🪞 كيف أبني؟
التناظر المحوري — السنة السابعة أساسي
↶ العودة إلى كلّ الفصول
بناء المناظر
العثور على المحور
1 — مناظرة نقطة بالنسبة إلى مستقيم — بالكوس والمسطرة

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : مستقيم \(\Delta\) ونقطة \(A\) خارجه
الأدوات : الكوسالمسطرة المدرّجة
② كيف أبني؟

🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟

هذه البطاقة تستعمل الكوس : إنّها رسم. أمّا البناء بالبركار — وهو المطلوب كلّما قال التمرين « ابنِ » — ففي البطاقة 2 : قوسان من M وقوسان من N، دون كوس ودون قياس.

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

التعريف : النقطة \(A'\) هي مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(\Delta\) إذا كان \(\Delta\) هو الموسّط العمودي للقطعة \([AA']\).

والطريقة تبني الشرطين واحدا واحدا : الكوس يضمن أنّ \((AA')\) عمودي على \(\Delta\) ، ونقل الطول \(AH\) من الجهة الأخرى يضمن أنّ \(H\) هو منتصف \([AA']\).

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(HA\) و \(HA'\) : متقايسان.
  • ضع الكوس في \(H\) : \((AA')\perp\Delta\).
  • \(A\) و \(A'\) في جهتين مختلفتين من \(\Delta\).

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 وضع \(A'\) في نفس جهة \(A\) : عندئذ \(A'=A\) ولم يحدث شيء.
  • نقل الطول \(AA'\) بدل \(AH\) : المسافة تصير مضاعفة.
  • رسم العمودي « بالنظر » دون كوس : \(HA\) لا يعود أقصر مسافة.
  • الخلط بين \(\Delta\) والقطعة \([AA']\).
🤔 ما هي مناظرة نقطة تنتمي إلى المحور \(\Delta\)؟
هي نفسها. إذا كانت \(M\in\Delta\) فإنّ بُعدها عن \(\Delta\) يساوي 0 ، فالعمودي يلتقي \(\Delta\) في \(M\) نفسها، والطول المنقول يساوي 0. نقول إنّ \(M\) نقطة صامدة.
2 — مناظرة نقطة بالنسبة إلى مستقيم — بالبركار

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : مستقيم \(\Delta\) ونقطة \(A\) خارجه
الأدوات : البركارالمسطرة
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

بالبناء : \(MA'=MA\) و \(NA'=NA\). فالنقطتان \(M\) و \(N\) على نفس البعد من \(A\) ومن \(A'\).

وكلّ نقطة على نفس البعد من طرفَي قطعة تنتمي إلى موسّطها العمودي. فالمستقيم \((MN)\) — أي \(\Delta\) — هو الموسّط العمودي لـ \([AA']\) ، وهذا هو التعريف نفسه.

💡 هذه الطريقة لا تحتاج إلى كوس ولا إلى قياس : كلّ شيء بالبركار.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(MA\) و \(MA'\) ، ثمّ \(NA\) و \(NA'\).
  • ارسم \([AA']\) : يجب أن يقطع \(\Delta\) عموديا وفي منتصفه.
  • خُذ نقطة ثالثة \(P\) على \(\Delta\) : يجب أن تجد \(PA=PA'\) أيضا.

⚠️ أخطاء شائعة

  • اختيار \(M\) و \(N\) قريبتين جدّا : القوسان يتقاطعان بزاوية حادّة ونقطة التقاطع تصير غير دقيقة.
  • أخذ نقطة التقاطع الواقعة في نفس جهة \(A\) : إنّها \(A\) نفسها، لأنّ القوسين يتقاطعان في نقطتين.
  • تغيير الفتحة بين رسم القوس وقياس \(MA\).
🤔 لماذا نختار \(M\) و \(N\) متباعدتين على المحور؟
لأنّ القوسين يتقاطعان عندئذ بزاوية واضحة، فيكون موضع \(A'\) دقيقا. أمّا إذا كانت \(M\) و \(N\) متقاربتين، فالقوسان يكادان ينطبقان على مسافة طويلة، ويصير من المستحيل تعيين نقطة التقاطع بدقّة.
3 — مناظرة ثلاث نقط من نفس الاستقامة

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : محور \(\Delta\) وثلاث نقط \(A\) ، \(B\) ، \(C\) من نفس الاستقامة
الأدوات : الكوسالمسطرة المدرّجة
ما يجب إتقانه قبلا : البناء رقم 1
الحالة العامّة — الصور الثلاث تقع على مستقيم واحد
② كيف أبني؟

🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟

كلّ نقطة من الثلاث تُبنى إمّا بالكوس (البطاقة 1) وإمّا بالبركار (البطاقة 2). والبناء بالبركار هو المطلوب عندما يقول التمرين « ابنِ ».

