:
3,17+6,83 = 10
B=65,71-5,71×10
نحسب الجداء:
5,71×10 = 57,1
B=65,71-57,1
B=8,61
الجواب النهائي: B=8,61
نعتبر العددين a=9×60 و b=225
1) فكك إلى جذاء عوامل أولية كلاً من العددين a و b
2) احسب ق.م.أ(a,b) و م.م.أ(a,b)
3) استنتج عناصر المجموعة Da∩Db
4) ترسل منارة إشارة ضوئية كل 9 دقائق وترسل منارة أخرى إشارة ضوئية كل 3 دقائق و 45 ثانية. تم تشغيل المنارتين في نفس الوقت. حدد المدة الزمنية التي ترسل فيها المنارتان الإشارة الضوئية في نفس الوقت لأول مرة بعد تشغيلهما.
العدد a: a=9×60
a=(3×3)×(6×10)
a=3²×(2×3)×(2×5)
a=(2×2)×(3²×3)×5
a=2²×3³×5¹
الجواب: a=2²×3³×5
العدد b: b=225
225 يقبل القسمة على 5 و 3 (2+2+5=9)
225 = 25×9
b=(5×5)×(3×3)
b=3²×5²
الجواب: b=3²×5²
التفكيك: a=2²×3³×5¹ و b=3²×5²
حساب ق.م.أ(a,b) (الجداء المشترك بأصغر دليل):
العوامل المشتركة هي 3 و 5
أصغر دليل للعدد 3 هو 2 (3²)
أصغر دليل للعدد 5 هو 1 (5¹)
ق.م.أ(a,b) = 3²×5¹
ق.م.أ(a,b) = 9×5 = 45
الجواب: ق.م.أ(a,b) = 45
حساب م.م.أ(a,b) (الجداء للجميع بأكبر دليل):
جميع العوامل هي 2 و 3 و 5
أكبر دليل للعدد 2 هو 2 (2²)
أكبر دليل للعدد 3 هو 3 (3³)
أكبر دليل للعدد 5 هو 2 (5²)
م.م.أ(a,b) = 2²×3³×5²
م.م.أ(a,b) = 4×27×25
م.م.أ(a,b) = (4×25)×27
م.م.أ(a,b) = 100×27 = 2700
الجواب: م.م.أ(a,b) = 2700
مجموعة القواسم المشتركة للعددين a و b (أي Da∩Db) هي نفسها مجموعة قواسم القاسم المشترك الأكبر ق.م.أ(a,b)
Da∩Db = Dق.م.أ(a,b)
بما أن ق.م.أ(a,b) = 45
نبحث عن قواسم 45:
45 = 1×45
45 = 3×15
45 = 5×9
45 لا يقبل القسمة على 2, 4, 6, 7, 8
الجواب: Da∩Db = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
تأمل الشكل التالي حيث (C) دائرة مركزها O وشعاعها 3cm و A و B نقطتان من (C) و C نقطة من [OA] حيث OC = 1cm. I منتصف [AB].
رسم بياني يمثل دائرة C ونقاط A, B, C, I عليها. (يجب رسم الشكل)
1) بين أن النقطتين A و B متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم (OI)
2) أ- ابن L المماس للدائرة (C) في النقطة A. يقطع (OI) في نقطة J.
ب- بين أن OBJ مثلث قائم الزاوية في B
3) ابن D مناظرة C بالنسبة إلى المستقيم (OI)
أ- بين أن النقاط O و D و B على استقامة واحدة.
ب- بين أن الرباعي ABDC شبه منحرف.
ج- بين أن BD=2cm
4) لتكن (C₁) دائرة مركزها A وشعاعها AC و (C₂) دائرة مركزها B وشعاعها BD.
بين أن (C₁) و (C₂) متناظرتان بالنسبة إلى (OI)
التعليل:
1. النقطتان A و B تنتميان إلى الدائرة (C) التي مركزها O، إذن OA = OB (نصفا قطر الدائرة).
2. المثلث △OAB متقايس الضلعين قمته الرئيسية O.
3. I منتصف [AB] (معطى). إذن [OI) هو **الموسط** (المتوسط) المتعلق بالضلع [AB].
4. في المثلث المتقايس الضلعين، **الموسط** المتعلق بالقاعدة هو أيضاً **الموسط العمودي** (المحور) للقاعدة [AB] (خاصية).
