تمارين في الرياضيات

$25 \times (103 + 40)$

$= (25 \times 103) + (25 \times 40)$

$= 2575 + 1000$

إذا كانت $O$ مركز دائرة و$[AB]$ وتر فيها، فإن الموسط العمودي للوتر $[AB]$ يمر بالضرورة من مركز الدائرة $O$.

وبما أن $H$ تنتمي إلى الموسط العمودي لـ $[AB]$، فهذا يعني أن هذا الموسط يمر بالنقطة $O$.

إذن، $O$ تنتمي إلى الموسط العمودي لـ $[AB]$.

مجموع العدد 30 وجذاء العددين 15 و 2: $30 + (15 \times 2) = 30 + 30 = 60$

جذاء العدد 2 ومجموع العددين 30 و 15: $2 \times (30 + 15) = 2 \times 45 = 90$

$60 \neq 90$

العبارة خاطئة.

في مثلث متقايس الضلعين $ABC$ قمته الرئيسية $A$، فإن المستقيم $(AI)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[BC]$ وهو أيضاً منصف الزاوية ورابط المتوسط.

إذا كانت $D$ نقطة حيث $DB=DC$، فهذا يعني أن $D$ تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة $[BC]$ (لأنها متساوية المسافة عن طرفي القطعة).

وبما أن $(AI)$ هو الموسط العمودي لـ $[BC]$، و$D$ تنتمي إلى هذا الموسط، فإن النقاط $A$ و $I$ و $D$ تقع كلها على نفس المستقيم وهو الموسط العمودي لـ $[BC]$.

العبارة صحيحة.

$A = (1748 - 548) - (116 + 548)$

$A = 1200 - 664$

$A = 536$

$B = (287 + 1975) + (2213 - 1975)$

$B = 2262 + 238$

$B = 2500$

$C = (549 + 179 + 31) - (109 + 580)$

$C = (549 + 210) - 689$

$C = 759 - 689$

$C = 70$

$D = 107 \times 198 + 13 \times 198 + 205 \times 240$

$D = (107 + 13) \times 198 + 205 \times 240$

$D = 120 \times 198 + 205 \times 240$

$D = 23760 + 49200$

$D = 72960$

$E = 1945 - (945 + 150)$

$E = 1945 - 1095$

$E = 850$

$F = 7 + 3 \times 5 - 4 + 3$

$F = 7 + 15 - 4 + 3$

$F = 22 - 4 + 3$

$F = 18 + 3$

$F = 21$

$(317 + x) - 217 = 105$

$317 + x = 105 + 217$

$317 + x = 322$

$x = 322 - 317$

$x = 5$

إذن: $(317 + 5) - 217 = 105$

$x - 317 = 317$

$x = 317 + 317$

$x = 634$

إذن: $634 - 317 = 317$

بما أن الدائرة التي مركزها $I$ وشعاعها $4$cm تقطع المستقيم $(\Delta)$ في النقطتين $A$ و $B$ ، فهذا يعني أن $IA = IB = 4$cm.

وبما أن النقطة $I$ هي مركز الدائرة، و$A$ و $B$ تقعان على محيط الدائرة، فإن $I$ هي منتصف القطعة $[AB]$ فقط إذا كان $[AB]$ قطراً للدائرة.

ولكن هنا، $I$ هي نقطة تقاطع المستقيم $(D)$ مع $(\Delta)$، والدائرة تمر بـ $A$ و $B$.

بما أن $IA = IB$ (كلاهما شعاع الدائرة)، فإن $I$ متساوية المسافة عن $A$ و $B$.

إذن، النقطة $I$ هي مركز القطعة $[AB]$ (أي منتصفها) وذلك لأن $A$ و $B$ هما نقطتا تقاطع المستقيم $(\Delta)$ مع الدائرة التي مركزها $I$. وبالتالي $IA$ و $IB$ هما شعاعان لهذه الدائرة وطولاهما متساويان. ولأن $A$ و $B$ تقعان على المستقيم $(\Delta)$ الذي يمر عبر $I$ (حيث $D$ عمودي على $\Delta$ في $I$), فإن $I$ تقع بين $A$ و $B$ وتفصل بينهما بالتساوي.

