فرض مراقبة عدد 2 - السابعة أساسي

التمرين رقم 1

ضع علامة X (✓) في الخانة المناسبة:

العبارة	صواب	خطأ
\(3^2 \times 3^4 = 9^8\)
\(23^0 \times 1^3 \times 0 \times 2009^0 = 1\)
\(2^3 + 2^3 = 2^4\)
زاويتان متتامتان و متجاورتان هما متقايستان
كل مستقيمان مماسان لنفس الدائرة يكونان متوازيان
زاويتان متقايستان هما متقابلتان بالرأس

التصحيح التفصيلي للتمرين رقم 1

السؤال 1: \(3^2 \times 3^4 = 9^8\)

✗ خطأ

القاعدة: عند ضرب قوتين لهما نفس الأساس: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

الحل التفصيلي:

الطرف الأيسر: \(3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6\)

الطرف الأيمن: \(9^8 = (3^2)^8 = 3^{16}\)

بما أن \(3^6 \neq 3^{16}\) فالعبارة خاطئة

ملاحظة: الخطأ الشائع هنا هو محاولة ضرب الأسس مباشرة أو تغيير الأساس بشكل خاطئ.

السؤال 2: \(23^0 \times 1^3 \times 0 \times 2009^0 = 1\)

✗ خطأ

القواعد:

\(a^0 = 1\) لكل عدد \(a \neq 0\)
\(1^n = 1\) لكل عدد \(n\)
أي عدد مضروب في 0 يساوي 0

الحل التفصيلي:

\(23^0 = 1\)

\(1^3 = 1\)

\(2009^0 = 1\)

إذن: \(23^0 \times 1^3 \times 0 \times 2009^0 = 1 \times 1 \times 0 \times 1 = 0\)

بما أن الناتج = 0 وليس 1، فالعبارة خاطئة

ملاحظة مهمة: وجود العدد 0 في عملية الضرب يجعل الناتج النهائي دائماً يساوي 0.

السؤال 3: \(2^3 + 2^3 = 2^4\)

✓ صواب

القاعدة: \(a^n + a^n = 2 \times a^n = 2^1 \times a^n\)

الحل التفصيلي:

الطرف الأيسر: \(2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16\)

يمكن أيضاً كتابته: \(2^3 + 2^3 = 2 \times 2^3 = 2^1 \times 2^3 = 2^{1+3} = 2^4\)

الطرف الأيمن: \(2^4 = 16\)

بما أن \(16 = 16\) فالعبارة صحيحة

ملاحظة: عند جمع قوتين متماثلتين يمكننا تحليلها على شكل ضرب ثم تطبيق قاعدة ضرب القوى.

السؤال 4: زاويتان متتامتان و متجاورتان هما متقايستان

✗ خطأ

التعريفات:

زاويتان متتامتان: زاويتان مجموعهما يساوي 90°
زاويتان متجاورتان: زاويتان لهما نفس الرأس وضلع مشترك
زاويتان متقايستان: زاويتان لهما نفس القيس

التحليل:

العبارة تقول: "إذا كانت زاويتان متتامتان ومتجاورتان، فإنهما حتماً متقايستان"

هذا يعني: كل زاويتين متتامتين ومتجاورتين يجب أن تكونا متساويتين

مثال مضاد:

لنأخذ زاويتين متجاورتين: \(\alpha = 30°\) و \(\beta = 60°\)
هما متتامتان: \(30° + 60° = 90°\) ✓
هما متجاورتان (نفس الرأس وضلع مشترك) ✓
لكن: \(30° \neq 60°\) ✗
إذن هما ليستا متقايستين ✗

الحالة الخاصة:

الزاويتان المتتامتان والمتجاورتان تكونان متقايستين فقط في حالة واحدة:

عندما تكون كل زاوية = 45°

لكن العبارة تقول "هما متقايستان" كقاعدة عامة، وهذا خاطئ

ملاحظة مهمة: لا تخلط بين:

"يمكن أن تكونا متقايستين" (صحيح - حالة خاصة عندما كل زاوية = 45°)
"هما متقايستان دائماً" (خطأ - ليست قاعدة عامة)

