(1) العبارة: $$16\times2^{9}$$ تساوي:
| $$\mathbf{2^{13}}$$ | $$2^{12}$$ | $$2^{36}$$ |
(2) العبارة: $$(2022^{0})^{2023}$$ تساوي:
| $$2023$$ | $$\mathbf{1}$$ | $$0$$ |
(3) دائرة $$(\mathcal{C})$$ قطرها $$10\text{cm}$$ و بعد مركزها عن مستقيم $$\Delta$$ يساوي $$5\text{cm}$$. إذن الدائرة $$(\mathcal{C})$$ والمستقيم $$\Delta$$:
| منفصلان | $$\mathbf{متماسان}$$ | متقاطعان |
(4) زاويتان لهما نفس الرأس هما متجاورتان.
| $$\mathbf{خطأ}$$ | صواب |
(5) زاويتان لهما نفس الرأس و متقايستان هما زاويتان متقابلتان بالرأس.
| $$\mathbf{خطأ}$$ | صواب |
$$16\times2^{9} = 2^{4}\times2^{9}$$
$$= 2^{4+9} = 2^{13}$$
$$2022^{0} = 1$$
$$(2022^{0})^{2023} = 1^{2023} = 1$$
القطر $$D = 10\text{cm}$$، إذن الشعاع $$R = \frac{10}{2} = 5\text{cm}$$
بعد المركز عن المستقيم $$d = 5\text{cm}$$
بما أن $$d = R$$، فإن الدائرة والمستقيم **متماسان**.
خطأ. لتكون الزاويتان متجاورتان، يجب أن تشتركا في الرأس والضلع، وأن تكونا في جهتين مختلفتين بالنسبة للضلع المشترك.
خطأ. الزاويتان المتقابلتان بالرأس هما متقايستان حتماً، ولكن العكس ليس صحيحاً (مثال: زاويتان قائمتان متجاورتان).
(1) أحسب العبارات التالية:
$$\text{a}=29\times5^{4}-13\times5^{4}$$
$$\text{b}=(3^{3}-5^{2})^{4}-1^{15}\times26^{0}$$
$$\text{c}=(3^{2}-\sqrt{64})^{7}+(7^{5}\times0)^{3}$$
$$\text{d}=3^{3}-10^{0}\times11+5^{16}\times0^{4}$$
(2) عوض النقاط بالعدد المناسب:
$$\text{أ)} 3^{6}\times7^{\text{....}}=3^{\text{....}}\times21^{4}$$
$$\text{ب)} 5^{2}\times25^{2}\times27^{2}=15^{\text{....}}$$
(3) أكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لـ1:
$$\text{I}=8^{3}+8^{3}+8^{3}+8^{3}$$
$$\text{J}=125\times20^{3}\times100^{13}$$
$$\text{a}=29\times5^{4}-13\times5^{4}$$
$$\text{a}=5^{4}\times(29-13)$$
$$\text{a}=625\times16$$
$$\text{a}=10000$$
$$\text{b}=(3^{3}-5^{2})^{4}-1^{15}\times26^{0}$$
$$\text{b}=(27-25)^{4}-1\times1$$
$$\text{b}=2^{4}-1$$
$$\text{b}=16-1 = 15$$
$$\text{c}=(3^{2}-\sqrt{64})^{7}+(7^{5}\times0)^{3}$$
$$\text{c}=(9-8)^{7}+0$$
$$\text{c}=1^{7}+0$$
$$\text{c}=1$$
$$\text{d}=3^{3}-10^{0}\times11+5^{16}\times0^{4}$$
$$\text{d}=27-1\times11+5^{16}\times0$$
$$\text{d}=27-11+0$$
$$\text{d}=16$$
$$\text{أ)} 3^{6}\times7^{\mathbf{4}}=3^{\mathbf{2}}\times21^{4}$$
$$3^{6}\times7^{\text{....}} = 3^{\text{....}}\times(3\times7)^{4}$$
$$3^{6}\times7^{\text{....}} = 3^{\text{....}}\times3^{4}\times7^{4}$$
نستنتج: $$3^{6} = 3^{\text{....}+4} \implies 6 = \text{....}+4 \implies \mathbf{2}$$
ونستنتج: $$7^{\text{....}} = 7^{4} \implies \mathbf{4}$$
$$\text{ب)} 5^{2}\times25^{2}\times27^{2}=15^{\mathbf{6}}$$
$$5^{2}\times(5^{2})^{2}\times(3^{3})^{2}$$
$$= 5^{2}\times5^{4}\times3^{6}$$
$$= 5^{6}\times3^{6}$$
$$= (5\times3)^{6} = 15^{6}$$
$$\text{I}=8^{3}+8^{3}+8^{3}+8^{3}$$
$$\text{I}=4\times8^{3}$$
$$\text{I}=2^{2}\times(2^{3})^{3}$$
$$\text{I}=2^{2}\times2^{9}$$
$$\text{I}=2^{11}$$
$$\text{J}=125\times20^{3}\times100^{13}$$
$$\text{J}=5^{3}\times(20)^{3}\times(10^{2})^{13}$$
$$\text{J}=(5\times20)^{3}\times10^{26}$$
$$\text{J}=100^{3}\times10^{26}$$
$$\text{J}=(10^{2})^{3}\times10^{26}$$
$$\text{J}=10^{6}\times10^{26}$$
$$\text{J}=10^{32}$$
لتكن $$(\mathcal{C})$$ دائرة مركزها $$I$$ و $$A$$ نقطة منها حيث $$IA = 3\text{cm}$$ (أي الشعاع $$R=3\text{cm}$$).
