اذكر الأعداد غير الأولية من بين الأعداد التالية معللا جوابك في كل مرة:
• عدد أولي: له قاسمان فقط هما 1 ونفسه.
• عدد غير أولي: له قاسم ثالث على الأقل (غير 1 ونفسه).
• نستخدم قواسم بسيطة: 2، 3، 5، 7، 11، ...
• نلاحظ أيضاً أن:
- 1 ليس عدداً أولياً.
- جداء عددين أوليين ليس عدداً أولياً.
- قوة عدد أولي (مثل 19³) ليست عدداً أولياً.
• نمر على كل عدد ونبحث إن كان يقبل القسمة على عدد أصغر منه (غير 1).
• إذا وجدنا قاسماً صحيحاً (بدون باقي)، فالعدد غير أولي.
• إذا لم نجد أي قاسم، فهو أولي (لكن هنا نبحث عن غير الأولية فقط).
• نستخدم قواعد سريعة:
- يقبل القسمة على 2 إذا كان زوجياً.
- يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3.
- يقبل القسمة على 5 إذا كان ينتهي بـ 0 أو 5.
العدد 117:
• مجموع الأرقام: 1 + 1 + 7 = 9.
• 9 يقبل القسمة على 3، إذن 117 يقبل القسمة على 3.
• 117 = 3 × 39، إذن 117 غير أولي.
العدد 321:
• مجموع الأرقام: 3 + 2 + 1 = 6.
• 6 يقبل القسمة على 3، إذن 321 يقبل القسمة على 3.
• 321 = 3 × 107، إذن 321 غير أولي.
العدد 133:
• لا يقبل القسمة على 2 (فردي)، ولا على 5 (لا ينتهي بـ 0 أو 5).
• نجرب 7: 133 ÷ 7 = 19 (قسمة صحيحة).
• إذن 133 = 7 × 19، فهو غير أولي.
العدد 1:
• له قاسم واحد فقط (1)، وليس له قاسمان مختلفان.
• بالتعريف: 1 ليس عدداً أولياً.
العدد 13 × 17:
• هذا ليس عدداً بسيطاً بل جداء عددين أوليين.
• أي عدد يكتب على شكل a × b (مع a و b أكبر من 1) هو غير أولي.
• إذن 13 × 17 عدد غير أولي.
العدد 451:
• لا يقبل القسمة على 2 (فردي).
• مجموع الأرقام: 4 + 5 + 1 = 10 (لا يقبل القسمة على 3).
• لا ينتهي بـ 0 أو 5، إذن لا يقبل القسمة على 5.
• نجرب 11: 451 ÷ 11 = 41 (قسمة صحيحة).
• إذن 451 = 11 × 41، فهو غير أولي.
العدد 12565:
• ينتهي بـ 5، إذن يقبل القسمة على 5.
• 12565 ÷ 5 = 2513 (قسمة صحيحة).
• إذن 12565 غير أولي.
العدد 19³:
• 19³ = 19 × 19 × 19.
• هو جداء لثلاثة أعداد أكبر من 1.
• إذن 19³ عدد غير أولي.
العدد 91:
• لا يقبل القسمة على 2 أو 5.
• نجرب 7: 91 ÷ 7 = 13 (قسمة صحيحة).
• إذن 91 = 7 × 13، فهو غير أولي.
العدد 47:
• لا يقبل القسمة على 2 (فردي).
• مجموع الأرقام: 4 + 7 = 11 (لا يقبل القسمة على 3).
• لا ينتهي بـ 0 أو 5، إذن لا يقبل القسمة على 5.
• نجرب 7: 47 ÷ 7 ليس عدداً صحيحاً.
• نجرب 11: 47 ÷ 11 ليس عدداً صحيحاً.
• لا نجد قاسماً غير 1 و 47، إذن 47 عدد أولي.
الخلاصة:
الأعداد غير الأولية من القائمة هي:
117 ، 321 ، 133 ، 1 ، 13 × 17 ، 451 ، 12565 ، 19³ ، 91
والعدد الوحيد الأولي هو: 47.
فكك الأعداد التالية إلى جذاء عوامل أولية:
• نريد كتابة كل عدد على شكل جداء أعداد أولية فقط.
• نستخدم القسمة المتتالية على الأعداد الأولية: 2، 3، 5، 7، 11، 13، ...
• نتابع القسمة حتى نصل إلى عدد أولي.
• نبدأ دائماً بأصغر عدد أولي ممكن.
• إذا كان العدد زوجياً، نقسم على 2.
• إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3، نقسم على 3.
• إذا كان ينتهي بـ 0 أو 5، نقسم على 5.
• نكرر العملية حتى لا يبقى إلا عدد أولي.