أمثلة توضيحية:

في المثلث القائم، الزاويتان الحادتان متتامتان لكنهما ليستا دائماً متساويتين:

مثلث 30°-60°-90°: الزاويتان 30° و 60° متتامتان لكن غير متساويتين ✗
مثلث 45°-45°-90°: الزاويتان 45° و 45° متتامتان ومتساويتين ✓ (حالة خاصة)

السؤال 5: كل مستقيمان مماسان لنفس الدائرة يكونان متوازيان

✗ خطأ

التعريف: المماس لدائرة هو مستقيم يقطع الدائرة في نقطة واحدة فقط ويكون عمودياً على الشعاع عند نقطة التماس.

الشرح التفصيلي:

يمكن أن يكون هناك مستقيمان مماسان لنفس الدائرة من جهات مختلفة:

حالة التوازي: إذا كان المماسان على جانبين متقابلين من الدائرة فإنهما يكونان متوازيين
حالة التقاطع: إذا كان المماسان من نفس الجهة أو من جهات مختلفة بزاوية، فإنهما يتقاطعان

مثال مضاد: مماسان يلتقيان في نقطة خارج الدائرة

العبارة خاطئة لأن كلمة "كل" تعني أن جميع المستقيمات المماسة تكون متوازية، وهذا غير صحيح.

ملاحظة: العبارة كانت ستكون صحيحة لو قلنا: "يمكن لمستقيمين مماسين لنفس الدائرة أن يكونا متوازيين"

السؤال 6: زاويتان متقايستان هما متقابلتان بالرأس

✗ خطأ

التعريفات:

زاويتان متقايستان: زاويتان لهما نفس القيس
زاويتان متقابلتان بالرأس: زاويتان تتكونان من تقاطع مستقيمين ولا تكونان متجاورتين

الشرح التفصيلي:

القاعدة الصحيحة: كل زاويتين متقابلتين بالرأس هما متقايستان (صحيح)

لكن العكس ليس صحيحاً: ليس كل زاويتين متقايستين هما متقابلتان بالرأس

أمثلة مضادة:

زوايا المثلث المتساوي الأضلاع جميعها متقايسة (60°) لكنها ليست متقابلة بالرأس
زاويتان حادتان كل منهما 30° في موقعين مختلفين - متقايستان لكن ليستا متقابلتين بالرأس

العبارة خاطئة لأن التقايس لا يستلزم التقابل بالرأس.

ملاحظة مهمة: الخلط بين القاعدة وعكسها هو خطأ شائع. تذكر: الزاويتان المتقابلتان بالرأس دائماً متقايستان، لكن ليس العكس.

التمرين رقم 2

1) في حديقتنا ثلاثة أحواض، في كل حوض ثلاث زهرات، حول كل زهرة توجد ثلاث فراشات.

أكتب في شكل قوة لعدد صحيح طبيعي عدد الفراشات الموجودة في الحديقة.

2) المربع مساحته بالمتر المربع \((5 \times 8)^2\)، ما هو بالمتر قيس طول ضلعه (في شكل قوة)؟

التصحيح التفصيلي للتمرين رقم 2

السؤال 1: عدد الفراشات في الحديقة

المعطيات:

عدد الأحواض = 3
عدد الزهرات في كل حوض = 3
عدد الفراشات حول كل زهرة = 3

الحل التفصيلي خطوة بخطوة:

الخطوة 1: حساب عدد الزهرات الكلي

عدد الزهرات = عدد الأحواض × عدد الزهرات في كل حوض

عدد الزهرات = \(3 \times 3 = 3^2 = 9\) زهرات

الخطوة 2: حساب عدد الفراشات الكلي

عدد الفراشات = عدد الزهرات × عدد الفراشات حول كل زهرة

عدد الفراشات = \(9 \times 3 = 3^2 \times 3 = 3^{2+1} = 3^3 = 27\) فراشة

طريقة مباشرة:

عدد الفراشات = \(3 \times 3 \times 3 = 3^3\)

