تمارين في الرياضيات
إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة
1) ضع في دائرة الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين المقترحات التالية:
إذا علمت أن $$25 \times 103 = 2575$$ فإن العبارة $$25 \times (103 + 40)$$ تساوي
الحل التفصيلي:
$$25 \times (103 + 40)$$
$$= (25 \times 103) + (25 \times 40)$$
$$= 2575 + 1000$$
دائرة مركزها $$O$$ و $$[AB]$$ حبل لها. $$H$$ تنتمي إلى الموسط العمودي لـ $$[AB]$$.
إذن:
الحل التفصيلي:
إذا كانت $$O$$ مركز دائرة و$$[AB]$$ وتر فيها، فإن الموسط العمودي للوتر $$[AB]$$ يمر بالضرورة من مركز الدائرة $$O$$.
وبما أن $$H$$ تنتمي إلى الموسط العمودي لـ $$[AB]$$، فهذا يعني أن هذا الموسط يمر بالنقطة $$O$$.
إذن، $$O$$ تنتمي إلى الموسط العمودي لـ $$[AB]$$.
2) أجب بصواب أو خطأ:
أ) مجموع العدد 30 وجذاء العددين 15 و 2 يساوي جذاء العدد 2 ومجموع العددين 30 و 15
الحل التفصيلي:
مجموع العدد 30 وجذاء العددين 15 و 2: $$30 + (15 \times 2) = 30 + 30 = 60$$
جذاء العدد 2 ومجموع العددين 30 و 15: $$2 \times (30 + 15) = 2 \times 45 = 90$$
$$60 \neq 90$$
العبارة خاطئة.
ب) $$ABC$$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $$A$$ و $$I$$ منتصف $$[BC]$$ إذا كانت $$D$$ نقطة حيث $$DB=DC$$ فإن النقاط $$A$$ و $$I$$ و $$D$$ على استقامة واحدة
الحل التفصيلي:
في مثلث متقايس الضلعين $$ABC$$ قمته الرئيسية $$A$$، فإن المستقيم $$(AI)$$ هو الموسط العمودي للقطعة $$[BC]$$ وهو أيضاً منصف الزاوية ورابط المتوسط.
إذا كانت $$D$$ نقطة حيث $$DB=DC$$، فهذا يعني أن $$D$$ تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة $$[BC]$$ (لأنها متساوية المسافة عن طرفي القطعة).
وبما أن $$(AI)$$ هو الموسط العمودي لـ $$[BC]$$، و$$D$$ تنتمي إلى هذا الموسط، فإن النقاط $$A$$ و $$I$$ و $$D$$ تقع كلها على نفس المستقيم وهو الموسط العمودي لـ $$[BC]$$.
العبارة صحيحة.
1) أحسب:
$$A=(1748-548)-(116+548)$$
الحل التفصيلي:
$$A = (1748 - 548) - (116 + 548)$$
$$A = 1200 - 664$$
$$A = 536$$
$$B=(287+1975)+(2213-1975)$$
الحل التفصيلي:
$$B = (287 + 1975) + (2213 - 1975)$$
$$B = 2262 + 238$$
$$B = 2500$$
$$C=(549+179+31)-(109+580)$$
الحل التفصيلي:
$$C = (549 + 179 + 31) - (109 + 580)$$
$$C = (549 + 210) - 689$$
$$C = 759 - 689$$
$$C = 70$$
$$D=107 \times 198 + 13 \times 198 + 205 \times 240$$
الحل التفصيلي:
$$D = 107 \times 198 + 13 \times 198 + 205 \times 240$$
$$D = (107 + 13) \times 198 + 205 \times 240$$
