① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
كلّ نقطة من القوس الذي مركزه \(A\) وشعاعه 4,5 صم تبعد عن \(A\) بـ 4,5 صم بالضبط. وكلّ نقطة من القوس الذي مركزه \(B\) وشعاعه 5,5 صم تبعد عن \(B\) بـ 5,5 صم.
فنقطة تقاطع القوسين هي النقطة الوحيدة التي تحقّق الشرطين معا : إنّها الرأس \(C\) المطلوب.
④ كيف أتأكد؟
- قِس \([AC]\) بالمسطرة : يجب أن تجد 4,5 صم.
- قِس \([BC]\) : يجب أن تجد 5,5 صم.
- تأكّد أنّ \(C\) هو فعلا نقطة تقاطع القوسين، لا نقطة قريبة منها.
⚠️ أخطاء شائعة
- تغيير فتحة البركار بين قياس الطول على المسطرة ورسم القوس : أشهر خطأ في هذا البناء.
- جعل مركز القوس في الرأس الخاطئ : القوس الذي شعاعه \(AC\) مركزه \(A\) وليس \(B\).
- الاكتفاء بقوسين قصيرين لا يتقاطعان : أطِل القوسين حتى يلتقيا بوضوح.
- إذا لم يتقاطع القوسان أبدا، فالخطأ ليس في الرسم : المثلّث المطلوب غير موجود.
① ماذا أحتاج؟
🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟
الزاويتان تُنقلان بالمنقلة. ⚠️ وهذا رسم لا بناء : لا توجد طريقة بالبركار وحده لنقل زاوية في برنامج السنة السابعة. اذكر ذلك في تحريرك.
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
كلّ نقطة من نصف المستقيم الصادر من \(A\) والمكوّن زاوية \(50^\circ\) مع \([AB)\) ترى الضلع \([AB]\) تحت هذه الزاوية. وكذلك نصف المستقيم الصادر من \(B\) بزاوية \(35^\circ\).
ولمّا كان نصفا المستقيمين غير متوازيين، فلهما نقطة تقاطع واحدة : إنّها \(C\).
④ كيف أتأكد؟
- أعِد قياس الزاويتين بالمنقلة عند \(A\) وعند \(B\).
- احسب الزاوية الثالثة : \(180^\circ-50^\circ-35^\circ=95^\circ\) ، ثم قِسها في الرسم.
⚠️ أخطاء شائعة
- نقل الزاوية في الجهة الخاطئة : زاوية تحت \([AB]\) وأخرى فوقه ← نصفا المستقيمين لا يلتقيان.
- قراءة التدريجة الخاطئة للمنقلة : \(130^\circ\) بدل \(50^\circ\). القاعدة : ابدأ دائما من الصفر الملاصق للضلع.
- عدم وضع مركز المنقلة تماما على الرأس.
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
« قمّته الرئيسية \(A\) » تعني أنّ الضلعين المتقايسين هما \([AB]\) و \([AC]\). ونقل الطول بالبركار من \([AB]\) إلى نصف المستقيم الثاني يضمن \(AC=AB\) بالضبط — أدقّ بكثير من إعادة القياس بالمسطرة.
④ كيف أتأكد؟
- قِس \(AB\) و \(AC\) : يجب أن يتقايسا.
- قِس زاويتَي القاعدة \(\widehat{ABC}\) و \(\widehat{ACB}\) : يجب أن تتقايسا، وقيس كلّ واحدة \(\dfrac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\).
⚠️ أخطاء شائعة
- الظنّ أنّ \(40^\circ\) هي زاوية القاعدة : الزاوية الرئيسية هي زاوية القمّة \(A\).
- فتح البركار من جديد بدل الاحتفاظ بالفتحة \(AB\) : يضيع التقايس.
- وضع \(C\) على نصف المستقيم في الجهة المعاكسة للزاوية المرسومة.
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
الفتحة الواحدة تساوي \(AB\). فالقوس الذي مركزه \(A\) يعطي \(AC=AB\) ، والقوس الذي مركزه \(B\) يعطي \(BC=AB\). ومنه \(AB=AC=BC\).
