سلسلة تمارين رياضيات

التمرين الأوّل — هندسة شبه المنحرف

$ABCD$ شبه منحرف قاعدتاه $[AB]$ و $[CD]$. $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(DC)$ و $K$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(CD)$.
لدينا: $AD = BC$ و $DH = CK$.

1

أ) قارن المثلثين $HAD$ و $KBC$.

ب) استنتج أن $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$.

2قارن المثلثين $ADC$ و $BCD$.

3

المستقيمان $(AC)$ و $(BD)$ يتقاطعان في $I$. بيّن أن $IC = ID$.

✦ الإصلاح التفصيلي — التمرين الأوّل

1) أ) مقارنة المثلثين $HAD$ و $KBC$

المثلثان $HAD$ و $KBC$ قائمان في $H$ و $K$ على التوالي. لدينا:

$\widehat{AHD} = \widehat{BKC} = 90°$ (تعريف المسقط العمودي)
$AD = BC$ (معطى)
$DH = CK$ (معطى)

إذن يتقايس المثلثان القائمان حسب حالة (وتر وضلع قائم).

$$\triangle HAD \equiv \triangle KBC$$

1) ب) استنتاج $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$

بما أن $\triangle HAD \equiv \triangle KBC$، فإن الزوايا المتناظرة متقايسة:

$$\widehat{ADH} = \widehat{BCK}$$

ولمّا كانت $H \in [DC]$ و $K \in [DC]$ فإن:

$$\widehat{ADC} = \widehat{ADH} = \widehat{BCK} = \widehat{BCD} \quad \checkmark$$

2) مقارنة المثلثين $ADC$ و $BCD$

في المثلثين $ADC$ و $BCD$:

$DC$ ضلع مشترك
$AD = BC$ (معطى)
$\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$ (ثُبت في 1-ب)

إذن يتقايسان حسب الحالة الثانية (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما).

$$\triangle ADC \equiv \triangle BCD$$

3) إثبات أن $IC = ID$

من تقايس $\triangle ADC \equiv \triangle BCD$ تنتج الزوايا المتناظرة:

$$\widehat{ACD} = \widehat{BDC}$$

أي: $\widehat{ICD} = \widehat{IDC}$.
بما أن زاويتا القاعدة في المثلث $ICD$ متقايستان، فهو مثلث متقايس الضلعين، ومنه:

$$\boxed{IC = ID} \checkmark$$

التمرين الثاني — هندسة مثلث قائم

$ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ حيث $AB = 4\,\text{cm}$ و $\widehat{ABC} = 60°$.

1

ابنِ النقطة $D$ حيث $A$ منتصف $[BD]$. بيّن أن المثلث $BDC$ متقايس الأضلاع.

2

أ) ارسم المستقيم $\Delta$ المار من $C$ والعمودي على $(AC)$. عيّن $E$ المسقط العمودي لـ $B$ على $\Delta$. ما طبيعة الرباعي $ABEC$؟

ب) أثبت تقايس المثلثين $BEC$ و $ADC$.

✦ الإصلاح التفصيلي — التمرين الثاني

1) إثبات أن $BDC$ متقايس الأضلاع

بما أن $A$ منتصف $[BD]$ والمثلث $ABC$ قائم في $A$:

$(CA) \perp (BD)$ لأن الزاوية في $A$ قائمة.
$A$ منتصف $[BD]$، إذن $(CA)$ هو في آنٍ واحد الوسيط والارتفاع الصادران من $C$ في المثلث $BDC$.
ينتج أن المثلث $BDC$ متقايس الضلعين في $C$، أي $CB = CD$.

وبما أن $\widehat{DBC} = \widehat{ABC} = 60°$، ومثلث متقايس الضلعين إذا كانت إحدى زوايا قاعدته $60°$ فهو متقايس الأضلاع:

$$\boxed{BD = BC = CD} \checkmark$$

2) أ) طبيعة الرباعي $ABEC$

$(AB) \perp (AC)$ لأن المثلث قائم في $A$، إذن $\widehat{BAC} = 90°$.
$\Delta \perp (AC)$ و $E \in \Delta$، إذن $(CE) \perp (AC)$، أي $\widehat{ACE} = 90°$.
بالتالي $(AB) \parallel (CE)$ (كلاهما عمودي على $(AC)$).
$E$ مسقط $B$ على $\Delta$، إذن $(BE) \perp \Delta$، أي $(BE) \perp (CE)$، فـ $\widehat{BEC} = 90°$.

الرباعي $ABEC$ لديه ثلاث زوايا قائمة (في $A$، $C$، $E$)، إذن الزاوية الرابعة قائمة أيضاً، وأضلاعه المتقابلة متوازية.

$ABEC$ مستطيل.

2) ب) تقايس المثلثين $BEC$ و $ADC$

في المثلثين القائمين $BEC$ (القائمة في $E$) و $ADC$ (القائمة في $A$):

$BE = AC$ لأن $ABEC$ مستطيل (الأضلاع المتقابلة في المستطيل متقايسة).
$EC = AB$ للسبب ذاته في المستطيل. وبما أن $A$ منتصف $[BD]$ فإن $AD = AB$، إذن $EC = AD$.
$\widehat{BEC} = \widehat{DAC} = 90°$.