لإثبات أن المستقيم $(D)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$، يجب أن نثبت أنه:

1. يمر من منتصف $[AB]$.

2. عمودي على $[AB]$.

من السؤال 1-ب، $IA = IB = 4$cm. هذا يعني أن $I$ هي نقطة متساوية البعد عن $A$ و $B$. بما أن $A$ و $B$ تقعان على المستقيم $(\Delta)$، و$I$ تقع على $(\Delta)$ بين $A$ و $B$ (حيث أن $IA=IB$ و$A, I, B$ على استقامة واحدة)، فإن $I$ هي منتصف القطعة $[AB]$.

في السؤال 1-أ، ذكر أن $(D)$ عمودي على $(\Delta)$ في النقطة $I$. وبما أن القطعة $[AB]$ تقع على المستقيم $(\Delta)$، فإن $(D)$ عمودي على $[AB]$ في النقطة $I$.

بما أن $(D)$ يمر من منتصف $[AB]$ وعمودي عليها، فإن $(D)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$.

بما أن النقطة $M$ تنتمي إلى المستقيم $(D)$، والمستقيم $(D)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$ (كما أثبتنا في 2-أ).

خاصية الموسط العمودي تقول أن أي نقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة مستقيم تكون متساوية المسافة عن طرفي هذه القطعة.

إذن، $MA = MB$.

وبما أن $MA = MB$، فإن المثلث $MAB$ هو مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $M$.

لدينا $(D) \perp (\Delta)$ (من السؤال 1-أ).

ولدينا $(\Lambda) \perp (D)$ (من السؤال 3-أ).

إذا كان مستقيمان عموديان على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان.

إذن، $(\Lambda) \parallel (\Delta)$.

البعد بين مستقيمين متوازيين هو طول القطعة المستقيمة العمودية عليهما، والتي تصل بينهما.

بما أن $(\Lambda)$ يمر من $M$ وعمودي على $(D)$، و$(\Delta)$ عمودي على $(D)$ في $I$.

والمسافة $IM = 3$cm (من السؤال 2-ب).

فإن البعد بين المستقيمين $(\Lambda)$ و $(\Delta)$ هو طول القطعة $IM$، أي $3$cm.

المسقط العمودي لنقطة على مستقيم هو النقطة التي تنتج عن رسم خط عمودي من النقطة إلى المستقيم.

لدينا $(D') \parallel (D)$ (من السؤال 4-أ).

ولدينا $(\Lambda) \perp (D)$ (من السؤال 3-أ).

بما أن مستقيماً عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين، فهو عمودي على الآخر.

إذن، $(\Lambda) \perp (D')$.

وبما أن المستقيم $(D')$ يمر من $B$ ويقطع $(\Lambda)$ في $E$، و$(\Lambda)$ عمودي على $(D')$.

هذا يعني أن $BE$ عمودي على $(\Lambda)$.

وبالتالي، النقطة $E$ هي المسقط العمودي للنقطة $B$ على المستقيم $(\Lambda)$.

مساحة شبه المنحرف تساوي: $\frac{(\text{القاعدة الأولى} + \text{القاعدة الثانية}) \times \text{الارتفاع}}{2}$

في شبه المنحرف $FABE$، القاعدتان المتوازيتان هما $FA$ و $EB$ (أو $EF$ و $AB$ إذا كان الشبه منحرف قائم في $F$ و $B$، لكن الرسم يوضح أنه قائم في $A$ و $F$).

بما أن شبه المنحرف قائم في $A$ و $F$، فإن الارتفاع هو $AF$ أو $BE$.

القاعدتان هما $AB$ و $FE$. والارتفاع هو $FA$.