الشرط الوحيد هنا هو عدم لمس البركار بين القوسين.
④ كيف أتأكد؟
- قِس الأضلاع الثلاثة : متقايسة.
- قِس الزوايا الثلاث بالمنقلة : \(60^\circ\) لكلّ واحدة.
⚠️ أخطاء شائعة
- تغيير الفتحة بين القوسين : المثلّث يصير متقايس الضلعين فقط، لا متقايس الأضلاع.
- رسم المثلّث « بالنظر » دون بركار : لا يكون متقايس الأضلاع أبدا بدقّة.
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
الكوس أداة زاويتها قائمة بالبناء. فإذا انطبق أحد ضلعَي قائمته على \((AB)\) ومرّ الضلع الآخر من \(A\) ، كان المستقيم المرسوم عموديا على \((AB)\) في \(A\) ، أي \(\widehat{BAC}=90^\circ\).
④ كيف أتأكد؟
- أعِد وضع الكوس في \(A\) : يجب أن ينطبق ضلعا القائمة على \([AB]\) و \([AC]\).
- قِس \(AB\) و \(AC\).
- أشّر الزاوية القائمة في \(A\) على الرسم — تأشيرة منسيّة تُنقص من الإجابة.
⚠️ أخطاء شائعة
- رسم العمودي في \(B\) بدل \(A\) : « قائم الزاوية في \(A\) » تعني أنّ القائمة عند \(A\).
- الخلط بين ضلعَي القائمة والوتر : الوتر هنا هو \([BC]\) ، وهو أطول الأضلاع دائما.
- استعمال المنقلة لرسم \(90^\circ\) : ممكن، لكنّ الكوس أدقّ وأسرع.
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
القوسان مرسومان بنفس الفتحة ، إذن \(PA=PB\) و \(QA=QB\) : النقطتان \(P\) و \(Q\) على نفس البعد من \(A\) و \(B\).
وكلّ نقطة على نفس البعد من طرفَي قطعة تنتمي إلى موسّطها العمودي. فالمستقيم \((PQ)\) هو الموسّط العمودي لـ \([AB]\) : يمرّ من منتصفها وهو عمودي عليها.
④ كيف أتأكد؟
- قِس \(PA\) و \(PB\) : متقايسان.
- ضع الكوس : \((PQ)\perp(AB)\).
- قِس \(IA\) و \(IB\) حيث \(I\) نقطة التقاطع : متقايسان، إذن \(I\) هو منتصف \([AB]\).
⚠️ أخطاء شائعة
- فتحة أصغر من نصف \(AB\) : القوسان لا يتقاطعان أبدا. القاعدة : افتح البركار على أكثر من نصف القطعة.
- تغيير الفتحة بين قوسَي \(A\) وقوسَي \(B\) : المستقيم يميل ولا يمرّ من المنتصف.
- الاكتفاء بنقطة تقاطع واحدة : نحتاج نقطتين لرسم مستقيم.
- الخلط بين الموسّط العمودي (لقطعة) والموسّط (في مثلّث).
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
\(O\) على الموسّط العمودي لـ \([AB]\) ، إذن \(OA=OB\).
و \(O\) على الموسّط العمودي لـ \([AC]\) ، إذن \(OA=OC\).
ومنه \(OA=OB=OC\) : الرؤوس الثلاثة على نفس البعد من \(O\) ، أي على دائرة واحدة مركزها \(O\) وشعاعها \(OA\). وهذا يفسّر أيضا لماذا يمرّ الموسّط العمودي الثالث من \(O\) : بما أنّ \(OB=OC\) فإنّ \(O\) ينتمي إلى موسّط \([BC]\) العمودي.
④ كيف أتأكد؟
- ابنِ الموسّط العمودي الثالث : يجب أن يمرّ من \(O\). هذا أفضل اختبار للبناء كلّه.
- الدائرة يجب أن تمرّ من الرؤوس الثلاثة بالضبط، لا أن تقاربها.
⚠️ أخطاء شائعة
- رسم الدائرة بفتحة تقديرية بدل \(OA\) : الفتحة تُؤخذ من \(O\) إلى أحد الرؤوس.
