🔷 كيف أبني؟
الرباعيات — السنة الثامنة أساسي
↶ العودة إلى كلّ الفصول
متوازي الأضلاع
المستطيل
المعيّن
المربّع
الحالات الخاصّة
1 — متوازي أضلاع بمعلومية ضلعين متتاليين والزاوية بينهما

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : \(AB=5\) صم ، \(AD=3{,}5\) صم ، \(\widehat{DAB}=60^\circ\)
الأدوات : المسطرة المدرّجةالمنقلةالبركار
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

ضلعان متتاليان والزاوية بينهما يحدّدان ثلاثة رؤوس : \(D\) ، \(A\) ، \(B\). ولا يبقى إلاّ الرابع.

والرأس \(C\) مفروض علينا : في متوازي الأضلاع \([DC]\) يوازي \([AB]\) ويقايسه، و\([BC]\) يوازي \([AD]\) ويقايسه. فيكفي نقل الطولين بالبركار : قوس مركزه \(B\) وفتحته \(AD\) ، وقوس مركزه \(D\) وفتحته \(AB\).

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(DC\) و \(AB\) : متقايسان. وكذلك \(BC\) و \(AD\).
  • ارسم القطرين : يجب أن يتقاطعا في منتصفهما المشترك.
  • قِس الزاوية في \(C\) : تساوي الزاوية في \(A\) ، أي \(60^\circ\).

⚠️ أخطاء شائعة

  • عكس الفتحتين : القوس الصادر من \(B\) فتحته \(AD\) ، لا \(AB\).
  • نقل الزاوية في الجهة الخاطئة من \([AB)\).
  • رسم الرأس الرابع « بالنظر » : الشكل يبدو صحيحا لكنّ الأضلاع لا تتقايس.
🤔 ما قيس الزاوية \(\widehat{ABC}\)؟
\(120^\circ\). في متوازي الأضلاع، الزاويتان المتتاليتان متكاملتان : مجموعهما \(180^\circ\). ومنه \(180-60=120\). والزوايا المتقابلة متقايسة : \(\widehat{A}=\widehat{C}=60^\circ\) و \(\widehat{B}=\widehat{D}=120^\circ\).
2 — متوازي أضلاع بمعلومية ثلاثة رؤوس

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : ثلاث نقط \(A\) ، \(B\) ، \(C\) ، والمطلوب \(D\) بحيث يكون \(ABCD\) متوازي أضلاع
الأدوات : البركارالمسطرة
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

في \(ABCD\) ، الضلعان المتقابلان هما \([AB]\) و \([DC]\) من جهة، و \([BC]\) و \([AD]\) من جهة أخرى. فالمطلوب نقطة \(D\) تحقّق في آن واحد :

\(DC = AB\)   و   \(AD = BC\)

والبركار يعرف فعل ذلك : قوس مركزه \(C\) وفتحته \(AB\) ، وقوس مركزه \(A\) وفتحته \(BC\). ونقطة تقاطعهما هي \(D\).

💡 وهناك طريق ثانٍ، أقصر : \(D\) هي مناظرة \(B\) بالنسبة إلى منتصف القطر \([AC]\) — لأنّ قطرَي متوازي الأضلاع لهما نفس المنتصف.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(DC\) و \(AB\) ، ثمّ \(AD\) و \(BC\).
  • ارسم القطرين \([AC]\) و \([BD]\) : يجب أن يتقاطعا في منتصفهما.
  • احترم ترتيب الحروف : في \(ABCD\) الرأس المقابل لـ \(B\) هو \(D\).

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 اختيار نقطة التقاطع الخاطئة : القوسان يتقاطعان في نقطتين، وواحدة فقط تعطي الرباعي بالترتيب المطلوب. الأخرى تعطي شكلا متقاطعا.
  • عكس الفتحتين.
  • بناء \(D\) بحيث يصير \(ABDC\) متوازي أضلاع بدل \(ABCD\) : شكل آخر تماما.
🤔 لماذا يعطي البركار نقطتين، وكيف أختار؟
لأنّ دائرتين تتقاطعان في نقطتين. الصحيحة هي التي تقع بحيث لا يتقاطع الضلعان \([AD]\) و \([BC]\) ، أي في الجهة المقابلة لـ \(B\) بالنسبة إلى القطر \([AC]\). وأضمن اختبار : ارسم القطرين وتحقّق أنّهما يتقاطعان داخل الشكل.
3 — متوازي أضلاع بمعلومية قطريه ونقطة تقاطعهما

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : \(AC=6\) صم ، \(BD=3{,}8\) صم ، ونقطة تقاطعهما \(O\)
الأدوات : المسطرة المدرّجة
② كيف أبني؟

🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟

نصفا القطرين يُنقلان بالبركار : قوس مركزه O وفتحته نصف القطر، من كلّ جهة. أدقّ بكثير من القياس بالمسطرة.