⚠️ الحالة الخاصّة : إحدى النقط على المحور
النقطة \(B\) على \(\Delta\) : مناظرتها هي نفسها، والاستقامة تصمد

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

لأنّ التناظر المحوري يحافظ على الاستقامة : إذا كانت \(A\) و \(B\) و \(C\) على استقامة واحدة، فإنّ \(A'\) و \(B'\) و \(C'\) تكون على استقامة واحدة.

ولهذا نتيجة عمليّة مهمّة : لبناء مناظر مستقيم يكفي بناء مناظرَي نقطتين منه. النقطة الثالثة تأتي وحدها. وهذا ما تستعمله كلّ عمليات البناء التالية.

ونلاحظ في الرسم أنّ المستقيم \((ABC)\) ومناظره \((A'B'C')\) يتقاطعان على المحور نفسه : نقطة التقاطع صامدة.

④ كيف أتأكد؟

  • ضع حرف المسطرة على \(A'\) و \(C'\) : يجب أن تمرّ من \(B'\) أيضا.
  • قِس \(AB\) و \(A'B'\) ، ثمّ \(BC\) و \(B'C'\) : متقايسة.
  • إذا لم تنطبق الثلاث على مستقيم واحد، فالخطأ في بناء إحدى النقط، لا في الخاصية.

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 نسيان أنّ نقطة على المحور هي مناظرة نفسها، ورسم لها صورة أخرى.
  • بناء النقط الثلاث كلّ واحدة على حدة دون التحقّق من الاستقامة في الآخر.
  • عدم احترام الترتيب : إذا كانت \(B\) بين \(A\) و \(C\) ، فإنّ \(B'\) بين \(A'\) و \(C'\).
  • استعمال عمودي واحد لنقطتين مختلفتين.
🤔 المستقيم \((AB)\) يقطع المحور \(\Delta\) في نقطة \(I\). أين تقع مناظرة \(I\)؟
في \(I\) نفسها، لأنّ \(I\in\Delta\). ولهذا يمرّ المستقيم \((A'B')\) من \(I\) كذلك : المستقيم ومناظره يتقاطعان دائما على المحور، إلاّ إذا كانا متوازيين معه.
4 — مناظرة قطعة

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : محور \(\Delta\) وقطعة \([AB]\)
الأدوات : الكوسالمسطرة المدرّجة
② كيف أبني؟
🧭 نفس البناء بالبركار
نفس البناء بالبركار — دون كوس ودون قياس

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

مناظرة قطعة هي قطعة. فلا حاجة لبناء مناظرات نقط كثيرة منها : يكفي بناء مناظرتَي طرفيها ثمّ الوصل بينهما.

وهذا مبنيّ مباشرة على البناء 3 : الاستقامة محفوظة، فكلّ نقطة من \([AB]\) تعطي نقطة من \([A'B']\).

وزيادة على ذلك، التناظر يحافظ على الأطوال : \(AB=A'B'\).

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(AB\) و \(A'B'\) : متقايسان.
  • تحقّق من كلّ طرف على حدة كما في البناء 1.

⚠️ أخطاء شائعة

  • بناء مناظر طرف واحد ثمّ رسم القطعة « بالنظر ».
  • وصل \(A'\) بـ \(B\) بدل \(B'\).
  • ظنّ أنّ الطول يتغيّر لأنّ القطعة « انقلبت ».
🤔 إذا كان \(AB=6\) صم ، فما طول \([A'B']\)؟
\(6\) صم. التناظر المحوري يحافظ على الأطوال : الشكل ومناظره متقايسان تماما، لم يتغيّر إلاّ الموضع والاتّجاه.
5 — مناظرة مستقيم ونصف مستقيم

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : محور \(\Delta\) ومستقيم \((D)\)
الأدوات : الكوسالمسطرة
② كيف أبني؟

🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟

نقطتا المستقيم تُبنيان بالبركار كما في البطاقة 2 : قوسان من M وقوسان من N لكلّ نقطة. لا حاجة للكوس.

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

مناظرة مستقيم هي مستقيم، ومستقيم يتعيّن بنقطتين. فيكفي بناء مناظرتَي نقطتين منه ثمّ رسم المستقيم المارّ منهما.