- بناء الموسّطات العمودية « بالنظر » : أخطاء صغيرة تعطي ثلاثة تقاطعات مختلفة بدل نقطة واحدة.
- الخلط بين مركز الدائرة المحيطة ومركز الثقل أو المركز القائم.
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
القوس الأوّل يعطي \(AM=AN\) : نقطتان على نفس البعد من \(A\) ، واحدة على كلّ ضلع.
والقوسان الثانيان بنفس الفتحة يعطيان \(MP=NP\).
فالنقطة \(P\) موضوعة « بالتساوي » بالنسبة إلى الضلعين، ونصف المستقيم \([AP)\) يقسم الزاوية إلى زاويتين متقايستين.
④ كيف أتأكد؟
- قِس \(\widehat{BAP}\) و \(\widehat{PAC}\) بالمنقلة : متقايستان.
- خُذ نقطة أخرى على \([AP)\) وقِس بعدها عن الضلعين : متساويان.
⚠️ أخطاء شائعة
- استعمال فتحتين مختلفتين للقوسين الصادرين من \(M\) و \(N\) : \(P\) تنزاح ولا يعود \([AP)\) منصّفا.
- اختيار نقطة التقاطع الواقعة خارج الزاوية.
- الخلط بين المنصّف (يقسم زاوية) والموسّط العمودي (يقسم قطعة).
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
\(I\) على منصّف الزاوية \(A\) ، إذن هو على نفس البعد من \((AB)\) و \((AC)\).
و \(I\) على منصّف الزاوية \(B\) ، إذن هو على نفس البعد من \((AB)\) و \((BC)\).
ومنه \(I\) على نفس البعد من الأضلاع الثلاثة. وهذا البعد المشترك هو شعاع الدائرة التي تمسّ الأضلاع الثلاثة : الدائرة المحاطة.
④ كيف أتأكد؟
- ابنِ المنصّف الثالث : يجب أن يمرّ من \(I\).
- الدائرة يجب أن تمسّ كلّ ضلع في نقطة واحدة، لا أن تقطعه في نقطتين ولا أن تبتعد عنه.
⚠️ أخطاء شائعة
- 🔴 أخذ \(IA\) شعاعا للدائرة : هذا أشهر خطأ في الفصل كلّه. الشعاع هو البعد العمودي من \(I\) إلى ضلع، وليس المسافة إلى رأس.
- نسيان رسم العمودي بالكوس قبل فتح البركار.
- الخلط بين الدائرة المحاطة (داخل المثلّث، تمسّ الأضلاع) والدائرة المحيطة (خارجه، تمرّ من الرؤوس).
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
الارتفاع الصادر من \(A\) هو، بالتعريف، المستقيم المارّ من \(A\) والعمودي على \((BC)\) الضلع المقابل له.
فالكوس يضمن الشرطين معا : انطباق ضلع القائمة على \((BC)\) يضمن التعامد ، وإزلاقه حتى يمرّ الضلع الآخر من \(A\) يضمن المرور من الرأس.
④ كيف أتأكد؟
- أعِد وضع الكوس على \((BC)\) : يجب أن ينطبق على \((AH)\).
- أشّر الزاوية القائمة في \(H\).
- \(H\) ليس بالضرورة منتصف \([BC]\) : لا تقس، لا تقارن — العمودية وحدها هي المطلوبة.
⚠️ أخطاء شائعة
- 🔴 رسم الارتفاع نحو منتصف الضلع : هذا هو الموسّط، لا الارتفاع. الارتفاع عمودي، والموسّط يمرّ من المنتصف — ولا يجتمعان إلاّ في حالات خاصة.
- رسم العمودي على ضلع يمرّ من \(A\) بدل الضلع المقابل \([BC]\).
- الاكتفاء بمظهر « شبه عمودي » دون كوس.
الموسّط يمرّ من منتصف \([BC]\) ، دون شرط تعامد.
وينطبقان إذا كان \(AB=AC\) فقط، أي في المثلّث المتقايس الضلعين الصادر من قمّته الرئيسية.