5. بما أن المستقيم (OI) هو **الموسط العمودي** للقطعة [AB]، فإن A و B متناظرتان بالنسبة إليه.
الاستنتاج: A و B متناظرتان بالنسبة إلى (OI)
البرهان:
1. المستقيم L هو المماس للدائرة (C) في A (معطى). إذن L ⊥ (OA) (المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس).
2. J هي نقطة تقاطع L و (OI). إذن (AJ) ⊥ (OA). وبالتالي ∠OAJ = 90°.
3. J تنتمي إلى محور التناظر (OI). وبما أن A و B متناظرتان بالنسبة لـ (OI)، فإن △OAJ مناظر لـ △OBJ بالنسبة لـ (OI) (خاصية التناظر المحوري).
4. التناظر يحفظ قيس الزوايا، إذن ∠OBJ = ∠OAJ
5. بما أن ∠OAJ = 90°، فإن ∠OBJ = 90°.
6. المثلث OBJ هو مثلث قائم الزاوية في B.
الاستنتاج: OBJ مثلث قائم الزاوية في B
التعليل:
1. C نقطة من نصف المستقيم [OA] (معطى)، والنقطة O تنتمي إليه أيضاً. إذن O، C، A على استقامة واحدة.
2. D مناظرة C بالنسبة إلى المستقيم (OI)، و B مناظرة A بالنسبة إلى المستقيم (OI)، و O تناظر نفسها لأنها تنتمي إلى (OI).
3. التناظر المحوري يحافظ على الاستقامة (خاصية).
4. بما أن النقاط O، C، A على استقامة واحدة، فإن مناظراتها O، D، B على استقامة واحدة.
5. وبما أن C ∈ [OA]، فإن D ∈ [OB] (التناظر يحفظ الترتيب).
الاستنتاج: النقاط O و D و B على استقامة واحدة
التعليل:
1. △OAB متقايس الضلعين (OA = OB = 3cm).
2. D مناظرة C بالنسبة لـ (OI)، و O ∈ (OI). إذن OC = OD = 1cm (التناظر يحفظ المسافة).
3. المثلث △OCD متقايس الضلعين قمته O.
4. في △OAB و △OCD، لدينا ∠AOB = ∠COD (زاوية مشتركة).
5. إذن زوايا القاعدة متساوية: ∠OAB = (180° - ∠AOB)/2 و ∠OCD = (180° - ∠COD)/2.
أي ∠OAB = ∠OCD
6. الزاويتان ∠OAB و ∠OCD هما زاويتان متماثلتان (على نفس الجانب من القاطع (OA)) ومتساويتان. إذن المستقيمان (CD) و (AB) متوازيان.
7. بما أن (CD) // (AB)، فإن الرباعي ABDC هو شبه منحرف قاعدتاه [CD] و [AB].
الاستنتاج: الرباعي ABDC شبه منحرف
التعليل:
1. O و D و B على استقامة واحدة و D ∈ [OB].
2. OB هو نصف قطر الدائرة، إذن OB = 3cm.
3. D مناظرة C بالنسبة لـ (OI)، إذن OD = OC.
4. OC = 1cm (معطى)، إذن OD = 1cm.
5. OB = OD + DB
3 = 1 + DB
DB = 3 - 1 = 2cm
الاستنتاج: BD=2cm
التعليل:
لكي تكون دائرتان متناظرتان بالنسبة لمستقيم، يجب أن يكون:
1. مركز الدائرة الأولى مناظراً لمركز الدائرة الثانية بالنسبة للمستقيم.
2. شعاعا الدائرتين متساويين.
التحقق من الشرط 1: المناظرة بين المراكز
مركز (C₁) هو A.
مركز (C₂) هو B.
في السؤال 1، بيّنا أن A و B متناظرتان بالنسبة إلى (OI).
التحقق من الشرط 2: تساوي الشعاعين
شعاع (C₁) هو R₁ = AC
شعاع (C₂) هو R₂ = BD
نحسب AC: AC = OA - OC = 3 - 1 = 2cm
لدينا BD = 2cm (من السؤال 3-ج)
إذن R₁ = R₂ = 2cm
بما أن المراكز متناظرة والشعاعين متساويين، فإن الدائرتين متناظرتان بالنسبة إلى (OI)
الاستنتاج: (C₁) و (C₂) متناظرتان بالنسبة إلى (OI)