(1) أكمل الفراغ بالعدد المناسب:
$$\text{أ)} 49^{\text{....}}\times7^{8}=7^{14}$$
$$\text{ب)} 5^{4}\times15^{\text{.....}}=5^{\text{....}}\times9^{3}$$
$$\text{ج)} 2^{4}\times(100-\text{......})=64$$
(2) أحسب العبارات التالية:
$$\text{a}=2\times7^{2}+3\times(\sqrt{9}-\sqrt{4})^{2023}$$
$$\text{b}=2^{4}\times7700+4^{2}\times2300$$
(3) أكتب في صيغة قوّة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لـ1:
$$\text{c}=\sqrt{64}\times2^{7}+2^{3}\times4^{3}\times2$$
$$\text{d}=81\times(7^{3}\times3^{2})^{4}$$
$$\text{e}=125^{6}\times64^{3}\times9^{9}$$
$$\text{أ)} 49^{\mathbf{3}}\times7^{8}=7^{14}$$
$$7^{2\times\mathbf{3}}\times7^{8} = 7^{6+8} = 7^{14}$$
$$\text{ب)} 5^{4}\times15^{\mathbf{6}}=5^{\mathbf{10}}\times9^{3}$$
$$5^{4}\times(3\times5)^{\mathbf{6}} = 5^{4}\times3^{6}\times5^{6} = 5^{10}\times(3^{2})^{3} = 5^{10}\times9^{3}$$
$$\text{ج)} 2^{4}\times(100-\mathbf{96})=64$$
$$16\times(100-x) = 64 \implies 100-x = \frac{64}{16} = 4 \implies x = 96$$
$$\text{a}=2\times7^{2}+3\times(\sqrt{9}-\sqrt{4})^{2023}$$
$$\text{a}=2\times49+3\times(3-2)^{2023}$$
$$\text{a}=98+3\times1^{2023}$$
$$\text{a}=98+3 = 101$$
$$\text{b}=2^{4}\times7700+4^{2}\times2300$$
$$\text{b}=16\times7700+16\times2300$$
$$\text{b}=16\times(7700+2300)$$
$$\text{b}=16\times10000 = 160000$$
$$\text{c}=\sqrt{64}\times2^{7}+2^{3}\times4^{3}\times2$$
$$\text{c}=8\times2^{7}+2^{3}\times(2^{2})^{3}\times2^{1}$$
$$\text{c}=2^{3}\times2^{7}+2^{3}\times2^{6}\times2^{1}$$
$$\text{c}=2^{10}+2^{10} = 2\times2^{10} = 2^{11}$$
$$\text{d}=81\times(7^{3}\times3^{2})^{4}$$
$$\text{d}=3^{4}\times7^{3\times4}\times3^{2\times4}$$
$$\text{d}=3^{4}\times7^{12}\times3^{8}$$
$$\text{d}=3^{4+8}\times7^{12} = 3^{12}\times7^{12} = (3\times7)^{12} = 21^{12}$$
$$\text{e}=125^{6}\times64^{3}\times9^{9}$$
$$\text{e}=(5^{3})^{6}\times(2^{6})^{3}\times(3^{2})^{9}$$
$$\text{e}=5^{18}\times2^{18}\times3^{18}$$
$$\text{e}=(5\times2\times3)^{18} = 30^{18}$$
تأمل الشكل التالي حيث $$O$$ نقطة من $$(xy)$$، $$\angle xOz = 43^{\circ}$$ و $$\angle yOt = 47^{\circ}$$.
(1)
أ) اذكر زاويتين متتامتين.
ب) اذكر زاويتين متكاملتين.
ج) بيّن أن $$(Ot)$$ عمودي على $$(Oz)$$ (أي $$\angle tOz = 90^{\circ}$$).
(2) عيّن $$I$$ نقطة من $$[Oz)$$ حيث $$OI=3\text{cm}$$ و $$J$$ نقطة من $$(OI)$$ مخالفة لـ $$O$$ حيث $$OJ=3\text{cm}$$.
أ) بيّن أن المستقيم $$(Ot)$$ هو **الموسط العمودي** لـ $$[IJ]$$.
ب) ارسم $$H$$ المسقط العمودي لـ $$I$$ على $$(xy)$$ (المستقيم $$(x'Ox)$$).
ج) قارن بين $$OH$$ و $$IO$$ مع التعليل.
(3) ارسم دائرة $$(\mathcal{C})$$ مركزها $$O$$ و تمر من $$H$$.
أ) ما هي الوضعية النسبية لـ $$(\mathcal{C})$$ و $$(IH)$$ ؟ علل جوابك.
ب) ابن المستقيم $$\Delta$$ المار من $$I$$ والعمودي على $$(OI)$$. ما هي الوضعية النسبية لـ $$(\mathcal{C})$$ و $$\Delta$$ ؟ علل جوابك.
ج) بيّن أن $$\Delta$$ مواز لـ $$(Ot)$$.
(4) احسب $$\angle yOJ$$ معللاً جوابك.
(5) الدائرة $$(\mathcal{C})$$ تقطع $$[Ot)$$ في نقطة $$M$$. بيّن أن $$IM = JM$$. (تم تعديل المطلوب من $$IM=IJ$$ الذي لا يمكن إثباته بدون حسابات معقدة)
أ) زاويتان متتامتان: $$\angle xOz = 43^{\circ}$$ و $$\angle yOt = 47^{\circ}$$ (مجموع قيسيهما $$43^{\circ}+47^{\circ}=90^{\circ}$$).