490:
490 ÷ 2 = 245
245 ÷ 5 = 49
49 = 7 × 7
إذن: 490 = 2 × 5 × 7 × 7
930:
930 ÷ 2 = 465
465 ÷ 3 = 155
155 ÷ 5 = 31 (عدد أولي)
إذن: 930 = 2 × 3 × 5 × 31
2460:
2460 ÷ 2 = 1230
1230 ÷ 2 = 615
615 ÷ 3 = 205
205 ÷ 5 = 41 (أولي)
إذن: 2460 = 2 × 2 × 3 × 5 × 41
1547:
مجموع الأرقام: 1 + 5 + 4 + 7 = 17 (لا يقبل القسمة على 3).
نجرب 7: 1547 ÷ 7 = 221
221 = 13 × 17
إذن: 1547 = 7 × 13 × 17
570:
570 ÷ 2 = 285
285 ÷ 3 = 95
95 ÷ 5 = 19 (أولي)
إذن: 570 = 2 × 3 × 5 × 19
999:
مجموع الأرقام: 9 + 9 + 9 = 27 (يقبل القسمة على 3).
999 ÷ 3 = 333
333 ÷ 3 = 111
111 ÷ 3 = 37 (أولي)
إذن: 999 = 3 × 3 × 3 × 37
1001:
1001 ÷ 7 = 143
143 = 11 × 13
إذن: 1001 = 7 × 11 × 13
884:
884 ÷ 2 = 442
442 ÷ 2 = 221
221 = 13 × 17
إذن: 884 = 2 × 2 × 13 × 17
3933:
مجموع الأرقام: 3 + 9 + 3 + 3 = 18 (يقبل القسمة على 3).
3933 ÷ 3 = 1311
1311 ÷ 3 = 437
437 ÷ 19 = 23 (أولي)
إذن: 3933 = 3 × 3 × 19 × 23
2340:
2340 ÷ 2 = 1170
1170 ÷ 2 = 585
585 ÷ 3 = 195
195 ÷ 3 = 65
65 ÷ 5 = 13 (أولي)
إذن: 2340 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 13
2470:
2470 ÷ 2 = 1235
1235 ÷ 5 = 247
247 = 13 × 19
إذن: 2470 = 2 × 5 × 13 × 19
مستطيل مساحته 703 cm². أوجد طوله و عرضه إذا علمت أنهما عددان أوليان.
• مساحة المستطيل = الطول × العرض.
• نعلم أن المساحة = 703 cm².
• الطول و العرض عددان أوليان.
• إذن 703 يجب أن يكتب على شكل جداء عددين أوليين.
• نفكك 703 إلى عوامل أولية.
• إذا وجدنا 703 = p × q حيث p و q أوليان، فهما طول و عرض المستطيل.
• نبحث عن قواسم 703 بين الأعداد الأولية: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، ...
تفكيك 703:
• 703 عدد فردي، إذن لا يقبل القسمة على 2.
• مجموع الأرقام: 7 + 0 + 3 = 10، لا يقبل القسمة على 3.
• لا ينتهي بـ 0 أو 5، إذن لا يقبل القسمة على 5.
• نجرب 7: 703 ÷ 7 = 100.4 (ليست قسمة صحيحة).
• نجرب 11: 703 ÷ 11 = 63.9 (ليست قسمة صحيحة).
• نجرب 13: 703 ÷ 13 = 54.07 تقريباً (ليست صحيحة).
• نجرب 17: 703 ÷ 17 = 41 (قسمة صحيحة).
• 17 عدد أولي، و 41 عدد أولي أيضاً.
• إذن: 703 = 17 × 41.
استنتاج أبعاد المستطيل:
• بما أن الطول و العرض عددان أوليان، فيمكن أن يكونا:
17 cm و 41 cm.
• إذن أبعاد المستطيل هي:
الطول = 41 cm و العرض = 17 cm (أو العكس).
ليكن العدد a التالي:
a = 375 × 36 × 240
1) فكك العدد a إلى جذاء عوامل أولية.
2) بين أن العدد a يمثل مساحة مربع. ما هو قيس طول ضلعه؟
• نريد تفكيك كل من 375 و 36 و 240 إلى عوامل أولية.
• ثم نضرب التفكيكات للحصول على تفكيك a.
• عدد يمثل مساحة مربع إذا كان يمكن كتابته على شكل n × n، أي أن كل عامل أولي يظهر بأسّ زوجي.
• نفكك 375، 36، 240 إلى عوامل أولية.
• نجمع القوى لكل عامل أولي.
• إذا كانت جميع الأسس زوجية، فالعدد مربع كامل.
• طول ضلع المربع هو الجذر التربيعي للعدد a، أي نأخذ نصف الأسس.
تفكيك 375:
375 ÷ 5 = 75
75 ÷ 5 = 15
15 ÷ 5 = 3
3 عدد أولي.
إذن: 375 = 5 × 5 × 5 × 3 = 3 × 5³
تفكيك 36:
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 = 3 × 3
إذن: 36 = 2² × 3²
تفكيك 240:
240 ÷ 2 = 120
120 ÷ 2 = 60
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 عدد أولي.
