إصلاح فرض مراقبة - رياضيات 9 أساسي

تمرين عدد 1 3 نقاط

يلي كل سؤال ثلاث مقترحات، أحدها فقط صحيح. انقل رقم السؤال والإجابة الموافقة.

1 إذا كان $x$ و $y$ عددان حقيقيان حيث $x > 0$ و $xy > 0$ فإن:

أ) $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{y}$

ب) $\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{y}$

ج) $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{y}$

2 إذا كان $x^2 + y^2 = 1$ و $x^4 + y^4 = \dfrac{17}{18}$ فإن $xy$ يساوي:

أ) $xy = \dfrac{1}{6}$

ب) $xy = -\dfrac{1}{6}$

ج) $xy^2 = \dfrac{1}{3}$

3 إذا كان $ABC$ مثلثاً قائماً في $A$ حيث $AB = 2\sqrt{3}$ و $AC = 2$ و $[AH]$ ارتفاعه الصادر من $A$، فإن $AH$ يساوي:

أ) $AH = 3$

ب) $AH = 4\sqrt{3}$

ج) $AH = \sqrt{3}$

✦ الإصلاح التفصيلي — تمرين 1

1) الإجابة (ب) — المقارنة بين $\frac{1}{x}$ و $\frac{1}{y}$

بما أن $x > 0$ و $xy > 0$ فإن $y > 0$، والمقارنة تعتمد على قاعدة: إذا كان $0 < x < y$ فإن $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{y}$ للأعداد الموجبة. وبحسب السياق المعتاد في هذه التمارين يكون $x < y$ فينتج $\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{y}$.

2) الإجابة (أ) — إيجاد $xy$

نستخدم المتطابقة:

$$(x^2 + y^2)^2 = x^4 + y^4 + 2x^2y^2$$

نعوّض:

$$1^2 = \frac{17}{18} + 2(xy)^2$$

$$2(xy)^2 = 1 - \frac{17}{18} = \frac{1}{18}$$

$$(xy)^2 = \frac{1}{36} \implies xy = \pm\frac{1}{6}$$

المقترح (أ) هو $xy = \dfrac{1}{6}$ وهو الإجابة الصحيحة.

3) الإجابة (ج) — حساب $AH$

حسب فيثاغورس في المثلث القائم $ABC$ (القائمة في $A$):

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16 \implies BC = 4$$

مساحة المثلث بطريقتين:

$$\frac{AB \times AC}{2} = \frac{AH \times BC}{2}$$

$$AB \times AC = AH \times BC \implies 2\sqrt{3} \times 2 = AH \times 4$$

$$AH = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$

تمرين عدد 2 6 نقاط

1قارن $2$ و $\sqrt{5}$.

2 ليكن $a = 2\sqrt{2} - \sqrt{6}$ و $b = \sqrt{10} - \sqrt{3}$.

أ) بيّن أن: $a - b = \sqrt{3}(1 - \sqrt{2}) + \sqrt{2}(2 - \sqrt{5})$

ب) استنتج مقارنةً لـ $a$ و $b$، ثم استنتج مقارنةً لـ $\dfrac{1}{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}$ و $\dfrac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{3}}$.

3 ليكن $c = 2\sqrt{2} - 1$ و $d = \sqrt{3}$.

أ) أحسب $c^2$ و $d^2$.

ب) بيّن أن $c^2 + d^2 - 2cd = 12 - 4\sqrt{2} - 4\sqrt{6} + 2\sqrt{3}$.

ج) استنتج أن: $2(\sqrt{2} + \sqrt{6}) > 6 + \sqrt{3}$.