$AB = 8$cm

$EF = 4$cm

$FA = 3$cm (وهو الارتفاع)

مساحة شبه المنحرف $FABE = \frac{(AB + EF) \times FA}{2}$

مساحة $FABE = \frac{(8 + 4) \times 3}{2}$

مساحة $FABE = \frac{12 \times 3}{2}$

مساحة $FABE = \frac{36}{2}$

مساحة $FABE = 18$ $cm^2$

المساحة المشطوبة هي مساحة المثلث $CFE$.

مساحة المثلث $CFE = 6$ $cm^2$.

المثلث $ABC$ قائم في $A$. يمكن حساب مساحته: مساحة $ABC = \frac{AB \times AC}{2}$.

لإيجاد $AC$ نستخدم نظرية فيثاغورس في المثلث القائم $ABC$:

$AB^2 + AC^2 = BC^2$

$8^2 + AC^2 = 10^2$

$64 + AC^2 = 100$

$AC^2 = 100 - 64$

$AC^2 = 36$

$AC = \sqrt{36} = 6$ cm

الآن، مساحة المثلث $ABC = \frac{8 \times 6}{2} = \frac{48}{2} = 24$ $cm^2$.

مساحة المثلث $CFE$ (المشطوب) هي $6$ $cm^2$.

نلاحظ أن $F$ تقع على $AC$ و $E$ تقع على $BC$.

ولكن الرسم يظهر أن المثلث المشطوب هو $CFE$. لإيجاد مساحة شبه المنحرف $FABE$ استخدمنا $AB$ و $EF$ كقاعدتين. هذا يعني أن $AB \parallel EF$.

بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$، والمستقيم $EF$ موازي للمستقيم $AB$، فإن المثلث $CFE$ مشابه للمثلث $CBA$.

نسبة التشابه بين المثلثين $CFE$ و $CBA$ هي $k$.

نسبة المساحات هي $k^2 = \frac{\text{مساحة } CFE}{\text{مساحة } CBA} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

إذن، $k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

هذا يعني أن $CF = \frac{1}{2} CA$ و $CE = \frac{1}{2} CB$ و $FE = \frac{1}{2} AB$.

نحن نعلم $EF=4$cm و $AB=8$cm، وهذا يؤكد نسبة التشابه $k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

المسافة بين النقطة $A$ والمستقيم $(BC)$ هي الارتفاع النازل من $A$ على $BC$ في المثلث $ABC$. لنسم هذا الارتفاع $h_A$.

مساحة المثلث $ABC = \frac{BC \times h_A}{2}$

$24 = \frac{10 \times h_A}{2}$

$24 = 5 \times h_A$

$h_A = \frac{24}{5}$

$h_A = 4.8$ cm

إذن، بعد النقطة $A$ عن المستقيم $(BC)$ هو $4.8$cm.

إذا كان $IA = IB$، فهذا يعني أن النقطة $I$ تبعد نفس المسافة عن النقطتين $A$ و $B$.

في هذه الحالة، المثلث $IAB$ له ضلعان متساويان في الطول ($IA$ و $IB$)، وبالتالي فهو مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $I$.

لدينا $19 \times (41* + 20)$

باستخدام خاصية التوزيع: $=(19 \times 41*) + (19 \times 20)$

نعلم أن $19 \times 41* = 78*8$

ونعلم أن $19 \times 20 = 380$

إذن، الجذاء يساوي $78*8 + 380$

$(27+13) \times (23-13)$

$= 40 \times 10$

$= 400$

في شبه المنحرف $ABCD$ قاعدتاه $[AB]$ و $[CD]$، فإن المستقيمين $(BC)$ و $(AD)$ هما الضلعان غير المتوازيين. وبالتالي، فإنهما متقاطعان.

العبارة صحيحة.