الجواب النهائي: \(3^3\) فراشة

التحقق: \(3^3 = 27\) فراشة

يمكن التحقق: 3 أحواض × 3 زهرات × 3 فراشات = 27 ✓

السؤال 2: طول ضلع المربع

المعطى: مساحة المربع = \((5 \times 8)^2\) متر مربع

المطلوب: طول ضلع المربع في شكل قوة

قاعدة مساحة المربع:

مساحة المربع = (طول الضلع)\(^2\)

إذن: طول الضلع = \(\sqrt{\text{المساحة}}\)

الحل التفصيلي:

الخطوة 1: تحديد المساحة

المساحة = \((5 \times 8)^2\)

الخطوة 2: إيجاد طول الضلع

طول الضلع = \(\sqrt{(5 \times 8)^2}\)

باستعمال قاعدة: \(\sqrt{a^2} = a\) (لأن \(a\) موجب)

طول الضلع = \(5 \times 8\)

الخطوة 3: كتابة الجواب في شكل قوة

طول الضلع = \(5 \times 8 = 5 \times 2^3 = 5 \times 2^3\)

أو: \(5 \times 8 = 40 = 2^3 \times 5\)

الجواب النهائي: \(5 \times 8\) أو \(5 \times 2^3\) متر

ملاحظة: إذا أردنا القيمة العددية: \(5 \times 8 = 40\) متر

التحقق: \((40)^2 = 1600 = (5 \times 8)^2\) ✓

قاعدة مهمة: \(\sqrt{(ab)^2} = ab\) حيث \(a, b > 0\)

هذا لأن: \((ab)^2 = a^2b^2\) و \(\sqrt{a^2b^2} = ab\)

التمرين رقم 3

1) أحسب العبارات التالية:

\(B = (17 - 2^4) - 15 + 10 \times 0\)

\(C = 6 \times (2^3 - 3) - 4 \times 3^2 + 6\)

2) اكتب في صورة قوة لعدد صحيح طبيعي:

\(D = 100000 \times 10^2 \times 1000\)

\(E = 81 \times (3^5)^3\)

\(F = 125^4 \times 7^7\)

3) أكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي:

\(49^3 \times 27^2\)

\(5^2 \times (2^3)^2 \times 125^4\)

4) أكمل الفراغات التالية بما يناسب:

\(2^7 \times \text{.....} = 10^7\)

\(3^5 \times 2^{....} = 10^5\)

\(2^{....} \times 3^{....} = 102\)

\(3^{....} \times 21 = 3 \times 16 \times 125 \times 2^{-10}\)

التصحيح التفصيلي للتمرين رقم 3

السؤال 1(أ): حساب B

المعطى: \(B = (17 - 2^4) - 15 + 10 \times 0\)

ترتيب العمليات (الأولويات):

الأقواس
القوى
الضرب والقسمة (من اليسار إلى اليمين)
الجمع والطرح (من اليسار إلى اليمين)

الحل خطوة بخطوة:

\(B = (17 - 2^4) - 15 + 10 \times 0\)

\(B = (17 - 16) - 15 + 0\) ... (حساب \(2^4 = 16\) و \(10 \times 0 = 0\))

\(B = 1 - 15 + 0\) ... (حساب ما داخل القوس)

\(B = -14 + 0\)

\(B = -14\)

الجواب النهائي: \(B = -14\)

السؤال 1(ب): حساب C

المعطى: \(C = 6 \times (2^3 - 3) - 4 \times 3^2 + 6\)

الحل خطوة بخطوة:

\(C = 6 \times (2^3 - 3) - 4 \times 3^2 + 6\)

\(C = 6 \times (8 - 3) - 4 \times 9 + 6\) ... (حساب القوى: \(2^3 = 8\) و \(3^2 = 9\))

\(C = 6 \times 5 - 4 \times 9 + 6\) ... (حساب ما داخل القوس)

\(C = 30 - 36 + 6\) ... (حساب عمليات الضرب)

\(C = -6 + 6\)

\(C = 0\)

الجواب النهائي: \(C = 0\)

السؤال 2(أ): كتابة D في صورة قوة

المعطى: \(D = 100000 \times 10^2 \times 1000\)

القاعدة: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

الحل خطوة بخطوة:

\(D = 100000 \times 10^2 \times 1000\)

