① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
التعريف : النقطة \(A'\) هي مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\) إذا كانت \(O\) هي منتصف القطعة \([AA']\).
ومنتصف قطعة يفرض شرطين : أن تكون النقاط \(A\) و \(O\) و \(A'\) على استقامة واحدة — وهذا ما يضمنه تمديد نصف المستقيم — وأن يكون \(OA'=OA\) — وهذا ما يضمنه نقل الطول.
⚠️ لاحظ الفرق مع السابعة : في التناظر المحوري نرسم عموديا على مستقيم ؛ هنا نمدّ خطّا يمرّ من نقطة. لا كوس، لا زاوية قائمة.
④ كيف أتأكد؟
- قِس \(OA\) و \(OA'\) : متقايسان.
- ضع حرف المسطرة على \(A\) و \(A'\) : يجب أن يمرّ من \(O\).
- \(A\) و \(A'\) في جهتين متقابلتين بالنسبة إلى \(O\).
⚠️ أخطاء شائعة
- 🔴 وضع \(A'\) في نفس جهة \(A\) : عندئذ \(O\) ليست منتصفا، بل طرفا.
- رسم عمودي كما في التناظر المحوري : لا محور هنا، بل مركز.
- الاكتفاء بالنظر لتقدير المسافة بدل قياسها أو نقلها بالبركار.
- الخلط بين \(O\) منتصف \([AA']\) و \(O\) منتصف شيء آخر في الشكل.
① ماذا أحتاج؟
🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟
كلّ نقطة من الثلاث تُبنى بالبركار كما في البطاقة 3 : مدّ [نقطة O) ثمّ قوس مركزه O وفتحته المسافة إلى النقطة.
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
التناظر المركزي يحافظ على الاستقامة : إذا كانت \(A\) و \(B\) و \(C\) على استقامة واحدة، فإنّ \(A'\) و \(B'\) و \(C'\) تكون على استقامة واحدة.
وهنا تظهر الخاصية التي تميّز هذا الفصل : المستقيم \((A'B'C')\) مواز للمستقيم \((ABC)\) — لا يقطعه أبدا. بينما في التناظر المحوري، المستقيم ومناظره يتقاطعان على المحور.
④ كيف أتأكد؟
- ضع المسطرة على \(A'\) و \(C'\) : تمرّ من \(B'\).
- تحقّق من التوازي بين المستقيمين.
- الترتيب محفوظ : إذا كانت \(B\) بين \(A\) و \(C\) ، فإنّ \(B'\) بين \(A'\) و \(C'\).
⚠️ أخطاء شائعة
- استعمال نصف مستقيم واحد لنقطتين مختلفتين : لكلّ نقطة نصف مستقيمها الخاصّ الصادر منها والمارّ من \(O\).
- انتظار أن يقطع المستقيمان بعضهما كما في السابعة : هنا هما متوازيان.
- نسيان أنّ الخاصية تعمل في الاتّجاهين : إذا كانت الصور على استقامة واحدة فالأصول كذلك.
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
مناظرة قطعة هي قطعة، فيكفي بناء مناظرتَي طرفيها. والتناظر المركزي يحافظ على الأطوال : \(AB=A'B'\).
وزيادة على ذلك — وهذه هي النقطة الأهمّ في هذه البطاقة — مناظرة المنتصف هي منتصف المناظرة : الصورة \(I'\) تقع بالضبط في منتصف \([A'B']\). لا حاجة لبنائها إن كنت قد بنيت \(A'\) و \(B'\)، ولا حاجة لبناء \(A'\) و \(B'\) إن كنت تريد \(I'\) وحدها.
وهذه الخاصية هي التي تجعل البطاقة رقم 8 ممكنة.
④ كيف أتأكد؟
- قِس \(A'I'\) و \(I'B'\) : متقايسان.
- قِس \(AB\) و \(A'B'\) : متقايسان.
- \([AB]\) و \([A'B']\) متوازيان.