$A = 1786 - (786 + 240)$

$A = 1786 - 1026$

$A = 760$

$B = (801 - 405) + (98 + 406)$

$B = 396 + 504$

$B = 900$

$C = 205 \times 89 + 205 \times 1 + 205 \times 10$

$C = 205 \times (89 + 1 + 10)$

$C = 205 \times 100$

$C = 20500$

$D = 5 \times (11 - 4) - 7 \times (4 \times 3 - 11)$

$D = 5 \times 7 - 7 \times (12 - 11)$

$D = 35 - 7 \times 1$

$D = 35 - 7$

$D = 28$

$189 - (x + 87) = 88$

$189 - 88 = x + 87$

$101 = x + 87$

$x = 101 - 87$

$x = 14$

إذن: $189-(14+87)=88$

$x + 78 = 101$

$x = 101 - 78$

$x = 23$

إذن: $23+78=101$

نحاول تجربة العلامات:

إذا كانت $315 - (115 - 50) = 315 - 65 = 250$.

إذن، العلامات هي: $315 - (115 - 50) = 250$

نحاول تجربة العلامات:

إذا كانت $(820 - 205) - (295 - 205) = 615 - 90 = 525$ (لا تطابق)

إذا كانت $(820 + 205) - (295 + 205) = 1025 - 500 = 525$ (لا تطابق)

إذا كانت $(820 - 205) + (295 - 205) = 615 + 90 = 705$ (لا تطابق)

إذا كانت $(820 + 205) + (295 + 205) = 1025 + 500 = 1525$ (لا تطابق)

لننظر إلى المعادلة النهائية: النتيجة هي 115، وهو رقم صغير نسبيا. هذا يشير إلى أن هناك عمليات طرح كبيرة.

بفرض $(820 - 205)$ وهو $615$.

وبفرض $(295 - 205)$ وهو $90$.

المشكلة تكمن في أن $(615 - 90)$ لا يساوي 115.

فلنجرب ترتيب العمليات بشكل مختلف أو علامات مختلفة. لنفترض أننا نريد الحصول على 115.

نحتاج إلى قيمة كبيرة مطروح منها قيمة أكبر. أو قيمة صغيرة مضافة إلى قيمة أخرى.

دعنا نفترض أن العلامة الأولى هي طرح (لأن 820 و 205 يعطيان 615).

$(820 - 205) ... (295 ... 205) = 115$

$615 ... (295 ... 205) = 115$

نحتاج أن يكون $(295 ... 205)$ يساوي $615 - 115 = 500$.

لكي يكون $295 ... 205 = 500$، يجب أن تكون العلامة بين 295 و 205 هي جمع.

$295 + 205 = 500$.

إذن، العلامات هي: $(820 - 205) - (295 + 205) = 115$.

العبارة المختارة هي $17 \times 6 + 17 \times 8 - 7 \times 2$

$= 17 \times (6 + 8) - 14$ (باستخدام خاصية التوزيع)

$= 17 \times 14 - 14$

$= 14 \times (17 - 1)$ (باستخراج العامل المشترك)

$= 14 \times 16$

$= 224$

لإثبات أن $(EI)$ هو الموسط العمودي لـ $[AC]$، يجب أن نثبت أنه يمر من منتصف $[AC]$ وعمودي عليه.

1. **يمر من منتصف $[AC]$:**
معطى أن $I$ منتصف $[AC]$. وبما أن المستقيم $(EI)$ يمر من $I$، فإنه يمر من منتصف $[AC]$.

2. **عمودي على $[AC]$:**
معطى أن $ABC$ مثلث قائم في $A$.
معطى أن $EA=EB=EC$. هذه الخاصية تدل على أن $E$ هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$. بما أن المثلث قائم في $A$، فإن مركز الدائرة المحيطة يقع في منتصف الوتر $BC$. إذن، $E$ منتصف $BC$.
في المثلث $ABC$، بما أن $I$ منتصف $[AC]$ و $E$ منتصف $[BC]$، فإن المستقيم $(EI)$ هو قطعة مستقيمة تربط منتصفي ضلعين في المثلث. وبالتالي، $(EI) \parallel (AB)$ (حسب نظرية المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث).

بما أن $(AB) \perp (AC)$ (المثلث قائم في $A$ )، و$(EI) \parallel (AB)$، فإن $(EI) \perp (AC)$.
بما أن $(EI)$ يمر من منتصف $[AC]$ وعمودي عليه، فإنه هو الموسط العمودي لـ $[AC]$.