\(D = 10^5 \times 10^2 \times 10^3\) ... (تحويل الأعداد إلى قوى العشرة)

\(100000 = 10^5\) (5 أصفار)
\(1000 = 10^3\) (3 أصفار)

\(D = 10^{5+2+3}\) ... (جمع الأسس)

\(D = 10^{10}\)

الجواب النهائي: \(D = 10^{10}\)

التحقق: \(10^{10} = 10000000000\) (10 مليار)

السؤال 2(ب): كتابة E في صورة قوة

المعطى: \(E = 81 \times (3^5)^3\)

القواعد:

\((a^m)^n = a^{m \times n}\)
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

الحل خطوة بخطوة:

\(E = 81 \times (3^5)^3\)

\(E = 3^4 \times 3^{5 \times 3}\) ... (تحويل: \(81 = 3^4\) وتطبيق قاعدة القوة)

\(E = 3^4 \times 3^{15}\)

\(E = 3^{4+15}\)

\(E = 3^{19}\)

الجواب النهائي: \(E = 3^{19}\)

السؤال 2(ج): كتابة F في صورة قوة

المعطى: \(F = 125^4 \times 7^7\)

ملاحظة مهمة: \(125 = 5^3\) و \(7\) عدد أولي

الحل خطوة بخطوة:

\(F = 125^4 \times 7^7\)

\(F = (5^3)^4 \times 7^7\)

\(F = 5^{12} \times 7^7\)

هذه الصورة النهائية: \(F = 5^{12} \times 7^7\)

ملاحظة: لا يمكن تبسيط أكثر من ذلك لأن 5 و 7 عددان مختلفان (ليس لهما أساس مشترك).

لا يمكن كتابتها كقوة لعدد واحد إلا إذا كانت في شكل ضرب عددين أوليين مختلفين.

السؤال 3(أ): \(49^3 \times 27^2\)

التحليل:

\(49 = 7^2\)
\(27 = 3^3\)

الحل:

\(49^3 \times 27^2 = (7^2)^3 \times (3^3)^2\)

\(= 7^{2 \times 3} \times 3^{3 \times 2}\)

\(= 7^6 \times 3^6\)

\(= (7 \times 3)^6\) ... (باستعمال: \(a^n \times b^n = (ab)^n\))

\(= 21^6\)

الجواب النهائي: \(21^6\)

السؤال 3(ب): \(5^2 \times (2^3)^2 \times 125^4\)

التحليل: \(125 = 5^3\)

الحل:

\(5^2 \times (2^3)^2 \times 125^4\)

\(= 5^2 \times 2^{3 \times 2} \times (5^3)^4\)

\(= 5^2 \times 2^6 \times 5^{12}\)

\(= 5^{2+12} \times 2^6\)

\(= 5^{14} \times 2^6\)

\(= 2^6 \times 5^{14}\)

الجواب النهائي: \(2^6 \times 5^{14}\)

يمكن أيضاً كتابتها: \(5^{14} \times 2^6\) أو \((2 \times 5)^6 \times 5^8 = 10^6 \times 5^8\)

السؤال 4: إكمال الفراغات

(أ) \(2^7 \times \text{.....} = 10^7\)

نعلم أن: \(10 = 2 \times 5\)

إذن: \(10^7 = (2 \times 5)^7 = 2^7 \times 5^7\)

\(2^7 \times x = 2^7 \times 5^7\)

إذن: \(x = 5^7\)

الجواب: \(5^7\)

(ب) \(3^5 \times 2^{....} = 10^5\)

\(3^5 \times 2^x = (2 \times 5)^5 = 2^5 \times 5^5\)

لكن \(3 \neq 5\)، هذه المعادلة غير صحيحة كما هي مكتوبة

ربما المقصود: \(5^5 \times 2^x = 10^5\)

في هذه الحالة: \(x = 5\)

الجواب: \(5\) (بافتراض تصحيح السؤال)

(ج) \(2^{....} \times 3^{....} = 102\)

نحلل العدد 102:

\(102 = 2 \times 51 = 2 \times 3 \times 17 = 2^1 \times 3^1 \times 17\)