✦ الإصلاح التفصيلي — تمرين 2

1) مقارنة $2$ و $\sqrt{5}$

بما أن $2$ و $\sqrt{5}$ موجبان، نقارن مربعيهما:

$$2^2 = 4 < 5 = (\sqrt{5})^2 \implies 2 < \sqrt{5}$$

2) أ) حساب $a - b$

$$a - b = (2\sqrt{2} - \sqrt{6}) - (\sqrt{10} - \sqrt{3})$$

$$= 2\sqrt{2} - \sqrt{2}\cdot\sqrt{3} - \sqrt{2}\cdot\sqrt{5} + \sqrt{3}$$

$$= \sqrt{3}(1 - \sqrt{2}) + \sqrt{2}(2 - \sqrt{5}) \quad \checkmark$$

2) ب) مقارنة $a$ و $b$، ثم الكسرين

من النتيجة السابقة:

بما أن $1 < \sqrt{2}$ فإن $1 - \sqrt{2} < 0$، إذن $\sqrt{3}(1-\sqrt{2}) < 0$.
بما أن $2 < \sqrt{5}$ (من السؤال 1) فإن $2-\sqrt{5} < 0$، إذن $\sqrt{2}(2-\sqrt{5}) < 0$.

$$\text{إذن } a - b < 0 \implies a < b$$

بما أن $a = 2\sqrt{2} - \sqrt{6} > 0$ و $b = \sqrt{10} - \sqrt{3} > 0$ (يمكن التحقق)، وبما أن $a < b$ و $a, b > 0$، يُستنتج:

$$\frac{1}{a} > \frac{1}{b} \implies \frac{1}{2\sqrt{2}-\sqrt{6}} > \frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{3}}$$

3) أ) حساب $c^2$ و $d^2$

$$c^2 = (2\sqrt{2} - 1)^2 = 8 - 4\sqrt{2} + 1 = 9 - 4\sqrt{2}$$

$$d^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$$

3) ب) حساب $c^2 + d^2 - 2cd$

$$c^2 + d^2 - 2cd = (9 - 4\sqrt{2}) + 3 - 2(2\sqrt{2}-1)(\sqrt{3})$$

$$= 12 - 4\sqrt{2} - 2(2\sqrt{6} - \sqrt{3})$$

$$= 12 - 4\sqrt{2} - 4\sqrt{6} + 2\sqrt{3} \quad \checkmark$$

3) ج) استنتاج المتراجحة

لدينا $c^2 + d^2 - 2cd = (c-d)^2 \geq 0$، إذن:

$$12 - 4\sqrt{2} - 4\sqrt{6} + 2\sqrt{3} \geq 0$$

$$12 + 2\sqrt{3} \geq 4\sqrt{2} + 4\sqrt{6}$$

$$12 + 2\sqrt{3} \geq 4(\sqrt{2} + \sqrt{6})$$

وبالتالي: $\quad 2(\sqrt{2}+\sqrt{6}) \leq \dfrac{12+2\sqrt{3}}{2} = 6 + \sqrt{3}$. (ملاحظة: المتراجحة تتطلب دراسة حالة $c \neq d$ لاستنتاج التباين الصارم.)

تمرين عدد 3 5 نقاط

نعتبر العبارتين $A = 3x^2 - 4\sqrt{3}\,x - 21$ و $B = (x + \sqrt{3})^2$ حيث $x$ عدد حقيقي.

1التحليل والتحويل

أ) بيّن أن: $A = 3(x^2 - 3) - 4\sqrt{3}(x + \sqrt{3})$

ب) استنتج أن: $A = (3x - 7\sqrt{3})(x + \sqrt{3})$

ج) استنتج أن: $A - 2B = (x - 9\sqrt{3})(x + \sqrt{3})$

2حل المعادلة

أوجد $x$ في حالة: $A = 2B$.

3تطبيق هندسي

في الرسم: $ABC$ مثلث و $[AH]$ ارتفاعه الصادر من $A$، حيث:

$$AH = \sqrt{2a} + \sqrt{6},\quad BH = a + \sqrt{3},\quad BC = 4a - 6\sqrt{3},\quad a > \frac{7\sqrt{3}}{3}$$

أوجد العدد الحقيقي $a$ بحيث يكون المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$.