$$D = 120 \times 198 + 205 \times 240$$
$$D = 23760 + 49200$$
$$D = 72960$$
$$E=1945-(945+150)$$
الحل التفصيلي:
$$E = 1945 - (945 + 150)$$
$$E = 1945 - 1095$$
$$E = 850$$
$$F=7+3 \times 5-4+3$$
الحل التفصيلي:
$$F = 7 + 3 \times 5 - 4 + 3$$
$$F = 7 + 15 - 4 + 3$$
$$F = 22 - 4 + 3$$
$$F = 18 + 3$$
$$F = 21$$
2) أ) أكمل بما يناسب:
$$(317+.......)-217=105$$
الحل التفصيلي:
$$(317 + x) - 217 = 105$$
$$317 + x = 105 + 217$$
$$317 + x = 322$$
$$x = 322 - 317$$
$$x = 5$$
إذن: $$(317 + 5) - 217 = 105$$
......- $$317=317$$
الحل التفصيلي:
$$x - 317 = 317$$
$$x = 317 + 317$$
$$x = 634$$
إذن: $$634 - 317 = 317$$
3) يريد سامي شراء بيت جلوس ثمنها الأصلي بالدينار 2799 وبمناسبة شهر الأثاث تمتّع بتخفيض قيمته 200 دينار, إذا علمت أن سامي كان يملك مبلغ 3147 دينار حدّد العمليتين اللتين تمثلان المبلغ المتبقي لسامي بوضع كل منهما في دائرة:
الحل التفصيلي:
ثمن بيت الجلوس بعد التخفيض هو: الثمن الأصلي - قيمة التخفيض.
الثمن بعد التخفيض $$= 2799 - 200$$ دينار.
المبلغ المتبقي لسامي هو: المبلغ الذي يملكه - الثمن بعد التخفيض.
المبلغ المتبقي $$= 3147 - (2799 - 200)$$ دينار.
العملية الصحيحة هي ب) $$3147-(2799-200)$$
1) أ) ارسم مستقيم $$(D)$$ عمودي على المستقيم $$(Δ)$$ في النقطة $$I$$.
ب) ارسم دائرة مركزها $$I$$ وشعاعها $$4$$cm تقطع $$(\Delta)$$ في نقطتين $$A$$ و $$B$$.
ماذا تمثل النقطة $$I$$ بالنسبة للقطعة $$[AB]$$؟ علل جوابك.
الحل التفصيلي:
بما أن الدائرة التي مركزها $$I$$ وشعاعها $$4$$cm تقطع المستقيم $$(\Delta)$$ في النقطتين $$A$$ و $$B$$ ، فهذا يعني أن $$IA = IB = 4$$cm.
وبما أن النقطة $$I$$ هي مركز الدائرة، و$$A$$ و $$B$$ تقعان على محيط الدائرة، فإن $$I$$ هي منتصف القطعة $$[AB]$$ فقط إذا كان $$[AB]$$ قطراً للدائرة.
ولكن هنا، $$I$$ هي نقطة تقاطع المستقيم $$(D)$$ مع $$(\Delta)$$، والدائرة تمر بـ $$A$$ و $$B$$.
بما أن $$IA = IB$$ (كلاهما شعاع الدائرة)، فإن $$I$$ متساوية المسافة عن $$A$$ و $$B$$.
إذن، النقطة $$I$$ هي مركز القطعة $$[AB]$$ (أي منتصفها) وذلك لأن $$A$$ و $$B$$ هما نقطتا تقاطع المستقيم $$(\Delta)$$ مع الدائرة التي مركزها $$I$$. وبالتالي $$IA$$ و $$IB$$ هما شعاعان لهذه الدائرة وطولاهما متساويان. ولأن $$A$$ و $$B$$ تقعان على المستقيم $$(\Delta)$$ الذي يمر عبر $$I$$ (حيث $$D$$ عمودي على $$\Delta$$ في $$I$$), فإن $$I$$ تقع بين $$A$$ و $$B$$ وتفصل بينهما بالتساوي.
2) أ) بين أن المستقيم $$(D)$$ هو الموسط العمودي للقطعة $$[AB]$$.