بما أن 17 عدد أولي، لا يمكن كتابة 102 كضرب قوتين فقط من 2 و 3

ملاحظة: ربما يوجد خطأ في السؤال، أو المقصود \(2^1 \times 3^1 = 6\) ليس 102

(د) \(3^{....} \times 21 = 3 \times 16 \times 125 \times 2^{-10}\)

نبسط الطرف الأيمن:

\(3 \times 16 \times 125 \times 2^{-10}\)

\(= 3 \times 2^4 \times 5^3 \times 2^{-10}\)

\(= 3 \times 2^{4-10} \times 5^3\)

\(= 3 \times 2^{-6} \times 5^3\)

\(= 3 \times \frac{5^3}{2^6} = 3 \times \frac{125}{64}\)

الطرف الأيسر:

\(3^x \times 21 = 3^x \times 3 \times 7 = 3^{x+1} \times 7\)

هذا السؤال يبدو أن به خطأ في الصياغة لأن الطرفين لا يتساويان بسهولة

التمرين رقم 4

معطى شكل هندسي بزوايا:

الزاوية عند C = 28.0°

الزاوية عند B = 62.0°

1) أذكر زاويتين:

متجاورتين: ............................
متكاملتين: ............................
متتامتين: ............................
غير متجاورتين: ............................
متقابلتين بالرأس: ............................

2) أكمل الجملة التالية:

منصف الزاوية هو مجموعة ...................................................................

التصحيح التفصيلي للتمرين رقم 4

السؤال 1: تحديد أنواع الزوايا

تذكير بالتعريفات:

زاويتان متجاورتان: زاويتان لهما نفس الرأس وضلع مشترك
زاويتان متكاملتان: زاويتان مجموعهما = 180°
زاويتان متتامتان: زاويتان مجموعهما = 90°
زاويتان متقابلتان بالرأس: زاويتان تتكونان من تقاطع مستقيمين ولا تكونان متجاورتين

من الشكل المعطى:

نقطة C والزاوية 28.0°
نقطة B والزاوية 62.0°
نقاط A و x و y

التحليل:

لاحظ أن: 28° + 62° = 90°

هذا يعني أن الزاويتين متتامتان!

الأجوبة المحتملة:

متجاورتين:

الزاويتان عند B و C إذا كانتا تشتركان في ضلع واحد

مثال: \(\angle ABC\) و \(\angle CBx\)

متكاملتين:

زاويتان مجموعهما 180°

مثال: إذا كان هناك مستقيم، فالزاويتان على جانبيه متكاملتان

متتامتين:

الزاوية 28° والزاوية 62°

لأن: 28° + 62° = 90°

غير متجاورتين:

زاويتان لا تشتركان في ضلع

مثال: زوايا في نقاط مختلفة

متقابلتين بالرأس:

عند تقاطع مستقيمين، الزاويتان المتقابلتان

مثال: إذا تقاطع xy مع مستقيم آخر عند نقطة

السؤال 2: تعريف منصف الزاوية

الجملة الكاملة:

منصف الزاوية هو مجموعة النقاط التي تبعد نفس المسافة عن ضلعي الزاوية

أو بصياغة أخرى:

منصف الزاوية هو نصف المستقيم الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متقايستين

شرح تفصيلي:

منصف الزاوية \(\angle AOB\) هو نصف مستقيم يبدأ من الرأس O
يقسم الزاوية إلى جزئين متساويين
إذا كانت الزاوية \(\alpha\)، فكل جزء = \(\frac{\alpha}{2}\)

خاصية مهمة:

كل نقطة على منصف الزاوية تبعد نفس المسافة عن ضلعي الزاوية

مثال: إذا كانت الزاوية = 60°، فمنصفها يقسمها إلى زاويتين كل منهما 30°

التمرين رقم 5

[AB] قطعة مستقيم طولها 6 سنتمتر و I منتصف [AB]. الموسط العمودي Δ للقطعة [AB] و الدائرة (C) مركزها A و شعاعها 6cm يتقاطعان في نقطتين M و N.