في المثلث $ABC$:

معطى أن $I$ منتصف $[AC]$.

معطى أن $EA=EB=EC$. هذه الخاصية تعني أن $E$ هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$. وبما أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ ، فإن مركز الدائرة المحيطة به هو منتصف الوتر $BC$. إذن، $E$ هي منتصف $[BC]$.

بما أن $(EI)$ يربط منتصفي الضلعين $AC$ و $BC$ في المثلث $ABC$، فإنه حسب نظرية المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث، يكون $(EI)$ موازياً للضلع الثالث $AB$ وطوله نصف طول $AB$.

إذن، المستقيمين $(EI)$ و $(AB)$ متوازيان.

لإثبات أن المستقيم $\Lambda$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$، يجب أن نثبت أنه يمر من منتصف $[AB]$ وعمودي عليه.

1. **يمر من منتصف $[AB]$:**
معطى أن $I'$ منتصف $[AB]$. وبما أن المستقيم $\Lambda$ يمر من $I'$ ، فإنه يمر من منتصف $[AB]$.

2. **عمودي على $[AB]$:**
معطى أن المستقيم $\Lambda$ عمودي على $(AB)$.

بما أن المستقيم $\Lambda$ يمر من منتصف $[AB]$ وعمودي عليه، فإنه هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$.

لقد أثبتنا في 1-ب أن $(EI) \parallel (AB)$.

ولدينا المثلث $ABC$ قائم في $A$.

المستقيم $\Lambda$ عمودي على $(AB)$ ويمر من $I'$ منتصف $[AB]$.

وبما أن $E$ هي منتصف $[BC]$ (من تعليل 1-أ)، فإن $E$ متساوية المسافة عن $B$ و $C$.

أي نقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة مستقيمة تكون متساوية المسافة عن طرفي هذه القطعة.

النقطة $E$ هي منتصف الوتر $BC$ في المثلث القائم $ABC$. المسافة من رأس الزاوية القائمة إلى منتصف الوتر تساوي نصف طول الوتر ($EA=EB=EC$).

نحن نعلم أن $\Lambda$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$.

بما أن $(EI) \parallel (AB)$، و$(AB) \perp \Lambda$، إذن $(EI) \perp \Lambda$.

هذا لا يثبت أن $E$ تنتمي إلى $\Lambda$.

لنعد إلى الخاصية: النقطة $E$ هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم $ABC$.
النقطة $E$ تبعد نفس المسافة عن $A, B, C$. أي $EA=EB=EC$.
بما أن $EA=EB$، فإن $E$ تنتمي إلى الموسط العمودي لـ $[AB]$.
وبما أن المستقيم $\Lambda$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$ ، فإن النقطة $E$ تنتمي إلى المستقيم $\Lambda$.

لقد أثبتنا في 1-ب أن $(EI) \parallel (AB)$.

ولقد أثبتنا في 2-أ أن $\Lambda \perp (AB)$ (لأن $\Lambda$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$).

إذا كان مستقيم ($EI$) يوازي مستقيماً ($AB$)، وكان مستقيم آخر ($\Lambda$) عمودياً على المستقيم الموازي ($AB$)، فإنه سيكون عمودياً أيضاً على المستقيم الأول ($EI$).

إذن، المستقيمين $(EI)$ و $\Lambda$ متعامدان.

الخطوات البنائية:

أ) لتعيين النقطة $D$ بحيث $C$ هي منتصف $[AD]$:
نرسم المستقيم $(AC)$.
نقيس المسافة $AC$ (والتي هي $2$cm).
نمدد المستقيم $(AC)$ من النقطة $C$ في الاتجاه المعاكس لـ $A$ بمسافة تساوي $AC$.
النقطة التي نحصل عليها هي $D$.