ومن الأذكى اختيار نقطة التقاطع مع المحور إن وُجدت : فهي صامدة، ولا تحتاج إلى أيّ بناء. عندئذ لا يبقى إلاّ نقطة واحدة تُبنى.

أمّا في نصف المستقيم، فيكفي بناء مناظر أصله ومناظر نقطة أخرى منه.

④ كيف أتأكد؟

  • خُذ نقطة ثالثة من \((D)\) وابنِ مناظرتها : يجب أن تقع على \((D')\).
  • \((D)\) و \((D')\) يتقاطعان على المحور.
  • قِس الزاوية بين \((D)\) و \(\Delta\) ، وبين \((D')\) و \(\Delta\) : متقايستان.

⚠️ أخطاء شائعة

  • نسيان أنّ نقطة التقاطع مع المحور لا تتحرّك، وبناء لها صورة.
  • الحالتان الخاصّتان المنسيّتان :
    • إذا كان \((D)\) عموديا على \(\Delta\) ، فمناظره هو نفسه.
    • إذا كان \((D)\) موازيا لـ \(\Delta\) ، فمناظره مستقيم مواز له، على نفس البعد من الجهة الأخرى.
  • في نصف المستقيم : عكس الاتّجاه.
🤔 مستقيم \((D)\) عمودي على المحور \(\Delta\). ما هو مناظره؟
هو نفسه — لكن انتبه : المستقيم صامد في مجموعه، لا نقطة نقطة. فكلّ نقطة منه تتحرّك إلى نقطة أخرى من نفس المستقيم، ما عدا نقطة التقاطع مع \(\Delta\).
6 — مناظرة دائرة

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : محور \(\Delta\) ودائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(r\)
الأدوات : الكوسالمسطرة المدرّجةالبركار
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

مناظرة دائرة هي دائرة لها نفس الشعاع، ومركزها مناظر المركز.

ولماذا نفس الشعاع؟ لأنّ التناظر يحافظ على الأطوال : إذا كانت \(M\) نقطة من \((\mathcal{C})\) فإنّ \(O'M'=OM=r\). فكلّ صور نقط الدائرة تبعد عن \(O'\) بـ \(r\) بالضبط.

ومنه العمل كلّه يتلخّص في : ابنِ مناظر المركز، ثمّ افتح البركار على نفس الشعاع.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(r\) و \(r'\) : متقايسان.
  • تحقّق من \(O'\) كما في البناء 1 : \(OH=HO'\) و \((OO')\perp\Delta\).
  • خُذ نقطة من \((\mathcal{C})\) وابنِ مناظرتها : يجب أن تقع على \((\mathcal{C}')\).

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 بناء مناظرات عدّة نقط من الدائرة ثمّ محاولة وصلها : عمل طويل وغير دقيق. المركز وحده يكفي.
  • تغيير الشعاع : « الدائرة تبدو أصغر » — لا، الشعاع لا يتغيّر أبدا.
  • إذا كانت الدائرة تقطع المحور : نقطتا التقاطع صامدتان، والدائرتان تتقاطعان فيهما.
🤔 دائرة مركزها \(O\) وشعاعها 3 صم. ما مركز وشعاع مناظرتها؟
مركزها \(O'\) مناظرة \(O\) بالنسبة إلى \(\Delta\) ، وشعاعها 3 صم — نفس الشعاع. لا يتغيّر إلاّ موضع المركز.
7 — مناظرة مثلّث أو شكل

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : محور \(\Delta\) ومثلّث \(ABC\)
الأدوات : الكوسالمسطرة المدرّجة
② كيف أبني؟

🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟

رؤوس المثلّث الثلاثة تُبنى بالبركار كما في البطاقة 2. وهي الطريقة الوحيدة المقبولة إذا طُلب منك « بناء » لا « رسم ».

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

المثلّث يتعيّن برؤوسه الثلاثة. وبما أنّ مناظرة كلّ ضلع هي قطعة (البناء 4)، فيكفي بناء مناظرات الرؤوس ثمّ الوصل بينها بنفس الترتيب.

والمثلّثان \(ABC\) و \(A'B'C'\) متقايسان : نفس الأضلاع ونفس الزوايا، لأنّ التناظر يحافظ على الأطوال وعلى الزوايا.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس الأضلاع الثلاثة في الشكلين.
  • قِس زاوية واحدة على الأقلّ في كلّ شكل.
  • الترتيب : \(A\to A'\) ، \(B\to B'\) ، \(C\to C'\) ، والوصل يتبع نفس الترتيب.