أ) ما هي الوضعية النسبية للمستقيم Δ و الدائرة (C)؟ علل جوابك

ب) ابن المماس Δ' للدائرة (C) في B

ج) بين أن Δ و Δ' متوازيان

2) أرسم الدائرة (C') مركزها A و شعاعها 3cm

أ) ما هي الوضعية النسبية ل (C') و Δ؟ علل جوابك

ب) ما هي الوضعية النسبية ل (C') و Δ'؟ علل جوابك

أ) بين أن EB = 3cm

ب) بين أن المثلث BEF متقايس الضلعين قمته الرئيسية B

التصحيح التفصيلي للتمرين رقم 5

المعطيات وتحليلها

المعطيات:

القطعة [AB] طولها AB = 6 cm
I منتصف [AB]، إذن: AI = IB = 3 cm
Δ هو الموسط العمودي للقطعة [AB] (يمر من I ويكون عمودياً على AB)
الدائرة (C): مركزها A وشعاعها R = 6 cm
Δ يقطع (C) في نقطتين M و N

السؤال 1(أ): الوضعية النسبية لـ Δ و (C)

الوضعيات النسبية الممكنة بين مستقيم ودائرة:

قاطع: المستقيم يقطع الدائرة في نقطتين ← المسافة من المركز إلى المستقيم < الشعاع
مماس: المستقيم يمس الدائرة في نقطة واحدة ← المسافة من المركز = الشعاع
خارجي: المستقيم لا يقطع الدائرة ← المسافة من المركز > الشعاع

الحل:

نحسب المسافة d من المركز A إلى المستقيم Δ:

Δ هو الموسط العمودي لـ [AB]
Δ عمودي على [AB] ويمر من منتصفها I
المسافة من A إلى Δ هي المسافة من A إلى I
d = AI = 3 cm

المقارنة مع الشعاع:

الشعاع R = 6 cm
d = 3 cm < 6 cm
d < R

الجواب: المستقيم Δ قاطع للدائرة (C)

التعليل: لأن المسافة من المركز A إلى المستقيم Δ تساوي 3 cm وهي أصغر من الشعاع 6 cm

هذا يتوافق مع المعطى بأن Δ يقطع (C) في نقطتين M و N ✓

السؤال 1(ب): رسم المماس Δ' في B

خاصية المماس:

المماس لدائرة في نقطة ما يكون عمودياً على الشعاع عند تلك النقطة

الإنشاء:

نرسم الشعاع [AB] (B تنتمي إلى الدائرة (C) لأن AB = 6 cm = الشعاع)
نرسم المستقيم Δ' العمودي على [AB] عند النقطة B
Δ' هو المماس للدائرة (C) في B

تحقق: B تنتمي إلى (C) لأن AB = 6 cm = الشعاع، و Δ' عمودي على [AB] في B

السؤال 1(ج): برهان توازي Δ و Δ'

خاصية: إذا كان مستقيمان عمودين على مستقيم ثالث فهما متوازيان

إذا كان: Δ ⊥ (AB) و Δ' ⊥ (AB)

فإن: Δ // Δ'

البرهان:

1) Δ هو الموسط العمودي لـ [AB]

إذن: Δ ⊥ (AB)

2) Δ' هو المماس للدائرة (C) في B

والمماس عمودي على الشعاع [AB] في B

إذن: Δ' ⊥ (AB)

3) بما أن Δ و Δ' كلاهما عمودي على (AB)

إذن: Δ // Δ'

ملاحظة هندسية: المستقيمان متوازيان لأنهما عموديان على نفس المستقيم

السؤال 2(أ): الوضعية النسبية لـ (C') و Δ

معطيات الدائرة (C'):

المركز: A (نفس مركز (C))
الشعاع: r = 3 cm

الحل:

المسافة من المركز A إلى المستقيم Δ:

d = AI = 3 cm

المقارنة مع الشعاع:

الشعاع r = 3 cm
d = 3 cm = r

الجواب: المستقيم Δ مماس للدائرة (C')

التعليل: لأن المسافة من المركز A إلى المستقيم Δ تساوي 3 cm وهي تساوي الشعاع 3 cm

نقطة التماس هي I (منتصف [AB])

السؤال 2(ب): الوضعية النسبية لـ (C') و Δ'

الحل:

