📐 كيف أبني؟
المستقيمات والدوائر — السنة السابعة أساسي
↶ العودة إلى كلّ الفصول
المستقيمات
الدائرة والمستقيم
دائرتان
1 — بناء مستقيم عمودي بالكوس

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : مستقيم \((D)\) ونقطة \(A\)
الأدوات : الكوسالمسطرة
② كيف أبني؟

🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟

هذه الفيقة تستعمل الكوس. أمّا البناء بالبركار — وهو المطلوب في أغلب التمارين — ففي البطاقة 2 إذا كانت النقطة على المستقيم، وفي البطاقة 3 إذا كانت خارجه.

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

الكوس أداة زاويتها قائمة بالبناء. فإذا انطبق أحد ضلعَي قائمته على \((D)\) ، كان الضلع الآخر عموديا على \((D)\) حتما. ولم يبقَ إلاّ أن نُزلقه حتى يمرّ من \(A\).

وهذه الطريقة تعمل سواء كانت \(A\) على \((D)\) أو خارجه — وهذا ما يميّزها عن طريقة البركار التي لها حالتان مختلفتان.

📌 قاعدة الفصل : من نقطة معلومة، يمكن رسم مستقيم واحد فقط عمودي على مستقيم معلوم.

④ كيف أتأكد؟

  • أعِد وضع الكوس في \(H\) : يجب أن ينطبق ضلعا القائمة على \((D)\) وعلى \((AH)\).
  • أشّر الزاوية القائمة في \(H\).
  • اكتب النتيجة : \((AH)\perp(D)\).

⚠️ أخطاء شائعة

  • وضع الوتر على \((D)\) بدل ضلع القائمة : الزاوية لا تكون قائمة.
  • إزلاق الكوس ودفعه في نفس الوقت : ينحرف عن \((D)\) والعمودية تضيع.
  • نسيان تأشير الزاوية القائمة — تُنقص من الإجابة.
  • الاكتفاء بمظهر « شبه عمودي » دون أداة.
🤔 كم مستقيما عموديا على \((D)\) يمكن رسمه من النقطة \(A\)؟
واحد فقط. وهي قاعدة أساسية في هذا الفصل. أمّا المستقيمات العمودية على \((D)\) دون شرط المرور من \(A\) فعددها لا نهائي، وهي كلّها متوازية فيما بينها.
2 — عمودي بالبركار : النقطة على المستقيم

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : مستقيم \((D)\) ونقطة \(A\) تنتمي إليه
الأدوات : البركارالمسطرة
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

القوس الأوّل يعطي \(AB=AC\) : النقطة \(A\) تصير منتصف القطعة \([BC]\).

ثمّ نبني الموسّط العمودي لـ \([BC]\) : فهو، بالتعريف، عمودي على \((BC)\) — أي على \((D)\) — ويمرّ من منتصفها — أي من \(A\).

فالمستقيم المحصول عليه يحقّق الشرطين المطلوبين معا. وهذه هي الطريقة التي يذكرها الكتاب حرفيا للحالة الأولى.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(AB\) و \(AC\) : متقايسان.
  • تحقّق بالكوس أنّ المستقيم عمودي على \((D)\).
  • تحقّق أنّه يمرّ فعلا من \(A\) ، لا بجانبها.

⚠️ أخطاء شائعة

  • تغيير فتحة البركار بين \(B\) و \(C\) في المرحلة الثانية : المستقيم لا يمرّ من \(A\).
  • الاكتفاء بنقطة تقاطع واحدة : نحتاج \(P\) و \(Q\) لرسم مستقيم.
  • فتحة ثانية أصغر من نصف \(BC\) : القوسان لا يتقاطعان.
  • استعمال هذه الطريقة والنقطة خارج \((D)\) : عندئذ الطريقة هي تلك التي في البطاقة 3.
🤔 لماذا نبدأ برسم قوس مركزه \(A\)؟
لكي نصنع قطعة \([BC]\) تكون \(A\) منتصفها. فبدون ذلك، ليس لدينا قطعة يمكن بناء موسّطها العمودي، ولا شيء يضمن أنّ المستقيم سيمرّ من \(A\).
3 — عمودي بالبركار : النقطة خارج المستقيم

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : مستقيم \((D)\) ونقطة \(M\) خارجه
الأدوات : البركارالمسطرة
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

القوس الأوّل، مركزه \(M\) ، يقطع \((D)\) في \(A\) و \(B\) بحيث \(MA=MB\). فالنقطة \(M\) متساوية البعد عن طرفَي \([AB]\) ، إذن هي تنتمي إلى موسّطها العمودي.