⚠️ أخطاء شائعة
- بناء \(I'\) « بالعين » في منتصف \([A'B']\) دون التحقّق : إن كان \(A'\) أو \(B'\) خاطئا، الخطأ يتضاعف.
- وصل \(A'\) بـ \(B\) بدل \(B'\).
- ظنّ أنّ الطول يتغيّر لأنّ القطعة انقلبت.
① ماذا أحتاج؟
🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟
نقطتا المستقيم تُبنيان بالبركار كما في البطاقة 3. لا حاجة لقياس أيّ طول.
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
مناظرة مستقيم هي مستقيم، ومستقيم يتعيّن بنقطتين : فيكفي بناء مناظرتَي نقطتين منه.
🔴 والخاصية التي تغيّر كلّ شيء : مناظر المستقيم \((D)\) هو مستقيم مواز لـ \((D)\).
قارن مع السنة السابعة :
- تناظر محوري : \((D)\) ومناظره يتقاطعان على المحور.
- تناظر مركزي : \((D)\) ومناظره متوازيان — إلاّ إذا مرّ \((D)\) من المركز، فيكون مناظره هو نفسه.
هذا التوازي هو الأداة الأولى في تمارين هذا الفصل : كلّما رأيت « بيّن أنّ \((AD)\) يوازي \((BC)\) »، ابحث عن تناظر مركزي.
④ كيف أتأكد؟
- خُذ نقطة ثالثة من \((D)\) وابنِ مناظرتها : تقع على \((D')\).
- تحقّق من التوازي بالمسطرة والكوس.
- في نصف المستقيم : الاتّجاه ينقلب. صورة \([Ax)\) هي \([A'x')\) موجّهة في الجهة المعاكسة.
⚠️ أخطاء شائعة
- 🔴 البحث عن نقطة تقاطع بين \((D)\) و \((D')\) : لا توجد، هما متوازيان.
- نسيان الحالة الخاصّة : إذا مرّ \((D)\) من المركز \(O\) ، فمناظره هو نفسه.
- في نصف المستقيم : رسم الصورة في نفس الاتّجاه.
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
مناظرة دائرة هي دائرة لها نفس الشعاع ، مركزها مناظر المركز.
لأنّ التناظر يحافظ على الأطوال : إذا كانت \(M\) من \((\mathcal{C})\) فإنّ \(C'M'=CM=r\).
⚠️ انتبه إلى وجود مركزين مختلفين في هذه البطاقة : \(O\) مركز التناظر ، و \(C\) مركز الدائرة. لا تخلط بينهما — وهذا أشهر ارتباك في هذا الدرس.
④ كيف أتأكد؟
- قِس الشعاعين : متقايسان.
- تحقّق أنّ \(O\) هي منتصف \([CC']\).
- خُذ نقطة من \((\mathcal{C})\) وابنِ مناظرتها : تقع على \((\mathcal{C}')\).
⚠️ أخطاء شائعة
- 🔴 الخلط بين \(O\) مركز التناظر و \(C\) مركز الدائرة.
- بناء مناظرات عدّة نقط من الدائرة بدل بناء المركز وحده : عمل طويل وغير دقيق.
- تغيير الشعاع.
- الحالة الخاصّة المنسيّة : إذا كان \(C=O\) ، فالدائرة مناظرة نفسها ، لأنّ \(O\) عندئذ مركز تناظر لها.
① ماذا أحتاج؟
🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟
رؤوس الشكل تُبنى واحدا واحدا بالبركار كما في البطاقة 3.
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
الشكل يتعيّن برؤوسه : نبني مناظرات الرؤوس ثمّ نصل بينها بنفس الترتيب.
والمثلّثان متقايسان تماما : نفس الأطوال، نفس الزوايا، نفس المساحة، نفس المحيط — وهذا ما يسمّيه الفصل حفظ الأطوال والزوايا والمساحة والمحيط.
وميزة إضافية خاصّة بالتناظر المركزي : كلّ ضلع مواز لمناظره. \((AB)\parallel(A'B')\) ، \((BC)\parallel(B'C')\) ، \((AC)\parallel(A'C')\). في التناظر المحوري هذا خاطئ تماما.