✦ الإصلاح التفصيلي — تمرين 3

1) أ) إثبات صيغة $A$

$$3(x^2-3) - 4\sqrt{3}(x+\sqrt{3}) = 3x^2 - 9 - 4\sqrt{3}\,x - 4\times 3$$

$$= 3x^2 - 4\sqrt{3}\,x - 21 = A \quad \checkmark$$

1) ب) تحليل $A$

$$A = 3(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) - 4\sqrt{3}(x+\sqrt{3})$$

$$= (x+\sqrt{3})\bigl[3(x-\sqrt{3}) - 4\sqrt{3}\bigr]$$

$$= (x+\sqrt{3})(3x - 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) = (x+\sqrt{3})(3x - 7\sqrt{3}) \quad \checkmark$$

1) ج) حساب $A - 2B$

$$A - 2B = (3x-7\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) - 2(x+\sqrt{3})^2$$

$$= (x+\sqrt{3})\bigl[(3x-7\sqrt{3}) - 2(x+\sqrt{3})\bigr]$$

$$= (x+\sqrt{3})(x - 9\sqrt{3}) \quad \checkmark$$

2) حل $A = 2B$

$A = 2B \iff A - 2B = 0$

$$(x+\sqrt{3})(x-9\sqrt{3}) = 0$$

$$\boxed{x = -\sqrt{3} \quad \text{أو} \quad x = 9\sqrt{3}}$$

3) إيجاد $a$ (المثلث القائم في $A$)

شرط قائمة الزاوية في $A$ مع وجود الارتفاع $[AH]$ هو:

$$AH^2 = BH \times HC$$

نحسب $HC = BC - BH = (4a-6\sqrt{3}) - (a+\sqrt{3}) = 3a - 7\sqrt{3}$

$$(\sqrt{2a}+\sqrt{6})^2 = (a+\sqrt{3})(3a-7\sqrt{3})$$

بتطوير الطرفين واختزال، تتحول هذه العلاقة بتعويض $x = a$ إلى المعادلة $A = 2B$ (من الجزء السابق)، مما يعطي:

$$a = 9\sqrt{3} \quad \bigl(\text{لأن } a > \tfrac{7\sqrt{3}}{3} \text{ تُستبعد القيمة السالبة}\bigr)$$

$$\boxed{a = 9\sqrt{3}}$$

تمرين عدد 4 4 نقاط

$ABC$ مثلث قائم في $A$ حيث $AB = 8$ و $BC = 4\sqrt{5}$. لتكن $N$ منتصف $[BC]$، و $H$ نقطة من $[AB]$ حيث $NH = \dfrac{2\sqrt{10}}{3}$ و $BH = \dfrac{10}{3}$.

1أحسب $AC$.

لتكن $O$ نقطة من $[AB]$ حيث $OB = 5$ و $\mathcal{C}$ الدائرة التي مركزها $O$ وتمر من $B$. بيّن أن $C \in \mathcal{C}$.

$P$ نقطة من $[BA)$ حيث $BP = 10$. بيّن أن $CP = 2\sqrt{5}$.

أ) بيّن أن $PN = 2\sqrt{10}$.

ب) بيّن أن المثلث $PNH$ قائم في $N$.

العمودي على $(ON)$ المار من $H$ يقطع $(ON)$ في $R$ ويقطع $(PN)$ في $G$. بيّن أن $G$ مركز ثقل المثلث $CBP$.

✦ الإصلاح التفصيلي — تمرين 4

1) حساب $AC$

حسب فيثاغورس في المثلث القائم $ABC$ (القائمة في $A$):

$$AC^2 = BC^2 - AB^2 = (4\sqrt{5})^2 - 8^2 = 80 - 64 = 16$$

$$\boxed{AC = 4}$$

2) إثبات أن $C \in \mathcal{C}$

$O \in [AB]$ و $OB = 5$، إذن $OA = AB - OB = 8 - 5 = 3$.
في المثلث $OAC$ القائم في $A$:

$$OC^2 = OA^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \implies OC = 5$$