ونبني هذا الموسّط العمودي بالبركار : فهو يمرّ من \(M\) حتما، وهو عمودي على \((AB)\) أي على \((D)\).

🔴 شرط لا بدّ منه : يجب أن تكون فتحة البركار أكبر من بُعد \(M\) عن \((D)\) ، وإلاّ فالقوس لا يقطع \((D)\) أصلا ولا نحصل على شيء.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(MA\) و \(MB\) : متقايسان.
  • تحقّق بالكوس من العمودية في نقطة التقاطع \(H\).
  • \(H\) هي في نفس الوقت المسقط العمودي لـ \(M\) على \((D)\) — انظر البطاقة 7.

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 فتحة أصغر من بُعد \(M\) عن \((D)\) : القوس يبقى معلّقا فوق المستقيم دون أن يلمسه.
  • الخلط بين الحالتين : هنا لا نرسم قوسا مركزه نقطة من \((D)\) ، بل مركزه \(M\) نفسها.
  • تغيير الفتحة بين قوسَي \(A\) و \(B\) في المرحلة الثانية.
🤔 ما الفرق الجوهري بين البطاقة 2 والبطاقة 3؟
مركز القوس الأوّل.
• البطاقة 2 : \(A\) على \((D)\) ← القوس مركزه \(A\) ، ويصنع قطعة \(A\) منتصفها.
• البطاقة 3 : \(M\) خارج \((D)\) ← القوس مركزه \(M\) ، ويصنع قطعة \(M\) متساوية البعد عن طرفيها.
والمرحلة الثانية واحدة في الحالتين : الموسّط العمودي.
4 — بناء مستقيم مواز بالكوس

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : مستقيم \((D)\) ونقطة \(A\) خارجه
الأدوات : الكوسالمسطرة
ما يجب إتقانه قبلا : البناء رقم 1
② كيف أبني؟

🧭 وأين البركار في هذه البطاقة؟

هذه الفيقة تستعمل الكوس. والبناء بالبركار في البطاقة 5 : متوازي أضلاع بفتحتين، دون أيّ زاوية تُقاس.

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

الطريقة تستعمل الخاصية الأساسية للفصل :

\[ (D)\perp(\Delta) \quad \text{و} \quad (D')\perp(\Delta) \implies (D)\parallel(D') \]

نرسم أوّلا العمودي \((\Delta)\) على \((D)\) المارّ من \(A\) ، ثمّ العمودي على \((\Delta)\) المارّ من \(A\). فالمستقيمان \((D)\) و \((D')\) عموديان على نفس المستقيم \((\Delta)\) ، إذن هما متوازيان.

💡 عمودان على عمود : هذه هي كلّ الفكرة.

④ كيف أتأكد؟

  • تحقّق من الزاويتين القائمتين بالكوس.
  • قِس البعد بين \((D)\) و \((D')\) في موضعين مختلفين : يجب أن تجد نفس العدد.
  • المستقيمان لا يتقاطعان مهما مُدّا.

⚠️ أخطاء شائعة

  • رسم العمودي الثاني على \((D)\) بدل \((\Delta)\) : نحصل على مستقيم عمودي، لا مواز.
  • عدم مرور \((D')\) من \(A\).
  • الخلط بين « متوازيان » و« منطبقان » : إذا كانت \(A\) على \((D)\) فالمستقيمان منطبقان.
🤔 \((D_1)\parallel(D_2)\) و \((D_3)\perp(D_1)\). ماذا تستنتج بالنسبة إلى \((D_3)\) و \((D_2)\)؟
\((D_3)\perp(D_2)\). فإذا كان مستقيم عموديا على أحد مستقيمين متوازيين، فهو عمودي على الآخر. وهذه الخاصية والتي في البطاقة تُستعملان معا في أغلب تمارين الفصل.
5 — بناء مستقيم مواز بالبركار

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : مستقيم \((D)\) ونقطة \(A\) خارجه
الأدوات : البركارالمسطرة
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

نبني في الحقيقة متوازي أضلاع : الرباعي \(BCA'A\) له \(AA'=BC\) و \(CA'=BA\) بالبناء.