نحسب المسافة من المركز A إلى المستقيم Δ':

Δ' عمودي على [AB] في B
المسافة من A إلى Δ' = AB = 6 cm

المقارنة مع الشعاع:

الشعاع r = 3 cm
d = 6 cm > 3 cm
d > r

الجواب: المستقيم Δ' خارجي عن الدائرة (C')

التعليل: لأن المسافة من المركز A إلى المستقيم Δ' تساوي 6 cm وهي أكبر من الشعاع 3 cm

الدائرة (C') لا تقطع ولا تمس المستقيم Δ'

السؤال 3(أ): برهان EB = 3cm

ملاحظة: النقطة E لم تُذكر في المعطيات الأصلية. نفترض أن E نقطة معرّفة في رسم مرافق.

سنقدم برهاناً عاماً بناءً على الاحتمالات الممكنة.

الفرضية المحتملة: E قد تكون نقطة على الدائرة أو ذات علاقة هندسية بالنقاط المذكورة

إذا كانت E على (C'):

وكانت AE = 3 cm (الشعاع)

وإذا كانت هناك علاقة هندسية تربط E و B بحيث:

مثلاً: E على الموسط العمودي لـ [AB]
أو: E تشكل مع A و B مثلثاً خاصاً

يمكن استنتاج EB = 3 cm باستخدام خاصيات المثلثات أو نظرية فيثاغورس

السؤال 3(ب): المثلث BEF متقايس الضلعين

تعريف: مثلث متقايس الضلعين هو مثلث له ضلعان متساويان

القمة الرئيسية هي الرأس الذي يقابل القاعدة (الضلع المختلف)

لبرهان أن BEF متقايس الضلعين قمته الرئيسية B:

يجب إثبات أن: BE = BF

إذا كان:

BE = 3 cm (من السؤال السابق)
و BF = 3 cm (يجب إثباته باستخدام خاصيات هندسية)

إذن: BE = BF

النتيجة: المثلث BEF متقايس الضلعين وقمته الرئيسية B (لأن BE = BF)

ملاحظة: للحصول على برهان كامل نحتاج إلى:

معرفة موقع النقطة F بدقة
استخدام خاصيات التماثل أو التساوي في الأبعاد
تطبيق نظريات هندسية مناسبة

التمرين رقم 6

ABCD مستطيل و (C) دائرة مركزها B و تمر من A

1) بين أن المستقيم (AD) هو المماس لدائرة (C) في A

2) ابن المستقيم Δ المار من A و العمودي على [BD]. ما هي الوضعية النسبية للدائرة (C) و المستقيم Δ؟ علل جوابك

3) المستقيم (AB) يقطع الدائرة (C) في نقطة ثانية E مخالفة لـ A

أ) ابن المستقيم Δ' المماس للدائرة (C) في E

4) Δ و Δ' يتقاطعان في النقطة F. ما هي طبيعة المثلث AEF؟ علل جوابك

التصحيح التفصيلي للتمرين رقم 6

المعطيات والتحليل

المعطيات:

ABCD مستطيل
الدائرة (C): مركزها B
(C) تمر من A، إذن: BA هو شعاع الدائرة

خاصيات المستطيل:

جميع الزوايا قائمة (90°)
الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية
القطران متساويان ومتقاطعان في منتصفهما

السؤال 1: برهان أن (AD) مماس لـ (C) في A

شرط المماس:

مستقيم يكون مماساً لدائرة في نقطة إذا وفقط إذا كان عمودياً على الشعاع عند تلك النقطة

البرهان:

الخطوة 1: تحديد الشعاع

مركز الدائرة: B
النقطة على الدائرة: A
الشعاع: [BA]

الخطوة 2: إثبات التعامد

ABCD مستطيل
في المستطيل: الزاوية عند A قائمة
إذن: \(\angle DAB = 90°\)
أي: (AD) ⊥ [BA]

الخطوة 3: الاستنتاج

A تنتمي إلى (C) ✓
(AD) ⊥ [BA] حيث [BA] شعاع ✓
إذن: (AD) مماس للدائرة (C) في A ✓

الجواب: المستقيم (AD) هو المماس للدائرة (C) في النقطة A

التعليل: لأن (AD) عمودي على الشعاع [BA] عند النقطة A (الزاوية DAB قائمة في المستطيل)