① ماذا أحتاج؟
🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟
كلّ ارتفاع من الثلاثة يُبنى بالبركار كما في البطاقة 10 : قوس من الرأس يقطع الضلع المقابل مرّتين، ثمّ الموسّط العمودي للوتر.
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
الارتفاعات الثلاثة في أيّ مثلّث تتلاقى في نقطة واحدة تسمّى المركز القائم. فيكفي إذن بناء اثنين منها : تقاطعهما هو المركز القائم، والثالث يمرّ منه حتما.
وموضع هذه النقطة يكشف نوع المثلّث : داخله إذا كان حادّ الزوايا، على الرأس القائم إذا كان قائم الزاوية، وخارجه إذا كان منفرج الزاوية.
④ كيف أتأكد؟
- ابنِ الارتفاع الثالث : يجب أن يمرّ من نفس النقطة.
- تحقّق بالكوس من كلّ تعامد على حدة.
- إذا لم تتلاقَ الارتفاعات الثلاثة في نقطة واحدة، فالخطأ في التعامد لا في الخاصية.
⚠️ أخطاء شائعة
- 🔴 في المثلّث المنفرج الزاوية : نسيان تمديد الضلع. قدم الارتفاع تقع خارج \([BC]\) ، فيجب تمديد \((BC)\) بخطّ متقطّع حتى تلتقي به العمودية.
- التوقّف عند حافّة الضلع لأنّ « الارتفاع لا يقطعه » : الارتفاع عمودي على المستقيم \((BC)\) لا على القطعة \([BC]\).
- الاعتقاد أنّ المركز القائم داخل المثلّث دائما.
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
الموسّط الصادر من \(A\) هو، بالتعريف، القطعة التي تصل \(A\) بـ منتصف الضلع المقابل \([BC]\).
فكلّ العمل يتلخّص في تعيين المنتصف \(A'\) بدقّة : إمّا بقياس \(BC\) وأخذ نصفه بالمسطرة، وإمّا — وهو الأدقّ — ببناء الموسّط العمودي لـ \([BC]\) بالبركار وأخذ نقطة تقاطعه مع \([BC]\).
④ كيف أتأكد؟
- قِس \(BA'\) و \(A'C\) : متقايسان.
- لا تتحقّق من التعامد : الموسّط ليس عموديا على \([BC]\) بصفة عامّة.
⚠️ أخطاء شائعة
- الخلط مع الارتفاع : الموسّط يمرّ من المنتصف، والارتفاع عمودي.
- الخلط مع الموسّط العمودي : هذا الأخير لا يمرّ من الرأس \(A\).
- تعيين المنتصف بالتقدير : خطأ ميليمتر واحد يكفي ليفشل تلاقي الموسّطات الثلاثة.
① ماذا أحتاج؟
③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟
الموسّطات الثلاثة تتلاقى في نقطة واحدة تسمّى مركز الثقل \(G\). فيكفي بناء اثنين منها.
وهذه النقطة ليست في منتصف الموسّط : إنّها تقع على ثلثَي الموسّط انطلاقا من الرأس. أي \(AG=\dfrac{2}{3}\,AA'\) و \(GA'=\dfrac{1}{3}\,AA'\) ، ومنه \(AG = 2\times GA'\).
④ كيف أتأكد؟
- ابنِ الموسّط الثالث : يجب أن يمرّ من \(G\).
- قِس \(AG\) و \(GA'\) : يجب أن تجد \(AG\) ضعف \(GA'\).
- \(G\) دائما داخل المثلّث، مهما كان نوعه.
⚠️ أخطاء شائعة
- وضع \(G\) في منتصف الموسّط : النسبة هي \(\dfrac{2}{3}\) لا \(\dfrac{1}{2}\).
- حساب النسبة من المنتصف \(A'\) بدل الرأس \(A\) : « الثلثان » تُحسب انطلاقا من الرأس.
- الخلط بين مركز الثقل والمركز القائم ومركز الدائرة المحيطة : ثلاث نقاط مختلفة، وثلاثة عمليات بناء مختلفة.
وللتحقّق : \(6+3=9\) ✓ و \(6=2\times 3\) ✓