(1) أ- ابن نقطة $$B$$ من الدائرة $$(\mathcal{C})$$ بحيث $$\hat{AIB}=90^{\circ}$$.
(1) ب- ابن المستقيم $$(\Delta)$$ المماس للدائرة $$(\mathcal{C})$$ في النقطة $$A$$.
(1) ج- بين أن المستقيمين $$(\Delta)$$ و $$(IB)$$ متوازيان.
(2) عين نقطة $$C$$ من $$(\Delta)$$ بحيث $$AC=4\text{cm}$$ وحيث تكون الزاويتان $$\hat{AIC}$$ و $$\hat{BIC}$$ متجاورتان.
(3) أ- ابن المستقيم $$(\Delta')$$ المار من $$C$$ و العمودي على المستقيم $$(IA)$$.
(3) ب- حدد الوضعية النسبية للمستقيمين $$(\Delta')$$ و $$(IA)$$. ثم استنتج بعد النقطة $$I$$ عن $$(\Delta')$$.
(3) ج- ماهي الوضعية النسبية للدائرة $$(\mathcal{C})$$ والمستقيم $$(\Delta')$$ ؟ علل جوابك.
(4) المستقيمان $$(AI)$$ و $$(CI)$$ يقطعان الدائرة $$(\mathcal{C})$$ على التوالي في النقطتين $$E$$ و $$F$$.
(5) بقراءة للشكل:
أ- أوجد زاويتين متقابلتين بالرأس.
ب- أوجد زاويتين متكاملتين.
ت- أوجد زاويتين متتامتين و غير متجاورتين.
الخطوة 1: نحدد المركز $$I$$ ونرسم الدائرة $$(\mathcal{C})$$ التي شعاعها $$R=3\text{cm}$$ وتمر من $$A$$.
الخطوة 2: نبني المستقيم العمودي على $$(IA)$$ في النقطة $$I$$.
الخطوة 3: نقطة تقاطع هذا المستقيم العمودي مع الدائرة $$(\mathcal{C})$$ هي النقطة $$B$$.
المستقيم $$(\Delta)$$ المماس للدائرة $$(\mathcal{C})$$ في $$A$$ هو **المستقيم العمودي على الشعاع $$(IA)$$ في النقطة $$A$$**.
الخطوة 1: لدينا $$(\Delta) \perp (IA)$$ (لأن $$\Delta$$ مماس في $$A$$).
الخطوة 2: لدينا $$(IB) \perp (IA)$$ (لأن $$\hat{AIB} = 90^{\circ}$$ من الإنشاء).
الخطوة 3: بما أن $$(\Delta)$$ و $$(IB)$$ عموديان على نفس المستقيم $$(IA)$$، فإنهما **متوازيان**.
نعين $$C$$ على المستقيم $$(\Delta)$$ بحيث $$AC=4\text{cm}$$.
شرط "متجاورتان" يحدد جهة وضع $$C$$ بالنسبة لـ $$A$$ على $$\Delta$$ في الرسم.
الخطوة 1: لدينا $$(\Delta') \perp (IA)$$ (من الإنشاء).
الخطوة 2: لدينا أيضاً $$(\Delta) \perp (IA)$$ في $$A$$، والنقطة $$C$$ تنتمي إلى $$(\Delta)$$.
الخطوة 3: بما أن $$(\Delta')$$ يمر من $$C$$ و $$(\Delta')$$ عمودي على $$(IA)$$، وبما أن المستقيم العمودي على $$(IA)$$ والمار من $$C$$ هو نفسه المستقيم $$(\Delta)$$، نستنتج أن **$$(\Delta')$$ ينطبق على $$(\Delta)$$**.
الخطوة 4: الوضعية النسبية: **$$(\Delta')$$ عمودي على $$(IA)$$** في النقطة $$A$$.
الخطوة 5: بعد النقطة $$I$$ عن $$(\Delta')$$ هو طول القطعة $$[IA]$$.
النتيجة: $$d(I, \Delta') = IA = 3\text{cm}$$.
الخطوة 1: شعاع الدائرة هو $$R = 3\text{cm}$$.
الخطوة 2: بعد المركز $$I$$ عن المستقيم $$(\Delta')$$ هو $$d(I, \Delta') = 3\text{cm}$$.
الخطوة 3: بما أن $$d(I, \Delta') = R$$، فإن الدائرة $$(\mathcal{C})$$ والمستقيم $$(\Delta')$$ هما **متماسان** في النقطة $$A$$.
المستقيمان $$(AE)$$ و $$(CF)$$ يتقاطعان في $$I$$ (لأن $$A, I, E$$ على استقامة واحدة و $$C, I, F$$ على استقامة واحدة).
أ- زاويتان متقابلتان بالرأس:
الزاويتان هما: **$$\hat{AIC}$$ و $$\hat{EIF}$$**.
ب- زاويتان متكاملتان:
الزاويتان المتجاورتان على خط مستقيم: **$$\hat{AIC}$$ و $$\hat{EIC}$$** (على الخط المستقيم $$(AE)$$).
ت- زاويتان متتامتين و غير متجاورتين:
المثلث $$\triangle IAC$$ قائم الزاوية في $$A$$ (لأن $$(\Delta) \perp (IA)$$).
مجموع الزاويتين الحادتين يساوي $$90^{\circ}$$.
الزاويتان هما: **$$\hat{AIC}$$ و $$\hat{ACI}$$**.