④ كيف أتأكد؟
- قِس الأضلاع الثلاثة في الشكلين.
- تحقّق من توازي كلّ ضلع مع مناظره — اختبار سريع وفعّال.
- تحقّق أنّ \(O\) منتصف \([AA']\) و \([BB']\) و \([CC']\).
⚠️ أخطاء شائعة
- الوصل بترتيب خاطئ : يعطي شكلا متقاطعا.
- بناء رأسين والثالث بالتقدير.
- نسيان أنّ الشكل ومناظره « مقلوبان » : الرأس الأعلى يصير الأسفل.
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
التعريف مقروءا بالمقلوب : إذا كانت \(F\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى \(O\) ، فإنّ \(O\) هي منتصف \([EF]\).
فالسؤال « أين المركز؟ » يصير : عيّن منتصف \([EF]\). وذلك بطريقتين : بالقياس (قِس \(EF\) وخذ نصفه)، أو — وهو الأدقّ — ببناء الموسّط العمودي لـ \([EF]\) بالبركار وأخذ تقاطعه مع \([EF]\).
⚠️ قارن مع السابعة : هناك كان المطلوب المحور كلّه، أي الموسّط العمودي بأكمله. هنا المطلوب نقطة واحدة : تقاطعه مع \([EF]\).
④ كيف أتأكد؟
- قِس \(OE\) و \(OF\) : متقايسان.
- \(O\) على القطعة \([EF]\) نفسها، لا خارجها.
- إن كان لديك زوج آخر من النقط المتناظرة، فمنتصف قطعته هو نفس النقطة \(O\). هذا أفضل اختبار.
⚠️ أخطاء شائعة
- 🔴 رسم الموسّط العمودي كلّه وتقديمه كجواب : المطلوب هنا نقطة، لا مستقيم.
- فتحة بركار أصغر من نصف \(EF\) : القوسان لا يتقاطعان.
- وضع \(O\) خارج \([EF]\).
① ماذا أحتاج؟
🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟
الرأس الرابع هو مناظرة B بالنسبة إلى O : يُبنى بالبركار كما في البطاقة 3، بفتحة OB منقولة وراء O.
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
في متوازي الأضلاع، القطران يتقاطعان في منتصفهما المشترك. فنقطة التقاطع \(O\) هي في آن واحد منتصف \([AC]\) ومنتصف \([BD]\).
ومنتصف \([BD]\) يعني، بالتعريف، أنّ \(D\) هي مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(O\). وهكذا يتحوّل « ابنِ الرأس الرابع » إلى البناء رقم 1 الذي تتقنه.
ونتيجة أخرى مهمّة : \(O\) هي مركز تناظر متوازي الأضلاع كلّه. فهي تُرسل \(A\) على \(C\) ، و \(B\) على \(D\) ، والضلع \([AB]\) على الضلع \([CD]\). وهذا يفسّر لماذا الأضلاع المتقابلة متوازية ومتقايسة.
④ كيف أتأكد؟
- قِس \(AB\) و \(DC\) : متقايسان. وكذلك \(AD\) و \(BC\).
- تحقّق من التوازي : \((AB)\parallel(DC)\) و \((AD)\parallel(BC)\).
- ارسم القطر \([BD]\) : يجب أن يمرّ من \(O\) ، وأن يكون \(OB=OD\).
⚠️ أخطاء شائعة
- 🔴 الخطأ في ترتيب الحروف : في \(ABCD\) ، الرأس المقابل لـ \(B\) هو \(D\) ، والقطران هما \([AC]\) و \([BD]\). إذا بنيت مناظرة \(A\) بدل \(B\) ، تحصل على شكل آخر.
- أخذ منتصف \([AB]\) بدل منتصف القطر \([AC]\).
- الاعتقاد أنّ لكلّ رباعي مركز تناظر : الرباعي العادي وشبه المنحرف ليس لهما مركز تناظر.