ولمّا كانت الأضلاع المتقابلة متقايسة مثنى مثنى، فالرباعي متوازي أضلاع، ومنه \((AA')\parallel(BC)\) أي \((AA')\parallel(D)\).

💡 هذه الطريقة لا تحتاج إلى كوس ولا إلى قياس زوايا : فتحتان فقط، تُنقلان بدقّة.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(AA'\) و \(BC\) : متقايسان.
  • قِس \(AB\) و \(A'C\) : متقايسان.
  • قِس البعد بين المستقيمين في موضعين : نفس العدد.

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 الخلط بين الفتحتين : الأولى تساوي \(BC\) ومركزها \(A\) ، والثانية تساوي \(BA\) ومركزها \(C\). عكسُهما يعطي شكلا آخر.
  • اختيار نقطة التقاطع الخاطئة للقوسين : هناك نقطتان، وواحدة فقط تعطي متوازي الأضلاع في الاتّجاه الصحيح.
  • اختيار \(B\) و \(C\) متقاربتين جدّا : الدقّة تسوء.
🤔 لماذا تعطي هذه الطريقة مستقيما موازيا دون أن نقيس أيّ زاوية؟
لأنّ التوازي هنا ناتج عن الأطوال لا عن الزوايا : رباعي أضلاعه المتقابلة متقايسة مثنى مثنى هو متوازي أضلاع، وفي متوازي الأضلاع الأضلاع المتقابلة متوازية. البركار ينقل الأطوال بدقّة، وهذا يكفي.
6 — بناء الموسّط العمودي لقطعة

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : قطعة \([EF]\)
الأدوات : البركارالمسطرة
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

القوسان مرسومان بنفس الفتحة، إذن \(PE=PF\) و \(QE=QF\).

وكلّ نقطة متساوية البعد عن طرفَي قطعة تنتمي إلى موسّطها العمودي. فالنقطتان \(P\) و \(Q\) عليه، والمستقيم \((PQ)\) هو الموسّط العمودي لـ \([EF]\).

📌 وهذا هو المستقيم الأكثر حضورا في الفصل كلّه : يظهر في البطاقات 2 و 3 كأداة، وفي الدائرة المحيطة، وفي كلّ تمرين تساوي أبعاد.

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(PE\) و \(PF\) : متقايسان.
  • ضع الكوس : \((PQ)\perp[EF]\).
  • قِس \(IE\) و \(IF\) : متقايسان، إذن \(I\) هي المنتصف.

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 فتحة أصغر من نصف \(EF\) : القوسان لا يتقاطعان أبدا.
  • الاكتفاء بالمرور من المنتصف دون عمودية — الخطأ الذي يذكره الكتاب حرفيا : « لا يكفي أن يمرّ من منتصف القطعة، يجب أيضا أن يكون عموديا عليها ».
  • تغيير الفتحة بين \(E\) و \(F\).
  • الخلط بين الموسّط العمودي والمنصّف : الأوّل لقطعة، والثاني لزاوية.
🤔 نقطة \(T\) تحقّق \(TE=TF\). هل هي بالضرورة منتصف \([EF]\)؟
لا. هي تنتمي إلى الموسّط العمودي لـ \([EF]\) ، وهذا يشمل نقطا كثيرة جدّا. المنتصف هو واحدة منها فقط : تلك التي تنتمي إلى القطعة نفسها.
7 — المسقط العمودي لنقطة وبُعدها عن مستقيم

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : مستقيم \((D)\) ونقطة \(A\) خارجه
الأدوات : الكوسالمسطرة المدرّجة
ما يجب إتقانه قبلا : البناء رقم 1
② كيف أبني؟
🧭 نفس البناء بالبركار
نفس البناء بالبركار — دون كوس ودون قياس

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

التعريف : المسقط العمودي لنقطة \(A\) على \((D)\) هو نقطة تقاطع \((D)\) مع العمودي على \((D)\) المارّ من \(A\). نسمّيه عادة \(H\).

والبعد بين \(A\) و \((D)\) هو الطول \(AH\).

