1) أرسم مثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $A$ بحيث $BC = 5 \text{ cm}$ و $AB = 6 \text{ cm}$
ثم إبنِ $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[BC]$
$\Delta$ يقطع $(BC)$ في $D$. عيّن $M$ من $[AD]$ بحيث $AM = 3 \text{ cm}$.
2) أ) بيّن أنّ المثلثين $AMB$ و $AMC$ متقايسان.
في المثلثين $AMB$ و $AMC$ لدينا:
$[AM]$ ضلع مشترك.
$AB = AC$ (لأن $ABC$ متقايس الضلعين في $A$).
بما أن $M$ ينتمي للموسط العمودي لـ $[BC]$ فإن $MB = MC$.
إذن يتقايس المثلثان $AMB$ و $AMC$ حسب الحالة الثالثة لتقايس المثلثات.
ب) إستنتج أنّ $(AD)$ هو منصف $\widehat{BAC}$.
من تقايس المثلثين $AMB$ و $AMC$ ننتج أن الزوايا المتناظرة متقايسة.
إذن $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$.
بما أن النقطة $M$ تنتمي إلى المستقيم $(AD)$، فإن $(AD)$ هو منصف الزاوية $\widehat{BAC}$.
3) لتكن $H$ المسقط العمودي لـ $M$ على $(AB)$ و $K$ المسقط العمودي لـ $M$ على $(AC)$
أ) بيّن أنّ $AMH$ و $AMK$ متقايسان.
في المثلثين القائمين $AMH$ و $AMK$ لدينا:
$[AM]$ وتر مشترك.
$\widehat{HAM} = \widehat{KAM}$ (لأن $(AM)$ هو المنصف).
إذن يتقايس المثلثان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وزاوية حادة).
ب) إستنتج أنّ $\Delta \perp (HK)$
من تقايس المثلثين $AMH$ و $AMK$ نجد أن $AH = AK$.
بما أن $AH = AK$ فإن $A$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[HK]$.
بما أن $MH = MK$ (من نفس التقايس) فإن $M$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[HK]$.
إذن $(AM)$ هو الموسط العمودي لـ $[HK]$، وبالتالي $(AM) \perp (HK)$.
وبما أن $\Delta$ هو نفسه المستقيم $(AM)$، فإن $\Delta \perp (HK)$.
4) ليكن $\Delta'$ المستقيم المار من $M$ والموازي لـ $(BC)$ والذي يقطع $(AB)$ في $N$ و $(AC)$ في $P$
بيّن أنّ $M$ منتصف $[NP]$.
لدينا $\Delta' \parallel (BC)$ و $\Delta \perp (BC)$، إذن $\Delta \perp \Delta'$.
في المثلث $ANP$، المستقيم $\Delta$ (أي $AM$) هو الارتفاع المار من $A$.
بما أن $\Delta$ هو منصف $\widehat{NAP}$، فإن المثلث $ANP$ متقايس الضلعين في $A$.
في المثلث المتقايس الضلعين، المنصف المار من القمة الرئيسية هو أيضاً موسط عمودي للضلع المقابل.
إذن $\Delta$ موسط عمودي لـ $[NP]$، وهذا يعني أن $M$ (نقطة التقاطع) هي منتصف $[NP]$.