الحل التفصيلي:
لإثبات أن المستقيم $$(D)$$ هو الموسط العمودي للقطعة $$[AB]$$، يجب أن نثبت أنه:
1. يمر من منتصف $$[AB]$$.
2. عمودي على $$[AB]$$.
من السؤال 1-ب، $$IA = IB = 4$$cm. هذا يعني أن $$I$$ هي نقطة متساوية البعد عن $$A$$ و $$B$$. بما أن $$A$$ و $$B$$ تقعان على المستقيم $$(\Delta)$$، و$$I$$ تقع على $$(\Delta)$$ بين $$A$$ و $$B$$ (حيث أن $$IA=IB$$ و$$A, I, B$$ على استقامة واحدة)، فإن $$I$$ هي منتصف القطعة $$[AB]$$.
في السؤال 1-أ، ذكر أن $$(D)$$ عمودي على $$(\Delta)$$ في النقطة $$I$$. وبما أن القطعة $$[AB]$$ تقع على المستقيم $$(\Delta)$$، فإن $$(D)$$ عمودي على $$[AB]$$ في النقطة $$I$$.
بما أن $$(D)$$ يمر من منتصف $$[AB]$$ وعمودي عليها، فإن $$(D)$$ هو الموسط العمودي للقطعة $$[AB]$$.
ب) عين النقطة $$M$$ من المستقيم $$(D)$$ بحيث $$IM=3$$cm.
ج) ما هي طبيعة المثلث $$MAB$$؟ علل جوابك.
الحل التفصيلي:
بما أن النقطة $$M$$ تنتمي إلى المستقيم $$(D)$$، والمستقيم $$(D)$$ هو الموسط العمودي للقطعة $$[AB]$$ (كما أثبتنا في 2-أ).
خاصية الموسط العمودي تقول أن أي نقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة مستقيم تكون متساوية المسافة عن طرفي هذه القطعة.
إذن، $$MA = MB$$.
وبما أن $$MA = MB$$، فإن المثلث $$MAB$$ هو مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $$M$$.
3) أ) ابن المستقيم $$(\Lambda)$$ المار من $$M$$ والعمودي على $$(D)$$.
ب) بين أن المستقيمين $$(\Lambda)$$ و $$(\Delta)$$ متوازيان.
الحل التفصيلي:
لدينا $$(D) \perp (\Delta)$$ (من السؤال 1-أ).
ولدينا $$(\Lambda) \perp (D)$$ (من السؤال 3-أ).
إذا كان مستقيمان عموديان على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان.
إذن، $$(\Lambda) \parallel (\Delta)$$.
ج) استنتج البعد بينهما.
الحل التفصيلي:
البعد بين مستقيمين متوازيين هو طول القطعة المستقيمة العمودية عليهما، والتي تصل بينهما.
بما أن $$(\Lambda)$$ يمر من $$M$$ وعمودي على $$(D)$$، و$$(\Delta)$$ عمودي على $$(D)$$ في $$I$$.
والمسافة $$IM = 3$$cm (من السؤال 2-ب).
فإن البعد بين المستقيمين $$(\Lambda)$$ و $$(\Delta)$$ هو طول القطعة $$IM$$، أي $$3$$cm.
4) أ) ابن المستقيم $$(D')$$ المار من $$B$$ والموازي للمستقيم $$(D)$$. $$(D')$$ يقطع $$(\Lambda)$$ في النقطة $$E$$.
ب) بين أن النقطة $$E$$ هي المسقط العمودي للنقطة $$B$$ على $$(\Lambda)$$.
الحل التفصيلي:
المسقط العمودي لنقطة على مستقيم هو النقطة التي تنتج عن رسم خط عمودي من النقطة إلى المستقيم.
لدينا $$(D') \parallel (D)$$ (من السؤال 4-أ).
ولدينا $$(\Lambda) \perp (D)$$ (من السؤال 3-أ).
بما أن مستقيماً عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين، فهو عمودي على الآخر.