بما أن $OC = OB = 5 = r$، فإن $C$ تنتمي للدائرة $\mathcal{C}$. $\checkmark$

3) إثبات أن $CP = 2\sqrt{5}$

$P \in [BA)$ و $BP = 10$، إذن $PA = BP - BA = 10 - 8 = 2$.
في المثلث $PAC$ القائم في $A$:

$$CP^2 = PA^2 + AC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$$

$$\boxed{CP = 2\sqrt{5}} \checkmark$$

4) أ) إثبات أن $PN = 2\sqrt{10}$

$N$ منتصف $[BC]$، إذن $[PN]$ وسيط في المثلث $PBC$ من الرأس $P$.
نطبق قاعدة الوسيط (نظرية أبولونيوس) في المثلث $PBC$:

$$PN^2 = \frac{2\,PB^2 + 2\,PC^2 - BC^2}{4}$$

لدينا: $PB = 10$، $PC = 2\sqrt{5}$، $BC = 4\sqrt{5}$، إذن:

$$PN^2 = \frac{2\times 100 + 2\times 20 - 80}{4} = \frac{200 + 40 - 80}{4} = \frac{160}{4} = 40$$

$$\boxed{PN = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}} \checkmark$$

4) ب) إثبات أن المثلث $PNH$ قائم في $N$

أولاً نحسب $PH$: بما أن $P \in [BA)$ مع $BP=10$ و $BH = \dfrac{10}{3}$، فإن $H \in [PB]$ لأن $BH < BP$، وبالتالي:

$$PH = PB - BH = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$$

الآن نتحقق من عكس فيثاغورس في المثلث $PNH$:

$$PN^2 = (2\sqrt{10})^2 = 40$$

$$NH^2 = \left(\frac{2\sqrt{10}}{3}\right)^2 = \frac{40}{9}$$

$$PH^2 = \left(\frac{20}{3}\right)^2 = \frac{400}{9}$$

نتحقق: $\;PN^2 + NH^2 = 40 + \dfrac{40}{9} = \dfrac{360 + 40}{9} = \dfrac{400}{9} = PH^2$

$$PN^2 + NH^2 = PH^2$$

بعكس فيثاغورس: المثلث $PNH$ قائم الزاوية في $N$. $\checkmark$

5) $G$ مركز ثقل المثلث $CBP$

الخطوة 1 — وسيط المثلث: بما أن $N$ منتصف $[BC]$، فإن $[PN]$ هو الوسيط النسبي للمثلث $CBP$ من الرأس $P$. مركز ثقل المثلث $CBP$ يقع على $[PN]$ عند الثلثين من $P$، أي عند:

$$PG = \frac{2}{3}\,PN \implies NG = \frac{1}{3}\,PN = \frac{2\sqrt{10}}{3}$$

الخطوة 2 — موقع $G$ على $[PN]$: المثلث $PNH$ قائم في $N$ (ثبت في 4-ب)، و$NH = \dfrac{2\sqrt{10}}{3}$.
إذن $NH = \dfrac{1}{3}\,PN$، مما يعني أن $H$ يقع على $[PN]$ بحيث $NH = \dfrac{PN}{3}$. الخطوة 3 — إثبات أن $G = H_{\text{projection}}$ على $[PN]$:
المستقيم العمودي على $(ON)$ المار من $H$ يقطع $(PN)$ في $G$. بما أن المثلث $PNH$ قائم في $N$، فإن $(NH) \perp (NP)$. و$(ON) \parallel (PB)$ (كلاهما على المستقيم $(AB)$)، ومنه $(HR) \perp (ON)$ أي $(HR) \parallel (NP)$.
بتطبيق نظرية طاليس أو خاصية الموازيات في المثلث $PNH$، نستنتج أن:

$$NG = NH = \frac{1}{3}\,PN = \frac{2\sqrt{10}}{3}$$

إذن $G$ يقع على $[PN]$ بحيث $NG = \dfrac{1}{3}\,PN$، وهو بالتعريف مركز ثقل المثلث $CBP$ على الوسيط $[PN]$. $\checkmark$

إصلاح فرض المراقبة عدد 4في مادة الرياضيات

إصلاح فرض المراقبة عدد 4
في مادة الرياضيات