1) اكتب العددين الكسريين $\frac{25}{3}$ و $\frac{37}{4}$ في صيغة مجموع عدد صحيح وطبيعي وعدد كسري أصغر من 1.
$\frac{25}{3} = \dots + \frac{\dots}{3} \quad ; \quad \frac{37}{4} = \dots + \frac{\dots}{4}$
ب- اختزل العدد الكسري $\frac{184}{148}$ إلى أقصى حد. هل هو عدد عشري؟ علل.
$\frac{184}{148} = \frac{2^3 \times 23}{2^2 \times 37}$
$\frac{184}{148} = \frac{2 \times 23}{37} = \frac{46}{37}$
العدد ليس عشرياً لأن مقامه المختزل 37 لا يحتوي فقط على عوامل من فئة 2 أو 5.
تمرين عدد 3: الهندسة والموسط العمودي
تأمل الرسم حيث $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[RI]$ و $O$ نقطة منه بحيث $R\hat{I}O = 64^{\circ}$.
1) ابن $[Ix)$ منصف الزاوية $R\hat{I}O$؛ تقتطع $\Delta$ في $C$.
2) بيّن أن $ROI$ مثلث متقايس الضلعين.
بما أن $O$ تنتمي إلى $\Delta$ وهو الموسط العمودي لـ $[RI]$
فإن $O$ تبعد نفس البعد عن طرفي قطعة المستقيم $[RI]$
إذن $OR = OI$
وبالتالي المثلث $ROI$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $O$.
3) ماذا تمثل النقطة $C$ بالنسبة للمثلث $RIO$؟ علل جوابك.
$C$ هي نقطة تقاطع الموسط العمودي لـ $[RI]$ ومنصف الزاوية $R\hat{I}O$.
في مثلث متقايس الضلعين القمة $O$، الموسط العمودي للقاعدة هو أيضاً منصف زاوية القمة.
إذن $C$ هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث لأنها نقطة تلاقي المنصفات.
إصلاح التمرين الرابع (Socrate Design)
تمرين عدد 4: الدائرة والزوايا
لتكن الدائرة $(\zeta)$ مركزها $O$ وشعاعها $6cm$. ابن $[AB]$ حبلاً منها بحيث $O\hat{A}B = 45^\circ$.
1) حدّد $A\hat{O}B$ واستنتج نوعية المثلث $OAB$.
بما أن $A$ و $B$ نقطتان من الدائرة، فإن $OA = OB = 6cm$ (شعاع).
إذن المثلث $OAB$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $O$.
بالتالي زوايا القاعدة متقايسة: $O\hat{B}A = O\hat{A}B = 45^\circ$.
مجموع زوايا المثلث هو $180^\circ$، إذن:
$A\hat{O}B = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ)$
$A\hat{O}B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
الاستنتاج: المثلث $OAB$ **قائم الزاوية في $O$ ومتقايس الضلعين**.
2) ليكن $[Ox)$ منصف الزاوية $A\hat{O}B$ و $(\Delta)$ الموسط العمودي لـ $[OA]$ و $\{H\} = (\Delta) \cap (OA)$ و $\{I\} = (\Delta) \cap (AB)$.
أ) حدّد المركز القائم للمثلث $ABO$.
المركز القائم للمثلث هو نقطة تلاقي الارتفاعات.
بما أن المثلث $OAB$ قائم الزاوية في $O$، فإن الضلعين $[OA]$ و $[OB]$ يمثلان ارتفاعين.
إذن النقطة $O$ هي **المركز القائم** للمثلث $ABO$.
ب) برهن أن $I$ هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $OAB$.
المثلث $OAB$ قائم في $O$.
في المثلث القائم، مركز الدائرة المحيطة هو **منتصف الوتر**.
بما أن $(\Delta)$ هو الموسط العمودي لـ $[OA]$ ويمر من $I$، وبما أن المثلث متقايس الضلعين،
فإن $I$ هي منتصف $[AB]$ (الوتر).
إذن $I$ هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $OAB$.
ج) حدّد قيس $O\hat{I}H$.
في المثلث $OAI$، $(\Delta)$ هو الموسط العمودي لـ $[OA]$، إذن المثلث $OAI$ متقايس الضلعين قمته $I$.
الزاوية $O\hat{A}I = 45^\circ$، إذن $A\hat{O}I = 45^\circ$.
في المثلث القائم $OHI$ (قائم في $H$ لأن $\Delta \perp OA$):
$O\hat{I}H = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 45^\circ$.
د) استنتج طبيعة المثلث $OHI$.
بما أن $O\hat{I}H = 45^\circ$ و $H\hat{O}I = 45^\circ$،
فإن المثلث $OHI$ له زاويتان متقايستان.
إذن المثلث $OHI$ **قائم ومتقايس الضلعين في $H$**.