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

الخاصية المميّزة : في متوازي الأضلاع، القطران يتقاطعان في منتصفهما المشترك — وهي خاصية مميّزة، أي أنّ عكسها صحيح أيضا.

فإذا رسمنا مستقيمين يتقاطعان في \(O\) ، وأخذنا على الأوّل \(OA=OC\) وعلى الثاني \(OB=OD\) ، فالرباعي \(ABCD\) قطراه متناصفان، إذن هو متوازي أضلاع حتما.

💡 ولاحظ حرّية الاختيار : الزاوية بين المستقيمين حرّة. فلكلّ زاوية متوازي أضلاع مختلف، ولهذا يقول التمرين « ابنِ » لا « ابنِ الوحيد ».

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(OA\) و \(OC\) : متقايسان. وكذلك \(OB\) و \(OD\).
  • قِس \(AB\) و \(DC\) : متقايسان — نتيجة، لا معطى.
  • إذا وجدت القطرين متقايسين فالشكل مستطيل ؛ وإذا وجدتهما متعامدين فهو معيّن.

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 وصل الرؤوس بترتيب خاطئ : \(A\) و \(C\) طرفا نفس القطر ، فلا يمكن أن يكونا متجاورين. الترتيب هو \(A\) ، \(B\) ، \(C\) ، \(D\) بالدوران.
  • أخذ \(OA\) يساوي \(AC\) كاملا بدل نصفه.
  • جعل المستقيمين متعامدين دون داعٍ : يعطي معيّنا، وهو حالة خاصّة لم تُطلب.
🤔 ماذا نحصل عليه إذا رسمنا القطرين متعامدين ومتقايسين؟
مربّعا. القطران متناصفان ← متوازي أضلاع ؛ ومتقايسان ← مستطيل ؛ ومتعامدان ← معيّن. ومستطيل ومعيّن في آن واحد = مربّع. وهذا هو مضمون البطاقة 11.
4 — مستطيل بمعلومية الطول والعرض

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : الطول \(AB=7\) صم ، العرض \(AD=3\) صم
الأدوات : المسطرة المدرّجةالكوس
② كيف أبني؟
🧭 نفس البناء بالبركار
نفس البناء بالبركار — العمودي في A دون كوس

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

المستطيل هو متوازي أضلاع له زاوية قائمة. والزاويتان القائمتان المرسومتان في \(A\) و \(B\) تجعلان \((AD)\) و \((BC)\) عموديين على نفس المستقيم \((AB)\) ، إذن متوازيين.

ولمّا كان \(AD=BC\) بالبناء، فالرباعي \(ABCD\) له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان : إنّه متوازي أضلاع. وله زاوية قائمة، إذن هو مستطيل.

📌 ثلاث زوايا قائمة تكفي : الرابعة تأتي وحدها، لأنّ مجموع زوايا الرباعي \(360^\circ\).

④ كيف أتأكد؟

  • تحقّق بالكوس من الزوايا الأربع.
  • ارسم القطرين وقِسهما : متقايسان في كلّ مستطيل.
  • قِس \(DC\) : يجب أن تجد 7 صم.

⚠️ أخطاء شائعة

  • رسم العمودي الثاني في نقطة أخرى غير \(B\).
  • الخلط بين الطول والعرض عند نقل الأطوال.
  • الاكتفاء بالنظر لغلق الشكل بدل قياس \(DC\).
🤔 ما طول قطر هذا المستطيل؟
في المثلّث \(ABC\) القائم في \(B\) : \(AC^2=AB^2+BC^2=7^2+3^2=49+9=58\) ، إذن \(AC=\sqrt{58}\approx 7{,}6\) صم. والقطر الآخر \(BD\) له نفس الطول.
5 — مستطيل بمعلومية قطره وأحد أضلاعه

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : القطر \(AC\) والضلع \(AB\) ، مع \(AB < AC\)
الأدوات : البركارالمسطرة المدرّجة
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

الفكرة كلّها في هذه الجملة : قطرا المستطيل متقايسان ومتناصفان، إذن رؤوسه الأربعة على دائرة قطرها \([AC]\).