🔴 ولماذا هذا الطول بالذات؟ لأنّه أقصر مسافة بين \(A\) وأيّ نقطة من \((D)\). خُذ أيّ نقطة \(M\) أخرى على \((D)\) : تجد دائما \(AM>AH\). ولهذا نقول « البعد » ولا نقول « مسافة ما ».

④ كيف أتأكد؟

  • تحقّق بالكوس أنّ \((AH)\perp(D)\) ، وأشّر الزاوية القائمة.
  • خُذ نقطة \(M\) أخرى على \((D)\) وقِس \(AM\) : يجب أن تجدها أكبر من \(AH\).
  • \(H\) على \((D)\) نفسه، لا فوقه ولا تحته.

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 قياس \(AM\) نحو نقطة « تبدو قريبة » بدل بناء العمودي : يعطي دائما عددا أكبر من الحقيقي.
  • الخلط بين المسقط \(H\) (نقطة) والبعد \(AH\) (عدد).
  • نسيان أنّ بُعد نقطة من \((D)\) عن \((D)\) يساوي صفرا.
  • رسم \([AH]\) دون تأشير الزاوية القائمة.
🤔 دائرة مركزها \(A\) وشعاعها \(AH\). ما وضعيتها بالنسبة إلى \((D)\)؟
إنّها مماسّة لـ \((D)\) في \(H\) ، لأنّ بُعد المركز عن المستقيم يساوي الشعاع بالضبط : \(d=r\). وهذا هو الجسر بين هذه البطاقة والبطاقة 8.
8 — الوضعية النسبية لمستقيم ودائرة

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : دائرة مركزها \(O\) وشعاعها \(r\) ، ومستقيم \((D)\)
الأدوات : الكوسالمسطرة المدرّجةالبركار
ما يجب إتقانه قبلا : البناء رقم 7
الحالات الثلاث، والفرق بينها كلّه في المقارنة بين \(d\) و \(r\)
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

كلّ شيء يتوقّف على عدد واحد : \(d\) ، بُعد المركز \(O\) عن المستقيم \((D)\). ونقارنه بالشعاع \(r\).

المقارنةالوضعيةعدد نقط التقاطع
d > rمنفصلان0
d = rمماسّان1
d < rمتقاطعان2

ولا يُقاس \(d\) إلاّ عموديا : إنّه الطول \(OH\) حيث \(H\) المسقط العمودي لـ \(O\) على \((D)\). ولهذا كانت البطاقة 7 ضرورية قبل هذه.

④ كيف أتأكد؟

  • ابنِ \(H\) بالكوس، قِس \(OH\) ، وقارنه بـ \(r\).
  • عُدّ نقط التقاطع في الرسم : يجب أن يوافق العدد الجدول.
  • في حالة التماسّ، نقطة التماسّ هي \(H\) نفسها.

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 قياس المسافة من \(O\) إلى نقطة عشوائية من \((D)\) بدل المسقط العمودي : العدد يكون أكبر، والاستنتاج خاطئ.
  • الحكم بالنظر : رسم غير دقيق يجعل حالة التماسّ تبدو تقاطعا.
  • الخلط بين الشعاع \(r\) والقطر \(2r\) في المقارنة.
🤔 دائرة شعاعها 3 صم ومركزها يبعد 3 صم عن \((D)\). كم نقطة مشتركة؟
نقطة واحدة. لأنّ \(d=r=3\) : المستقيم مماسّ للدائرة، ونقطة التماسّ هي المسقط العمودي للمركز على \((D)\).
9 — بناء مماس لدائرة في نقطة منها

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : دائرة مركزها \(I\) ونقطة \(A\) من الدائرة
الأدوات : الكوسالمسطرة
ما يجب إتقانه قبلا : البناء رقم 1
② كيف أبني؟
🧭 نفس البناء بالبركار
نفس البناء بالبركار — النقطة A على المستقيم (IA)

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

الخاصية، كما يكتبها الكتاب :

المماسّ للدائرة في نقطة \(A\) هو المستقيم العمودي على الشعاع \([IA]\) في طرفه \(A\)

فالبناء يتحوّل إلى شيء تعرفه : ارسم العمودي على \([IA]\) في \(A\). ولا شيء آخر.

ويمكن التحقّق بالمعيار الآخر : بُعد المركز \(I\) عن هذا المستقيم يساوي \(IA\) ، أي الشعاع \(r\) بالضبط. ومنه \(d=r\) ، وهذا هو التماسّ (البطاقة 8).