السؤال 2: الوضعية النسبية لـ (C) و Δ

الإنشاء:

Δ مستقيم يمر من A
Δ عمودي على [BD]

التحليل:

في المستطيل ABCD:

[BD] هو قطر المستطيل
A رأس من رؤوس المستطيل

لتحديد الوضعية النسبية نحسب:

d = المسافة من المركز B إلى المستقيم Δ

الطريقة:

Δ يمر من A ويكون عمودياً على [BD]
نسقط B عمودياً على Δ لإيجاد المسافة
نسمي H إسقاط B على Δ
d = BH

الحساب:

في المثلث ABD:

BH هو ارتفاع المثلث من B على Δ (الذي يمر من A وعمودي على BD)
باستخدام خاصية المساحة أو العلاقات المثلثية يمكن حساب BH

نقارن d مع الشعاع R = BA:

إذا كان d < R ← Δ قاطع لـ (C)
إذا كان d = R ← Δ مماس لـ (C)
إذا كان d > R ← Δ خارجي عن (C)

ملاحظة: بدون قياسات محددة للمستطيل، نستنتج أن:

الوضعية تعتمد على نسب أبعاد المستطيل

في الحالة العامة: Δ قاطع للدائرة (C) لأن المسافة من B إلى Δ أصغر من BA

السؤال 3: رسم المماس Δ' في E

المعطى الإضافي:

المستقيم (AB) يقطع الدائرة (C) في نقطة ثانية E
E ≠ A
E تنتمي إلى [AB] المطول خارج المستطيل

خاصية: A و E تنتميان إلى (C) ومركزها B

إذن: BA = BE = R (الشعاع)

الإنشاء:

نطيل المستقيم (AB) من جهة B
نضع E على (AB) بحيث BE = BA
نرسم المستقيم Δ' العمودي على [BE] عند النقطة E
Δ' هو المماس للدائرة (C) في E

تحقق:

E تنتمي إلى (C) لأن BE = BA = R ✓
Δ' عمودي على الشعاع [BE] في E ✓
إذن Δ' مماس لـ (C) في E ✓

السؤال 4: طبيعة المثلث AEF

المعطى:

F نقطة تقاطع Δ و Δ'
المثلث AEF له رؤوس: A, E, F

تحليل الزوايا:

Δ مماس في A ← Δ ⊥ [BA]
Δ' مماس في E ← Δ' ⊥ [BE]
A, B, E على استقامة واحدة (المستقيم AB)

حساب الزوايا:

عند A:

\(\angle FAB = 90°\) (لأن Δ ⊥ [BA])
في المثلث AEF: \(\angle FAE\) هي جزء من الزاوية القائمة أو تساويها

عند E:

\(\angle FEB = 90°\) (لأن Δ' ⊥ [BE])
في المثلث AEF: \(\angle FEA = 180° - 90° = 90°\)

الاستنتاج:

في المثلث AEF:

\(\angle FAE = 90°\) أو \(\angle FEA = 90°\)
إذن المثلث AEF هو مثلث قائم الزاوية

بالتفصيل:

بما أن Δ و Δ' كلاهما مماسان للدائرة (C) من نقطتين A و E على قطر واحد، ويتقاطعان في F، فإن:

الزاوية عند A أو E في المثلث AEF تكون قائمة
تحديداً: إذا كان Δ ⊥ [BA] و Δ' ⊥ [BE] و A-B-E على استقامة
فإن الزاوية \(\angle AFE\) أو إحدى الزاويتين الأخريين تكون 90°

الجواب النهائي:

المثلث AEF هو مثلث قائم الزاوية

التعليل: لأن Δ و Δ' مماسان للدائرة في نقطتين على قطر واحد، مما يجعل إحدى زوايا المثلث قائمة

ملاحظة إضافية: إذا كانت هناك شروط هندسية إضافية (مثل تساوي أطوال معينة)، قد يكون المثلث أيضاً متساوي الساقين بالإضافة إلى كونه قائم الزاوية.