ب) لتعيين النقطة $I$ منتصف $[BD]$:
نرسم القطعة المستقيمة $[BD]$.
نستخدم المسطرة لتحديد منتصف $[BD]$، أو نستخدم الفرجار لرسم قوسين من $B$ و $D$ بنصف قطر أكبر من نصف طول $BD$، ونقطتا تقاطع الأقواس ستحددان الموسط العمودي لـ $[BD]$ الذي يمر بمنتصفها. نقطة التقاطع هذه مع $[BD]$ هي $I$.

1) تعيين $E$ حيث $I$ منتصف $[AE]$:
نمدد المستقيم $(AI)$ من $I$ بمسافة تساوي $AI$. النقطة الناتجة هي $E$.

2) إثبات أن $(BI)$ هو الموسط العمودي لـ $[AE]$:
لدينا $I$ منتصف $[AE]$ (من السؤال 2-أ). إذن $(BI)$ يمر من منتصف $[AE]$.
نحتاج لإثبات أن $(BI) \perp (AE)$.

في المثلث $ABD$:
لدينا $C$ منتصف $[AD]$ (من السؤال 1-أ).
لدينا $I$ منتصف $[BD]$ (من السؤال 1-ب).
إذن، $(CI)$ هو المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين في المثلث $ABD$. وبالتالي $(CI) \parallel (AB)$ (وحسب نظرية طاليس في المثلث).
بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$ ، فإن $(AB) \perp (AC)$.
وبما أن $(CI) \parallel (AB)$، فإن $(CI) \perp (AC)$.
بما أن $(AE)$ هو نفسه جزء من المستقيم $(AC)$ (بما أن $I$ على امتداد $AC$)، فهذا يعني أن $(CI) \perp (AE)$.
ولكن العلاقة المطلوبة هي بين $(BI)$ و $(AE)$.
لنعد النظر: $C$ منتصف $[AD]$ و $I$ منتصف $[BD]$. إذن $(CI)$ يوازي $(AB)$ وطوله نصف طول $AB$.
في المثلث $ABE$، $I$ هي منتصف $AE$ (بناءً).
في الرباعي $ABDE$:
بما أن $C$ هي منتصف $[AD]$ و $I$ هي منتصف $[BD]$، فإن $CI$ يوازي $AB$ وطوله نصف $AB$.
وبما أن $I$ هي منتصف $[AE]$، فإن الرباعي $ABDE$ هو متوازي أضلاع إذا كانت أقطاره تنصف بعضها البعض، ولكن هذا غير مؤكد.
لننظر إلى المثلث $ABD$. $CI$ هو متوسط.
في المثلث $ABE$: $BI$ هو متوسط (لأن $I$ منتصف $AE$).
لنستفد من المعطيات: $ABC$ قائم في $A$. $AB=4$cm، $AC=2$cm.
بما أن $C$ منتصف $[AD]$، فإن $AD = 2 \times AC = 2 \times 2 = 4$cm.
المثلث $ABD$ هو مثلث متساوي الساقين بقاعدة $AD$؟ لا، ليس بالضرورة.
المثلث $ABC$ قائم في $A$.
في المثلث $ADE$ (حيث $I$ منتصف $AE$ و $C$ منتصف $AD$). فإن $CI \parallel DE$.
نحن بحاجة إلى إثبات أن $(BI) \perp (AE)$.
يمكن استخدام نظرية فيثاغورس أو خصائص المثلثات.
بما أن $I$ منتصف $[BD]$ و $C$ منتصف $[AD]$، فإن $IC$ يوازي $AB$.
بما أن $ABC$ قائم في $A$, فإن $AB \perp AC$.
إذن $IC \perp AC$.
وبما أن $I$ منتصف $AE$، $A, I, E$ على استقامة واحدة.
نحتاج إلى معرفة العلاقة بين $(BI)$ و $(AC)$ (أو $(AE)$).
بما أن $I$ منتصف $[BD]$، و $C$ منتصف $[AD]$، فإن $IC$ يوازي $AB$.
و $IC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 4 = 2$cm.
إذن، المثلث $AIC$ هو مثلث قائم في $C$ (لأن $IC \parallel AB$ و $AB \perp AC$).
في المثلث $AIC$ القائم في $C$: $AI^2 = AC^2 + IC^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.
$AI = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ cm.
بما أن $I$ منتصف $[AE]$، فإن $AE = 2 \times AI = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ cm.
هذه حسابات للطول، لا تثبت التعامد.
لنستخدم خاصية أخرى: إذا كان المتوسط في مثلث هو أيضاً ارتفاع، فإن المثلث متساوي الساقين.
في المثلث $ABE$: $BI$ هو متوسط إلى $AE$. إذا كان $BI \perp AE$، فإن المثلث $ABE$ متساوي الساقين في $B$. أي $BA = BE$.
نحن نعلم $AB=4$cm. هل $BE=4$cm؟
لنحسب $BD$. في المثلث $ABD$: $AB=4$. $AD=4$. هذا يعني أن $ABD$ مثلث متساوي الساقين في $A$.
إذا كان $BD$ هو القاعدة، فإن $AI$ هو الموسط العمودي لـ $BD$ إذا كانت $I$ منتصف $BD$ و $AI \perp BD$.
لنستخدم إحداثيات: $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(0,2)$.
$D$ بحيث $C$ منتصف $[AD]$. $C = (\frac{0+x_D}{2}, \frac{0+y_D}{2}) \Rightarrow (0,2) = (\frac{x_D}{2}, \frac{y_D}{2})$.
إذن $x_D=0, y_D=4$. $D=(0,4)$.
$B=(4,0)$, $D=(0,4)$.
$I$ منتصف $[BD]$: $I = (\frac{4+0}{2}, \frac{0+4}{2}) = (2,2)$.
$A=(0,0)$. $E$ بحيث $I$ منتصف $[AE]$. $I = (\frac{0+x_E}{2}, \frac{0+y_E}{2}) \Rightarrow (2,2) = (\frac{x_E}{2}, \frac{y_E}{2})$.
إذن $x_E=4, y_E=4$. $E=(4,4)$.
الآن نتحقق من أن $(BI) \perp (AE)$.
ميل $(BI)$: $M_{BI} = \frac{2-0}{2-4} = \frac{2}{-2} = -1$.
ميل $(AE)$: $M_{AE} = \frac{4-0}{4-0} = \frac{4}{4} = 1$.
بما أن حاصل ضرب الميلين يساوي $-1 \times 1 = -1$، فإن المستقيمين $(BI)$ و $(AE)$ متعامدان.
وبما أن $I$ منتصف $[AE]$، فإن $(BI)$ هو الموسط العمودي لـ $[AE]$.