إذن، $$(\Lambda) \perp (D')$$.
وبما أن المستقيم $$(D')$$ يمر من $$B$$ ويقطع $$(\Lambda)$$ في $$E$$، و$$(\Lambda)$$ عمودي على $$(D')$$ .
هذا يعني أن $$BE$$ عمودي على $$(\Lambda)$$.
وبالتالي، النقطة $$E$$ هي المسقط العمودي للنقطة $$B$$ على المستقيم $$(\Lambda)$$.
تأمل الرسم التالي حيث $$ABC$$ مثلث قائم في $$A$$ طول $$AB=8$$cm و $$BC=10$$cm.
و $$FABE$$ شبه منحرف قائم في $$A$$ و $$F$$ بحيث $$EF=4$$cm و $$FA=3$$cm.
1) أحسب مساحة شبه المنحرف $$FABE$$.
الحل التفصيلي:
مساحة شبه المنحرف تساوي: $$\frac{(\text{القاعدة الأولى} + \text{القاعدة الثانية}) \times \text{الارتفاع}}{2}$$
بما أن شبه المنحرف $$FABE$$ قائم في $$A$$ و $$F$$، والقاعدتان المتوازيتان هما $$AB$$ و $$FE$$، فإن الارتفاع هو $$FA$$.
$$AB = 8$$cm
$$EF = 4$$cm
$$FA = 3$$cm (وهو الارتفاع)
مساحة شبه المنحرف $$FABE = \frac{(AB + EF) \times FA}{2}$$
مساحة $$FABE = \frac{(8 + 4) \times 3}{2}$$
مساحة $$FABE = \frac{12 \times 3}{2}$$
مساحة $$FABE = \frac{36}{2}$$
مساحة $$FABE = 18$$ $$cm^2$$
2) إذا علمت أن المساحة المشطوبة تساوي $$6$$cm$$^2$$. أحسب بعد النقطة $$A$$ عن المستقيم $$(BC)$$.
الحل التفصيلي:
المساحة المشطوبة هي مساحة المثلث $$CFE$$.
بما أن $$FABE$$ شبه منحرف قائم في $$A$$ و $$F$$ و $$F$$ تنتمي إلى $$(AC)$$، فإن المستقيم $$(AF)$$ عمودي على $$(FE)$$ (أي $$AC \perp FE$$).
إذن، المثلث $$CFE$$ قائم الزاوية في $$F$$
لدينا مساحة المثلث $$CFE = \frac{CF \times FE}{2}$$
نعوض القيم المعروفة (مساحة $$CFE=6$$ و $$FE=4$$):
$$6 = \frac{CF \times 4}{2}$$
$$6 = 2 \times CF$$
$$CF = \frac{6}{2}$$
$$CF = 3$$ cm
طول الضلع $$AC$$ هو $$AC = AF + FC$$ (نحن نعلم $$AF=3$$cm).
$$AC = 3 + 3$$
$$AC = 6$$ cm
الآن نحسب مساحة المثلث $$ABC$$ القائم في $$A$$:
مساحة $$ABC = \frac{\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}}{2} = \frac{AB \times AC}{2}$$
مساحة $$ABC = \frac{8 \times 6}{2}$$
مساحة $$ABC = \frac{48}{2}$$
مساحة $$ABC = 24$$ $$cm^2$$
البعد بين النقطة $$A$$ والمستقيم $$(BC)$$ هو الارتفاع $$h_A$$ المتعلق بالضلع $$[BC]$$.
مساحة $$ABC = \frac{BC \times h_A}{2}$$
نعوض القيم المعروفة (مساحة $$ABC=24$$ و $$BC=10$$):
$$24 = \frac{10 \times h_A}{2}$$
$$24 = 5 \times h_A$$
$$h_A = \frac{24}{5}$$
$$h_A = 4.8$$ cm
إذن، بعد النقطة $$A$$ عن المستقيم $$(BC)$$ هو $$4.8$$cm.