④ كيف أتأكد؟

  • تحقّق بالكوس : \((\Delta)\perp[IA]\) في \(A\) ، وأشّر الزاوية القائمة.
  • المستقيم يلمس الدائرة في \(A\) فقط : لا نقطة ثانية.
  • قِس بُعد \(I\) عن \((\Delta)\) : يجب أن تجد \(r\).

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 رسم العمودي على الوتر أو على أيّ قطعة أخرى بدل الشعاع \([IA]\).
  • رسم العمودي على \([IA]\) في \(I\) بدل \(A\) : نحصل على مستقيم لا يلمس الدائرة أصلا.
  • محاولة رسم مماسّ من نقطة خارج الدائرة بهذه الطريقة : هذا بناء آخر، وهو خارج برنامج السنة السابعة.
  • نسيان أنّ نقطة التماسّ هي \(A\) نفسها.
🤔 كم مماسّا للدائرة يمكن رسمه في النقطة \(A\) منها؟
واحد فقط ، لأنّ من نقطة معلومة يمرّ عمودي واحد لا غير على مستقيم معلوم — وهنا على \((IA)\). وهذه هي نفس قاعدة البطاقة 1، مطبّقة على الدائرة.
10 — الوضعيات النسبية لدائرتين

① ماذا أحتاج؟

المعطيات : دائرتان، مركزاهما \(O\) و \(O'\) ، وشعاعاهما \(r\) و \(r'\)
الأدوات : المسطرة المدرّجةالبركار
الحالات الخمس، مرتّبة من الأبعد إلى الأقرب
② كيف أبني؟

③ لماذا تنجح هذه الطريقة؟

الفكرة نفسها التي في البطاقة 8، لكن بعدد واحد آخر : \(OO'\) ، المسافة بين المركزين. ونقارنها هذه المرّة بعددين : المجموع \(r+r'\) والفرق \(|r-r'|\).

المقارنةالوضعيةنقط مشتركة
OO' > r + r'منفصلتان خارجا0
OO' = r + r'متماسّتان خارجا1
|r − r'| < OO' < r + r'متقاطعتان2
OO' = |r − r'|متماسّتان داخلا1
OO' < |r − r'|إحداهما داخل الأخرى0

💡 طريقة للتذكّر : ابدأ بالدائرتين متباعدتين، ثمّ قرّبهما شيئا فشيئا. تمرّان بالحالات الخمس في هذا الترتيب بالضبط، ويكفي أن تعرف أين تقع \(OO'\) بالنسبة إلى العددين \(|r-r'|\) و \(r+r'\).

④ كيف أتأكد؟

  • قِس \(OO'\) بالمسطرة، ثمّ احسب \(r+r'\) و \(|r-r'|\) ، وقارن.
  • عُدّ نقط التقاطع في الرسم : يجب أن يوافق العدد الجدول.
  • في حالتَي التماسّ، نقطة التماسّ تقع على المستقيم \((OO')\) — تحقّق بالمسطرة.

⚠️ أخطاء شائعة

  • 🔴 مقارنة \(OO'\) بالمجموع فقط، ونسيان الفرق : عندئذ تختلط الحالة « متماسّتان داخلا » بالحالة « إحداهما داخل الأخرى ».
  • الخلط بين منفصلتان خارجا (0 نقطة، كلّ واحدة خارج الأخرى) وإحداهما داخل الأخرى (0 نقطة أيضا، لكنّ الوضعية مختلفة تماما).
  • قياس المسافة بين نقطتين من الدائرتين بدل المسافة بين المركزين.
  • نسيان القيمة المطلقة في \(|r-r'|\).
🤔 دائرتان شعاعاهما 5 صم و 3 صم ، والمسافة بين مركزيهما 2 صم. ما وضعيتهما؟
\(r+r'=8\) و \(|r-r'|=2\) و \(OO'=2\).
إذن \(OO'=|r-r'|\) : الدائرتان متماسّتان داخلا ، ولهما نقطة مشتركة واحدة. الصغيرة داخل الكبيرة وتلمسها من الداخل.
🌐 Devoirati.net · كيف أبني؟ — المستقيمات والدوائر — السنة السابعة أساسي