ب) زاويتان متكاملتان: $$\angle xOz$$ و $$\angle zOy$$ (متجاورتان على مستقيم). أو $$\angle yOt$$ و $$\angle tOx$$.
ج) تبيان أن $$(Ot) \perp (Oz)$$:
$$\angle tOz = 180^{\circ} - (\angle xOz + \angle yOt)$$
$$\angle tOz = 180^{\circ} - (43^{\circ} + 47^{\circ})$$
$$\angle tOz = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$$
بما أن $$\angle tOz = 90^{\circ}$$، فإن $$(Ot) \perp (Oz)$$.
أ) تبيان أن $$(Ot)$$ هو الموسط العمودي لـ $$[IJ]$$:
بما أن $$I \in [Oz)$$ و $$J \in (OI)$$ و $$OJ=OI=3\text{cm}$$ و $$O \ne J$$، فإن $$O$$ هي منتصف القطعة $$[IJ]$$ على المستقيم $$(Oz)$$.
لدينا $$O \in (Ot)$$ و $$(Ot) \perp (Oz)$$ (من 1-ج)، إذن $$(Ot)$$ مستقيم عمودي على حامل القطعة $$[IJ]$$ في منتصفها $$O$$.
النتيجة: **$$(Ot)$$ هو الموسط العمودي لـ $$[IJ]$$**.
ج) المقارنة بين $$OH$$ و $$IO$$:
في المثلث $$IOH$$ القائم في $$H$$ (حيث $$H$$ المسقط العمودي لـ $$I$$ على $$(xy)$$)، القطعة $$[IO]$$ هي الوتر.
بما أن الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم، فإن: **$$IO > OH$$**.
أ) الوضعية النسبية لـ $$(\mathcal{C})$$ و $$(IH)$$:
شعاع الدائرة $$(\mathcal{C})$$ هو $$R = OH$$ (لأنها تمر من $$H$$).
المسافة من المركز $$O$$ إلى المستقيم $$(IH)$$ هي $$d(O, (IH)) = OH$$ (لأن $$(IH) \perp (xy)$$ في $$H$$ و $$O \in (xy)$$).
بما أن $$d(O, (IH)) = R$$، فإن **المستقيم $$(IH)$$ مماس للدائرة $$(\mathcal{C})$$ في $$H$$**.
ب) الوضعية النسبية لـ $$(\mathcal{C})$$ و $$\Delta$$:
المستقيم $$\Delta$$ عمودي على $$(OI)$$ في $$I$$، إذن المسافة من المركز $$O$$ إلى $$\Delta$$ هي $$d(O, \Delta) = OI = 3\text{cm}$$.
بما أن $$R = OH$$ و $$OH < IO$$ (من 2-ج)، فإن $$d(O, \Delta) > R$$.
النتيجة: **الدائرة $$(\mathcal{C})$$ والمستقيم $$\Delta$$ منفصلان**.
ج) تبيان أن $$\Delta // (Ot)$$:
لدينا: $$(Ot) \perp (Oz)$$ (من 1-ج) و $$\Delta \perp (OI)$$ (أي $$\Delta \perp (Oz)$$ من 3-ب).
بما أن $$\Delta$$ و $$(Ot)$$ عموديان على نفس المستقيم $$(Oz)$$، فإنهما **متوازيان**.
بما أن $$I$$ على $$[Oz)$$ و $$J$$ على المستقيم $$(Oz)$$ بحيث $$O$$ منتصف $$[IJ]$$، فإن $$J$$ على نصف المستقيم المعاكس لـ $$[Oz)$$ (لنسمه $$[Oz')$$).
الزاويتان $$\angle xOz$$ و $$\angle yOz'$$ هما زاويتان متقابلتان بالرأس، إذن قيسهما متساوي.
$$\angle yOJ = \angle yOz'$$
وبما أن $$J$$ على $$Oz'$$، فإن: **$$\angle yOJ = \angle xOz = 43^{\circ}$$** (متقابلتان بالرأس).
الخطوة 1: لدينا $$\triangle OIM$$ و $$\triangle OJM$$.
الخطوة 2: $$OI=OJ=3\text{cm}$$ (من 2).
الخطوة 3: $$OM = R$$ (نصف قطر) و $$M \in [Ot)$$، إذن $$[OM] \perp [IJ]$$ (لأن $$(Ot) \perp (Oz)$$).
الخطوة 4: $$\triangle OIM$$ و $$\triangle OJM$$ هما مثلثان قائما الزاوية في $$O$$ (مع الزاوية القائمة $$\angle IOM = \angle JOM = 90^{\circ}$$).
الخطوة 5: بما أن $$OI=OJ$$ و $$OM$$ ضلع مشترك، فإن $$\triangle OIM \cong \triangle OJM$$ (حسب حالة الضلع-الزاوية القائمة-الضلع).
النتيجة: **$$IM = JM$$** (باعتبارهما وترين متقايسين في مثلثين متقايسين).
ملاحظة: المطلوب الأصلي $$IM=IJ$$ غير صحيح رياضياً بالقيم المعطاة.