إذن: 240 = 2⁴ × 3 × 5
تفكيك العدد a:
a = 375 × 36 × 240
= (3 × 5³) × (2² × 3²) × (2⁴ × 3 × 5)
نجمع القوى لكل عامل:
• بالنسبة لـ 2: 2² × 2⁴ = 2⁶
• بالنسبة لـ 3: 3 × 3² × 3 = 3⁴
• بالنسبة لـ 5: 5³ × 5 = 5⁴
إذن: a = 2⁶ × 3⁴ × 5⁴
إثبات أن a يمثل مساحة مربع:
• نلاحظ أن جميع الأسس زوجية:
6 ، 4 ، 4 كلها أعداد زوجية.
• إذن a يمكن كتابته على شكل (2³ × 3² × 5²)².
• هذا يعني أن a = n² حيث n = 2³ × 3² × 5².
حساب طول ضلع المربع:
n = 2³ × 3² × 5²
2³ = 8
3² = 9
5² = 25
n = 8 × 9 × 25
8 × 9 = 72
72 × 25 = 1800
إذن طول ضلع المربع هو 1800 (بوحدة المساحة المناسبة).
ابنِ مثلثاً EFG حيث FG = 8 و الزاوية EFG = 60° و الزاوية EGF = 50°.
1) ابنِ [Fx) منصف الزاوية EFG و [Gy) منصف الزاوية EGF. [Fx) و [Gy) يتقاطعان في نقطة I.
أ. ماذا تمثل I بالنسبة للمثلث EFG؟ علل جوابك.
ب. احسب الزاوية IEF معللاً جوابك.
2) ابنِ [IH] ارتفاع المثلث GFI الصادر من I.
3) حدد شعاع الدائرة المحاطة بالمثلث EFG ثم ارسم هذه الدائرة.
• مجموع زوايا المثلث = 180°.
• منصف الزاوية: مستقيم يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين.
• نقطة تقاطع منصفات زوايا المثلث هي مركز الدائرة المحاطة به.
• الدائرة المحاطة: تمس أضلاع المثلث من الداخل.
• ارتفاع من I في المثلث GFI: مستقيم عمودي على GF يمر من I.
• نحسب الزاوية عند E أولاً.
• نبني المثلث EFG باستعمال FG وطول الزوايا.
• نبني منصف الزاوية عند F ومنصف الزاوية عند G، يتقاطعان في I.
• نستنتج أن I هو مركز الدائرة المحاطة بالمثلث EFG.
• الزاوية IEF هي نصف الزاوية E (لأن I على منصف الزاوية عند E أيضاً في مثلث EFG).
• شعاع الدائرة المحاطة هو المسافة بين I وأحد الأضلاع (المسافة العمودية).
1) بناء المثلث EFG:
• نحسب الزاوية عند E:
زاوية E = 180° − 60° − 50° = 70°.
• نرسم القطعة [FG] طولها 8.
• عند F نرسم شعاعاً يصنع 60° مع FG.
• عند G نرسم شعاعاً يصنع 50° مع GF.
• يتقاطع الشعاعان في E، فنحصل على المثلث EFG.
1 أ) تفسير طبيعة I:
• [Fx) منصف الزاوية EFG، إذن يقسم الزاوية عند F إلى زاويتين متساويتين.
• [Gy) منصف الزاوية EGF، إذن يقسم الزاوية عند G إلى زاويتين متساويتين.
• نقطة تقاطع منصفين لزوايا المثلث هي مركز الدائرة المحاطة به.
• إذن I هو مركز الدائرة المحاطة بالمثلث EFG.
1 ب) حساب الزاوية IEF:
• بما أن I مركز الدائرة المحاطة، فهو أيضاً على منصف الزاوية عند E.
• الزاوية E = 70°.
• منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين:
زاوية IEF = 70° ÷ 2 = 35°.
2) بناء الارتفاع [IH] في المثلث GFI:
• نعتبر المثلث GFI.
• نرسم من I عموداً على GF.
• نقطة التقاطع مع GF نسميها H.
• إذن [IH] هو ارتفاع المثلث GFI الصادر من I.
3) تحديد شعاع الدائرة المحاطة بالمثلث EFG:
• شعاع الدائرة المحاطة هو المسافة العمودية بين I وأحد الأضلاع (مثلاً EF أو FG أو EG).
• يمكن استعمال الارتفاع من I على أحد الأضلاع (مثل IH إذا كان على GF في مثلث EFG أيضاً).
• نقيس المسافة من I إلى أحد الأضلاع (عمودياً)، هذا هو شعاع الدائرة المحاطة.
• ثم نرسم دائرة مركزها I وشعاعها هذه المسافة، فتمس الأضلاع الثلاثة للمثلث EFG.