لتكن دائرة $\zeta$ مركزها $O$ وشعاعها $5 \text{ cm}$. عيّن عليها نقطتين $B$ و $C$ غير متقابلتين قطريا.
$M$ نقطة من $[OB]$ و $N$ نقطة من $[OC]$ بحيث $OM = ON$.
1) أثبت تقايس المثلثين $OBN$ و $OCM$
في المثلثين $OBN$ و $OCM$ لدينا:
$OB = OC$ (شعاعان في نفس الدائرة).
$ON = OM$ (معطى).
$\widehat{BON}$ زاوية مشتركة.
إذن يتقايس المثلثان حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما).
2) بيّن أنّ $NB = MC$
بما أن المثلثين $OBN$ و $OCM$ متقايسان فإن الأجزاء المتناظرة فيهما متقايسة.
إذن $NB = MC$.
3) لتكن $I$ نقطة تقاطع $(BN)$ و $(CM)$. بيّن أنّ $\widehat{IMB} = \widehat{INC}$
من تقايس المثلثين $OBN$ و $OCM$ لدينا $\widehat{ONB} = \widehat{OMC}$.
بما أن $\widehat{INC}$ و $\widehat{ONB}$ متكاملتان، و $\widehat{IMB}$ و $\widehat{OMC}$ متكاملتان.
فإن $\widehat{IMB} = \widehat{INC}$.
4) أ) قارن المثلثين $IBM$ و $ICN$
لدينا $MB = OB - OM$ و $NC = OC - ON$.
بما أن $OB = OC$ و $OM = ON$ فإن $MB = NC$.
ولدينا $\widehat{IBM} = \widehat{ICN}$ (من تقايس المثلثين الأولين).
ولدينا $\widehat{IMB} = \widehat{INC}$ (من السؤال 3).
إذن يتقايس المثلثان $IBM$ و $ICN$ حسب الحالة الثانية (ضلع وزاويتان مجاورتان).
ب) بيّن أنّ $(OI) \perp (BC)$
من تقايس المثلثين $IBM$ و $ICN$ نجد $IB = IC$.
بما أن $OB = OC$ فإن $O$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[BC]$.
بما أن $IB = IC$ فإن $I$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[BC]$.
إذن $(OI)$ هو الموسط العمودي لـ $[BC]$ وبالتالي $(OI) \perp (BC)$.