فنرسم الدائرة التي قطرها \([AC]\). كلّ نقطة \(B\) منها ترى \([AC]\) تحت زاوية قائمة — وهذا بالضبط ما يلزم للمستطيل. ولا يبقى إلاّ اختيار تلك التي تعطي \(AB\) المطلوب : قوس مركزه \(A\) وفتحته \(AB\).

ثمّ \(D\) هي مناظرة \(B\) بالنسبة إلى المركز \(O\) ، لأنّ القطرين متناصفان.

④ كيف أتأكد؟

  • تحقّق بالكوس أنّ الزاوية في \(B\) قائمة.
  • قِس \(BD\) : يجب أن يقايس \(AC\).
  • الرؤوس الأربعة على الدائرة.

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 اختيار ضلع أطول من القطر : البناء مستحيل، القوس لا يقطع الدائرة. القطر أطول من كلّ ضلع دائما.
  • رسم الدائرة بشعاع \(AC\) بدل نصفه.
  • وضع \(D\) عشوائيا بدل بنائها كمناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(O\).
🤔 لماذا كلّ نقطة من الدائرة تعطي زاوية قائمة في \(B\)؟
لأنّ \(OA=OB=OC\) (شعاعات الدائرة)، فالمثلّثان \(OAB\) و \(OBC\) متقايسا الضلعين. وبحساب الزوايا نجد أنّ \(\widehat{ABC}=90^\circ\). وهذه هي خاصية الوسيط المتعلّق بالوتر التي رأيتها في المثلّث القائم.
6 — معيّن بمعلومية ضلعه وإحدى زواياه

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : الضلع \(=4\) صم ، \(\widehat{DAB}=60^\circ\)
الأدوات : المسطرة المدرّجةالمنقلةالبركار
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

المعيّن هو متوازي أضلاع أضلاعه الأربعة متقايسة. فالفتحة واحدة طوال البناء : هي الضلع.

نرسم الزاوية المعطاة، ننقل الضلع على ضلعَيها فنحصل على \(B\) و \(D\) ، ثمّ الرأس \(C\) بقوسين بنفس الفتحة، مركزاهما \(B\) و \(D\).

⚠️ ولا تحتاج إلى قياس أيّ زاوية أخرى : الزوايا الثلاث الباقية تأتي وحدها.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس الأضلاع الأربعة : متقايسة.
  • ارسم القطرين : يجب أن يكونا متعامدين — علامة المعيّن.
  • قِس الزاوية في \(C\) : تساوي \(60^\circ\) أيضا.

⚠️ أخطاء شائعة

  • تغيير الفتحة أثناء البناء : الشكل يصير متوازي أضلاع عاديا.
  • الظنّ أنّ قطرَي المعيّن متقايسان : خطأ — إنّهما متعامدان، ولا يتقايسان إلاّ إذا كان مربّعا.
  • نقل الزاوية في الجهة الخاطئة.
🤔 ما نوع المثلّث \(ABD\) هنا؟
متقايس الأضلاع. لأنّ \(AB=AD\) (أضلاع المعيّن) والزاوية بينهما \(60^\circ\) : مثلّث متقايس الضلعين به زاوية \(60^\circ\) هو متقايس الأضلاع. ومنه \(BD=4\) صم أيضا.
7 — معيّن بمعلومية قطريه

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : \(AC=6{,}5\) صم ، \(BD=4\) صم
الأدوات : المسطرة المدرّجةالكوس
② كيف أبني؟
🧭 نفس البناء بالبركار
نفس البناء بالبركار — التعامد في O دون كوس

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

الخاصية المميّزة للمعيّن : قطراه متناصفان ومتعامدان. وعكسها صحيح — وهذا ما يجعل البناء ممكنا.

فنرسم القطرين متعامدين في \(O\) ، ونأخذ على كلّ واحد نصفه من الجهتين. فالرباعي الناتج قطراه متناصفان (إذن متوازي أضلاع) ومتعامدان (إذن معيّن).

💡 قارن مع البطاقة 3 : نفس البناء بالضبط، مع شرط واحد مضاف — التعامد.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس الأضلاع الأربعة : متقايسة.
  • تحقّق بالكوس من التعامد في \(O\).
  • قِس \(OA\) و \(OC\) ، ثمّ \(OB\) و \(OD\).