بما أن $(BI)$ هو الموسط العمودي لـ $[AE]$ (كما أثبتنا في 2-ب)، فإن أي نقطة على الموسط العمودي تكون متساوية المسافة عن طرفي القطعة.

إذن، $BA = BE$ (لأن $B$ تقع على الموسط العمودي $(BI)$).

نعلم أن $AB=4$cm.

إذن، $BE = 4$cm.

لدينا المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$. هذا يعني أن $(AB) \perp (AC)$.

لدينا المستقيم $\Lambda$ يمر من $C$ وعمودي على $(AC)$.

بما أن كلا من $(AB)$ و $\Lambda$ عموديان على نفس المستقيم $(AC)$، فإنهما متوازيان.

إذن، $\Lambda \parallel (AB)$.

البعد بين نقطة ومستقيم هو طول القطعة المستقيمة العمودية من النقطة إلى المستقيم.

لدينا المستقيم $\Lambda$ عمودي على $(AC)$ في $C$.

إذن، المستقيم $(AC)$ هو المستقيم العمودي من $A$ إلى $\Lambda$.

البعد بين النقطة $A$ والمستقيم $\Lambda$ هو طول القطعة $AC$.

معطى أن $AC = 2$cm.

إذن، بعد $A$ عن $\Lambda$ هو $2$cm.