إذن يتقايس المثلثان حسب حالة (ضلعان قائمان):

$$\triangle BEC \equiv \triangle ADC \checkmark$$

التمرين الرابع — جبر معادلات كسرية

أوجد العدد الكسري $x$ في الحالات التالية:

أ

$$\frac{x-3}{15} = \frac{2}{15}$$

ب

$$\frac{3}{2}(x-2) = -\frac{2}{5}$$

ج

$$-\frac{x+1}{2} = \frac{3}{7}$$

✦ الإصلاح التفصيلي — التمرين الرابع

أ) المقامان متساويان

بما أن المقامين متساويان ($15 = 15$)، نساوي البسطين مباشرةً:

$$x - 3 = 2$$

$$\boxed{x = 5}$$

ب) الضرب بمقلوب المعامل

نضرب الطرفين في مقلوب $\dfrac{3}{2}$، وهو $\dfrac{2}{3}$:

$$x - 2 = -\frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = -\frac{4}{15}$$

$$x = 2 - \frac{4}{15} = \frac{30}{15} - \frac{4}{15}$$

$$\boxed{x = \frac{26}{15}}$$

ج) التخلص من الإشارة السالبة

نضرب الطرفين في $(-2)$:

$$x + 1 = \frac{3}{7} \times (-2) = -\frac{6}{7}$$

$$x = -\frac{6}{7} - 1 = -\frac{6}{7} - \frac{7}{7}$$

$$\boxed{x = -\frac{13}{7}}$$

التمرين الخامس — جبر نشر وتفكيك

لتكن العبارة: $$A = \left(2x-5\right)\!\left(y+\frac{5}{2}\right) - 3x\!\left(\frac{2}{3}y - \frac{5}{12}\right)$$

1

بيّن بالنشر أن $A = \dfrac{25}{4}x - 5y - \dfrac{25}{2}$.

2فكّك إلى جداء عوامل العبارات التالية:

$e = \left(x - \dfrac{1}{3}\right)(x - 5) - \left(\dfrac{1}{3} - x\right)$

$g = (x - 1)\!\left(\dfrac{2}{3} - x\right) - (x - 1)\!\left(3x + \dfrac{5}{2}\right)$

✦ الإصلاح التفصيلي — التمرين الخامس

1) نشر العبارة $A$

$$A = \underbrace{2x \cdot y + 2x \cdot \frac{5}{2} - 5 \cdot y - 5 \cdot \frac{5}{2}}_{\text{نشر المضروب الأوّل}} - \underbrace{\left(3x \cdot \frac{2}{3}y - 3x \cdot \frac{5}{12}\right)}_{\text{نشر المضروب الثاني}}$$

$$= \left(2xy + 5x - 5y - \frac{25}{2}\right) - \left(2xy - \frac{5}{4}x\right)$$

$$= 2xy + 5x - 5y - \frac{25}{2} - 2xy + \frac{5}{4}x$$

$$= \left(5 + \frac{5}{4}\right)x - 5y - \frac{25}{2} = \frac{20+5}{4}\,x - 5y - \frac{25}{2}$$

$$\boxed{A = \frac{25}{4}x - 5y - \frac{25}{2}} \quad \checkmark$$

2) تفكيك العبارة $e$

نلاحظ أن $\dfrac{1}{3} - x = -\!\left(x - \dfrac{1}{3}\right)$، إذن:

$$e = \left(x - \frac{1}{3}\right)(x-5) - \left(\frac{1}{3} - x\right)$$

$$= \left(x - \frac{1}{3}\right)(x-5) + \left(x - \frac{1}{3}\right)$$

نستخرج العامل المشترك $\left(x - \dfrac{1}{3}\right)$:

$$= \left(x - \frac{1}{3}\right)\!\bigl[(x-5) + 1\bigr]$$

$$\boxed{e = \left(x - \frac{1}{3}\right)(x - 4)}$$

2) تفكيك العبارة $g$

نستخرج العامل المشترك $(x-1)$:

$$g = (x-1)\!\left(\frac{2}{3} - x\right) - (x-1)\!\left(3x + \frac{5}{2}\right)$$

$$= (x-1)\left[\left(\frac{2}{3} - x\right) - \left(3x + \frac{5}{2}\right)\right]$$

$$= (x-1)\left(\frac{2}{3} - x - 3x - \frac{5}{2}\right)$$

نحسب الثوابت: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{2} = \dfrac{4}{6} - \dfrac{15}{6} = -\dfrac{11}{6}$

$$\boxed{g = (x-1)\!\left(-4x - \frac{11}{6}\right)}$$

سلسلة تمارين في الرياضياتالسنة الثامنة أساسي

سلسلة تمارين في الرياضيات
السنة الثامنة أساسي