ليكن $ABCD$ مستطيل بحيث $AB = 4$ و $BC = 2$ و $I$ منتصف $[AB]$.
1) أ) أثبت تقايس المثلثين $IBC$ و $IAD$.
في المثلثين $IBC$ و $IAD$ لدينا:
$BC = AD$ (لأن $ABCD$ مستطيل)
$IB = IA$ (لأن $I$ منتصف $[AB]$)
$\widehat{IBC} = \widehat{IAD} = 90^\circ$ (زوايا مستطيل)
إذن المثلثان $IBC$ و $IAD$ متقايسان.
ب) إستنتج أن المثلث $ICD$ قائم ومتقايس الضلعين في $I$.
من التقايس السابق ننتج أن $IC = ID$.
بما أن $AI = 2$ و $AD = 2$ فإن المثلث $IAD$ قائم ومتقايس الضلعين في $A$.
إذن $\widehat{AID} = 45^\circ$ وبالمثل $\widehat{BIC} = 45^\circ$.
$\widehat{DIC} = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$.
إذن $ICD$ قائم ومتقايس الضلعين في $I$.
2) لتكن $E$ نقطة من $(BC)$ بحيث $BE = BD$. المستقيم المار من $B$ والعمودي على $(DE)$ يقطعه في $J$.
قارن المثلثين $BJE$ و $BJD$.
في المثلثين $BJE$ و $BJD$ لدينا:
$[BJ]$ ضلع مشترك.
$BE = BD$ (معطى).
$\widehat{BJE} = \widehat{BJD} = 90^\circ$ (تعامد).
إذن يتقايس المثلثان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وضلع قائم).