الفرض التأليفي عدد 2

🚀 **رسالة تشجيع:** أهلاً بك يا بطل! هذا الفرض هو فرصتك لتثبت تميزك. اقرأ بتركيز، خذ نفساً عميقاً، وابدأ بالتمارين التي تراها أسهل. أنت قادر على التميز!

تمرين عدد 1 (4 نقاط) - QCM

(1) ليكن العدد $a = 74 \times 29 + 48$. خارج وباقي قسمة $a$ على 29 هما على التوالي:
أ) 75 و 19 | ب) 75 و 29 | ج) 75 و 48

💡 **تلميحة ذكية:** تذكر أن الباقي يجب أن يكون دائماً أصغر من القاسم (29). فكك العدد 48!

لدينا $a = 74 \times 29 + 48$
بما أن $48 = 1 \times 29 + 19$
إذن $a = 74 \times 29 + (1 \times 29 + 19)$
$a = (74 + 1) \times 29 + 19$
$a = 75 \times 29 + 19$
الإجابة الصحيحة هي **(أ)**: الخارج هو 75 والباقي هو 19.

(2) العدد الذي يقبل القسمة على 4 وباقي قسمته على 25 يساوي 6 هو:
أ) 32656 | ب) 265450 | ج) 326754

⚠️ **خطأ شائع:** لا تنسَ شرط القسمة على 25 (النظر إلى الآحاد والعشرات).

- يقبل العدد القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من آحاده وعشراته يقبل القسمة على 4.
- باقي قسمة عدد على 25 هو باقي قسمة العدد المكون من آحاده وعشراته على 25.
لنختبر 32656: الآحاد والعشرات 56.
$56 = 4 \times 14$ (يقبل القسمة على 4)
$56 = 25 \times 2 + 6$ (الباقي هو 6)
الإجابة الصحيحة هي **(أ)**.

تمرين عدد 2 (القسمة والقواسم)

(1) عوض النقط بالرقم المناسب ليكون $7.3..$ قابلاً للقسمة على 9 و 25 في آن واحد.

ليكن العدد $73xy$.
- ليكون قابلاً للقسمة على 25، يجب أن يكون $xy$ ينتمي إلى $\{00, 25, 50, 75\}$.
- ليكون قابلاً للقسمة على 9، يجب أن يكون مجموع أرقامه $7+3+x+y$ مضاعفاً لـ 9.
الحالات:
1) إذا كان $xy = 00$: المجموع $7+3+0+0 = 10$ (لا يقبل).
2) إذا كان $xy = 25$: المجموع $7+3+2+5 = 17$ (لا يقبل).
3) إذا كان $xy = 50$: المجموع $7+3+5+0 = 15$ (لا يقبل).
4) إذا كان $xy = 75$: المجموع $7+3+7+5 = 22$ (لا يقبل).
*(ملاحظة: إذا كان الرقم 73..00 أي 7300، الحلول تعتمد على عدد الخانات المتاحة).*
لنفرض العدد مكون من 5 أرقام $7x3y0$: (التصحيح حسب سياق التمرين النموذجي).

(2) حدد قواسم العدد 64.

$D_{64} = \{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64\}$

تمرين عدد 3 (القوى والتفكيك)

نعتبر $m = (5^2)^2 \times 75 \times 27$. فكك إلى جذاء عوامل أولية وبين أن $m = 5^6 \times 3^4$.

- لدينا $27 = 3^3$
- لدينا $75 = 3 \times 25 = 3 \times 5^2$
- لدينا $(5^2)^2 = 5^4$
إذن: $m = 5^4 \times (3 \times 5^2) \times 3^3$
$m = 5^{(4+2)} \times 3^{(1+3)}$
$m = 5^6 \times 3^4$

بين أن $m$ هو مربع لعدد صحيح طبيعي $\sqrt{m}$.

💡 **تلميحة ذكية:** لتجد المربع، اقسم الأسس على 2.

بما أن الأسس زوجية ($6$ و $4$)، يمكن كتابة $m$ على شكل مربع:
$m = (5^3 \times 3^2)^2$
إذن $\sqrt{m} = 5^3 \times 3^2 = 125 \times 9 = 1125$.

تمرين عدد 4 (الهندسة)

📐 **رسالة الهندسة:** لا تنسَ استعمال البركار والمسطرة بدقة. الموسط العمودي هو مفتاح الحل هنا!

ليكن المثلث $ABC$ حيث $AB=AC$ و $M$ منتصف $[BC]$.
(1) بين أن $(AM)$ هو الموسط العمودي لـ $[BC]$.

- بما أن $AB = AC$ فإن $A$ تبعد نفس البعد عن طرفي القطعة $[BC]$، إذن $A$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[BC]$.
- بما أن $M$ هي منتصف $[BC]$، فإن $M$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[BC]$.
- المستقيم المار من $A$ و $M$ هو الموسط العمودي لـ $[BC]$.
إذن $(AM)$ هو الموسط العمودي لـ $[BC]$.

(2) استنتج أن $[AM)$ هو منصف الزاوية $\widehat{BAC}$.

في مثلث متقايس الضلعين قمة رأسه $A$، الموسط العمودي للقاعدة $[BC]$ الصادر من $A$ هو نفسه منصف الزاوية $\widehat{BAC}$.
بما أن $(AM)$ هو الموسط العمودي، فهو المنصف.

🌟 **بعد التصحيح:** هل أتممت العمل؟ إن أخطأت، فلا تحزن، الخطأ هو أول خطوة في طريق التعلم. أعد المحاولة وستنجح حتماً!

الفرض التأليفي عدد 2 في الرياضيات