⚠️ أخطاء شائعة

  • نسيان التعامد : الشكل يصير متوازي أضلاع فقط.
  • أخذ القطر كاملا من جهة واحدة بدل نصفه من كلّ جهة.
  • وصل \(A\) بـ \(C\) كضلع : هما طرفا نفس القطر.
🤔 ما مساحة هذا المعيّن؟
\(\dfrac{d_1\times d_2}{2}=\dfrac{6{,}5\times 4}{2}=13\) صم². فمساحة المعيّن هي نصف جداء قطريه — وهي صيغة تعمل لأنّ القطرين متعامدان.
8 — مربّع بمعلومية طول ضلعه

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : الضلع \(=4{,}5\) صم
الأدوات : المسطرة المدرّجةالكوس
② كيف أبني؟

🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟

الزاويتان القائمتان تُبنيان بالبركار كما في البطاقة 4، والضلع يُنقل بنفس فتحة البركار : المربّع كلّه يُبنى دون كوس ودون مسطرة مدرّجة.

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

المربّع هو مستطيل طوله يساوي عرضه. فالبناء هو بناء المستطيل (البطاقة 4) مع طول واحد بدل طولين.

والكوس يضمن الزوايا القائمة، والمسطرة تضمن تقايس الأضلاع. والشرطان معا يعطيان المربّع.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس الأضلاع الأربعة، وتحقّق بالكوس من الزوايا.
  • ارسم القطرين : متقايسان ومتعامدان — وهذا ما لا يجتمع إلاّ في المربّع.

⚠️ أخطاء شائعة

  • الاكتفاء بأربعة أضلاع متقايسة دون زوايا قائمة : هذا معيّن، لا مربّع.
  • الاكتفاء بأربع زوايا قائمة دون تقايس الأضلاع : هذا مستطيل.
  • عدم إغلاق الشكل بدقّة في الرأس الأخير.
🤔 هل كلّ معيّن مربّع؟ وهل كلّ مربّع معيّن؟
كلّ مربّع معيّن (أضلاعه الأربعة متقايسة)، لكنّ العكس خاطئ : معيّن بزوايا غير قائمة ليس مربّعا. وهذا نموذج الخطأ الأوّل في هذا الفصل — انظر البطاقة 11.
9 — مربّع بمعلومية طول قطره

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : القطر \(AC=6\) صم
الأدوات : المسطرة المدرّجةالكوس
② كيف أبني؟

🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟

التعامد في O يُبنى بالبركار كما في البطاقة 7، وأنصاف الأقطار الأربعة تُنقل بفتحة واحدة ثابتة.

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

قطرا المربّع متقايسان ومتعامدان ومتناصفان. والعكس صحيح : رباعي قطراه كذلك هو مربّع.

فيكفي رسم القطرين متعامدين في \(O\) ، بنفس الطول، وكلّ واحد منصّف للآخر. والرؤوس الأربعة تُقرأ مباشرة.

⚠️ ولا تحاول حساب الضلع : لست في حاجة إليه. لكن لو أردت، فهو \(\dfrac{AC}{\sqrt{2}}\) ، أي حوالي \(4{,}24\) صم لقطر 6 صم.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس الأضلاع الأربعة : متقايسة.
  • تحقّق بالكوس من الزوايا الأربع للمربّع، ومن تعامد القطرين في \(O\).
  • قِس \(BD\) : يجب أن يقايس \(AC\).

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 نسيان أحد الشروط الثلاثة : بدون التعامد نحصل على مستطيل ، وبدون التقايس على معيّن.
  • أخذ \(OB=AC\) بدل \(\dfrac{AC}{2}\).
  • محاولة رسم الضلع 6 صم : المعطى هو القطر، لا الضلع.
🤔 مربّع قطره 6 صم — ما مساحته؟
\(\dfrac{d^2}{2}=\dfrac{36}{2}=18\) صم². فالمربّع معيّن أيضا، ومساحة المعيّن نصف جداء قطريه : وهنا القطران متقايسان، فالمساحة \(\dfrac{d\times d}{2}\).
10 — مربّع محاط بدائرة معطاة

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : دائرة مركزها \(O\) وشعاعها \(R\)
الأدوات : المسطرةالكوس
ما يجب إتقانه قبلا : البطاقة 9
② كيف أبني؟

🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟

القطر الثاني يُبنى بالبركار كما في البطاقة 7 : العمودي على الأوّل في O. ولا حاجة للكوس أبدا.