⚠️ أخطاء شائعة

  • الوصل بترتيب خاطئ : يعطي شكلا متقاطعا لا مثلّثا.
  • الاكتفاء ببناء رأسين ورسم الثالث بالتقدير.
  • ظنّ أنّ الشكل « ينقلب » فتتغيّر قياساته.
🤔 إذا كان المثلّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) ، فما نوع \(A'B'C'\)؟
قائم الزاوية في \(A'\) أيضا. التناظر يحافظ على الزوايا : الزاوية القائمة تبقى قائمة، والمثلّث المتقايس الضلعين يبقى متقايس الضلعين.
8 — بناء محور التناظر بمعلومية نقطتين متناظرتين

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : نقطتان \(E\) و \(F\) نعلم أنّهما متناظرتان بالنسبة إلى محور مجهول
الأدوات : البركارالمسطرة
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

هذا هو التعريف مقروءا بالمقلوب : إذا كانت \(F\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى \(\Delta\) ، فإنّ \(\Delta\) هو الموسّط العمودي لـ \([EF]\).

فالسؤال « أين المحور؟ » يصير سؤالا معروفا : ابنِ الموسّط العمودي للقطعة \([EF]\) بالبركار.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(IE\) و \(IF\) حيث \(I\) نقطة التقاطع : متقايسان.
  • ضع الكوس : \(\Delta\perp(EF)\).
  • خُذ نقطة \(T\) من \(\Delta\) وقِس \(TE\) و \(TF\) : متقايسان.

⚠️ أخطاء شائعة

  • رسم المستقيم \((EF)\) نفسه بدل موسّطه العمودي.
  • رسم مستقيم يمرّ من منتصف \([EF]\) دون أن يكون عموديا عليه.
  • فتحة بركار أصغر من نصف \(EF\) : القوسان لا يتقاطعان.
🤔 كم محورا للتناظر يوجد يجعل \(F\) مناظرة \(E\)؟
واحد فقط : الموسّط العمودي لـ \([EF]\). لأنّ لكلّ قطعة موسّطا عموديا واحدا لا غير.
9 — محاور تناظر الأشكال المألوفة

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : شكل مرسوم
الأدوات : المسطرةالبركارالكوس
السؤال : هل للشكل محور تناظر؟ وكم؟
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

المستقيم \(\Delta\) محور تناظر لشكل إذا كانت مناظرة الشكل بالنسبة إليه هي الشكل نفسه. أي أنّ الطيّ على \(\Delta\) يُطبق نصف الشكل على نصفه الآخر.

والبحث يقوم على قاعدة بسيطة : إذا كان \(\Delta\) محورا، فمناظرة كلّ رأس هي رأس، ومناظرة كلّ ضلع هي ضلع. ولهذا :

  • قطعة \([AB]\) : محوران — موسّطها العمودي، والمستقيم \((AB)\) نفسه.
  • مثلّث متقايس الضلعين : محور واحد — الموسّط العمودي للقاعدة، وهو أيضا الارتفاع والموسّط ومنصّف الزاوية الرئيسية.
  • مثلّث متقايس الأضلاع : ثلاثة محاور.
  • دائرة : عدد لا نهائي من المحاور — كلّ مستقيم يمرّ من المركز.

④ كيف أتأكد؟

  • اختبار الطيّ : تخيّل طيّ الورقة على المستقيم — هل ينطبق النصفان تماما؟
  • خُذ رأسا وابنِ مناظرته : يجب أن تقع على رأس آخر من الشكل.
  • تحقّق أنّ المحور عمودي على الضلع الذي يقطعه ويمرّ من منتصفه.

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 الظنّ أنّ لكلّ مثلّث محور تناظر : المثلّث المختلف الأضلاع ليس له أيّ محور.
  • عدّ الموسّطات أو الارتفاعات كمحاور : في المثلّث المتقايس الضلعين، الموسّط الصادر من \(B\) ليس محور تناظر.
  • نسيان المستقيم \((AB)\) كمحور ثانٍ للقطعة \([AB]\).
  • في الدائرة : الاكتفاء بمحورين اثنين.
🤔 كم محور تناظر لمثلّث أضلاعه 4 صم و 5 صم و 6 صم؟
ولا واحد. المحور يجب أن يُطبق ضلعا على ضلع، فيلزم وجود ضلعين متقايسين على الأقلّ. وهنا الأضلاع الثلاثة مختلفة، فالمثلّث لا يملك أيّ محور تناظر.
🌐 Devoirati.net · كيف أبني؟ — التناظر المحوري — السنة السابعة أساسي