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

الرؤوس الأربعة يجب أن تكون على الدائرة، أي على نفس البعد \(R\) من \(O\). والقطران هما قطران للدائرة : طولهما \(2R\) لكلّ واحد، فهما متقايسان تلقائيا ومتناصفان في \(O\).

ولا يبقى إلاّ شرط واحد ليكون الشكل مربّعا : أن يكونا متعامدين. فنرسم قطرا أوّلا كيفما شئنا، ثمّ العمودي عليه في \(O\).

💡 ولهذا كان الجواب على « كم مربّعا محاطا بدائرة؟ » : عدد لا نهائي، لأنّ القطر الأوّل حرّ.

④ كيف أتأكد؟

  • الرؤوس الأربعة على الدائرة بالضبط.
  • تحقّق بالكوس من تعامد القطرين في \(O\).
  • قِس الأضلاع الأربعة : متقايسة.

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 الخلط بين محاط بدائرة (الرؤوس على الدائرة) والدائرة المحاطة (الدائرة داخل الشكل تمسّ الأضلاع). هنا الدائرة تمرّ من الرؤوس.
  • رسم قطرين غير متعامدين : يعطي مستطيلا، لا مربّعا.
  • أخذ \(R\) كضلع للمربّع.
🤔 دائرة شعاعها 3 صم — ما ضلع المربّع المحاط بها؟
القطر يساوي \(2R=6\) صم، والضلع \(=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\approx 4{,}24\) صم. ونتحقّق : المساحة \(=\dfrac{6^2}{2}=18\) صم².
11 — شجرة الرباعيات : أيّ شرط يُضاف؟

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : رباعي، ومعرفة ما تملكه من خصائصه
السؤال : ما نوعه بالضبط؟ وما الشرط الذي ينقصه ليصعد درجة؟
من متوازي الأضلاع إلى المربّع : طريقان، وشرط واحد في كلّ خطوة
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

كلّ الأشكال هنا متوازيات أضلاع. والفرق بينها هو شرط واحد يُضاف في كلّ مرّة :

الشكلما يضاف إلى متوازي الأضلاعالقطران
متوازي أضلاع—متناصفان
مستطيلزاوية قائمة+ متقايسان
معيّنضلعان متتاليان متقايسان+ متعامدان
مربّعالشرطان معا+ متقايسان ومتعامدان

ومن هنا تُقرأ الشجرة في الاتّجاهين : المربّع هو مستطيل ومعيّن في آن واحد، لكنّ العكس خاطئ. فكلّ مربّع مستطيل، ولا مستطيل كلّ مربّع.

④ كيف أتأكد؟

  • عند كلّ ادّعاء، اسأل : ما الخاصية التي تُثبته؟ ولا تكتفِ بالمظهر.
  • القطران هما أسرع اختبار : متناصفان ← متوازي أضلاع ؛ + متقايسان ← مستطيل ؛ + متعامدان ← معيّن ؛ + الاثنان ← مربّع.
  • للانتقال من متوازي أضلاع إلى معيّن، ضلعان متتاليان متقايسان يكفيان — لا حاجة للأربعة.

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 قلب الاتّجاه : « كلّ مستطيل مربّع » — خطأ. الشجرة تُقرأ من الأعلى إلى الأسفل، لا العكس.
  • الظنّ أنّ قطرَي المعيّن متقايسان : لا، إنّهما متعامدان فقط.
  • الظنّ أنّ قطرَي المستطيل متعامدان : لا، إنّهما متقايسان فقط.
  • نسيان أنّ شبه المنحرف ليس على هذه الشجرة : ضلعان متوازيان فقط، لا أربعة.
🤔 رباعي قطراه متناصفان ومتقايسان لكنّهما غير متعامدين. ما نوعه بالضبط؟
مستطيل غير مربّع.
• متناصفان ← متوازي أضلاع.
• + متقايسان ← مستطيل.
• وغير متعامدين ← ليس معيّنا، إذن ليس مربّعا.
وهذا بالضبط ما تعنيه الشجرة : كلّ شرط يُضاف يُضيّق الدائرة.
🌐 Devoirati.net · كيف أبني؟ — الرباعيات — السنة الثامنة أساسي