المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة

فرض تأليفي عدد 2 - رياضيات

التاسعة أساسي - مثال رقم 7 | إعداد الأستاذ: فوزي الغربي

التمرين رقم 1 (هندسة)

$ABCD$ مستطيل حيث $AB=8cm$ و $AD=4cm$. النقطة $M$ من $[AD]$ حيث $AM=1cm$. النقطة $N$ من $[CD]$ حيث $DN=2cm$.

  1. بين أن المثلث $MNB$ قائم في $N$.
  2. لتكن $K$ منتصف $[MB]$ و $I$ منتصف $[MN]$ و $J$ منتصف $[BN]$.
    أ) بين أن المثلث $IKJ$ قائم الزاوية.
    ب) بين أن $KN^2 = IB^2 + IC^2$.
  3. بين أن $IKJN$ مستطيل مركزه $O$.
  4. ابن النقطة $L$ من $[MJ]$ بحيث $\frac{ML}{4} = \frac{LJ}{2}$.
  5. أ) بين أن $G$ هو مركز ثقل المثلث $MBN$. ب) بين أن الرباعي $IKBJ$ متوازي أضلاع.
الإصلاح المفصل للتمرين 1

1) البرهان على أن $MNB$ قائم في $N$:
نحسب مربعات الأطوال باستخدام مبرهنة فيتاغورس في المثلثات القائمة الصغيرة:
- في المثلث $MDN$ القائم في $D$: $MD = AD - AM = 4 - 1 = 3$. إذن $MN^2 = MD^2 + DN^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.
- في المثلث $NCB$ القائم في $C$: $NC = DC - DN = 8 - 2 = 6$ و $CB = 4$. إذن $NB^2 = NC^2 + CB^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$.
- في المثلث $MAB$ القائم في $A$: $MB^2 = MA^2 + AB^2 = 1^2 + 8^2 = 1 + 64 = 65$.
بما أن $MN^2 + NB^2 = 13 + 52 = 65 = MB^2$، فحسب مبرهنة فيتاغورس العكسية، المثلث $MNB$ قائم في $N$.

2) أ- المثلث $IKJ$: $I, J, K$ هي منتصفات أضلاع المثلث القائم $MNB$. القطعة $[IK]$ تربط منتصفي $[MN]$ و $[MB]$ فهي توازي $(NB)$ وتساوي نصفه. وكذلك $[KJ]$ توازي $(MN)$ وتساوي نصفه. بما أن $(MN) \perp (NB)$ فإن $(KJ) \perp (IK)$. إذن المثلث $IKJ$ قائم في $K$.

التمرين رقم 2 (جبر)

نعتبر العبارة $E = x^2 + \sqrt{6}x - 3$ حيث $x$ عدد حقيقي.

  1. أحسب القيمة العددية لـ $E$ في حالة $x = \sqrt{3}$ وفي حالة $x = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$.
  2. بين أن $E + \frac{9}{2} = (x + \frac{\sqrt{6}}{2})^2$.
  3. استنتج تفكيكاً للعبارة $E$.
  4. $ABC$ مثلث قائم في $A$ ارتفاعه $[AH]$ حيث $AB = \sqrt{3}$ و $AC = \sqrt{6}$.
  5. بين أن $AH = \sqrt{2}$.
  6. لتكن $M$ نقطة من $[AC]$ و $K$ المسقط العمودي لـ $M$ على $(BC)$. نضع $AM = x$.
    أ) بين أن $MK = \sqrt{2} - \frac{x}{\sqrt{3}}$.
الإصلاح المفصل للتمرين 2

1) الحساب لـ $x = \sqrt{3}$:
$E = (\sqrt{3})^2 + \sqrt{6}(\sqrt{3}) - 3 = 3 + \sqrt{18} - 3 = 3\sqrt{2}$.

2) البرهان:
نشر الطرف الأيمن: $(x + \frac{\sqrt{6}}{2})^2 = x^2 + 2(x)(\frac{\sqrt{6}}{2}) + (\frac{\sqrt{6}}{2})^2 = x^2 + \sqrt{6}x + \frac{6}{4} = x^2 + \sqrt{6}x + \frac{3}{2}$.
بما أن $E = x^2 + \sqrt{6}x - 3$، فإن $E + \frac{9}{2} = x^2 + \sqrt{6}x - 3 + 4.5 = x^2 + \sqrt{6}x + 1.5$. (متطابقان).

3) التفكيك:
$E = (x + \frac{\sqrt{6}}{2})^2 - \frac{9}{2} = (x + \frac{\sqrt{6}}{2})^2 - (\frac{3}{\sqrt{2}})^2$.
باستخدام $a^2 - b^2$: $E = (x + \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2})(x + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2})$.

التمرين رقم 4 (جبر)

نعتبر العبارة $M = x^2 - x\sqrt{5} + 1$.

  1. بين أن $M = (x - \frac{\sqrt{5}-1}{2})(x - \frac{\sqrt{5}+1}{2})$.
  2. نعتبر العددين $a = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ و $b = \frac{8-(\sqrt{5}-1)^2}{2}$.
    أ) بين أن $a = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ و $b = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
  3. بين أن $a$ و $b$ مقلوبان.
  4. بين أن $2a - b(\sqrt{5}+3) = 0$.
الإصلاح المفصل للتمرين 4

1) التفكيك بالنشر العكسي:
لدينا $(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta$.
هنا $\alpha+\beta = \frac{\sqrt{5}-1 + \sqrt{5}+1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.
و $\alpha\beta = \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{5-1}{4} = 1$.
إذن التفكيك صحيح ويعطي العبارة $M$.

3) المقلوب: الجداء $a \times b = 1$ كما حسبنا في النقطة السابقة، إذن هما مقلوبان.

4) الحساب:
$b(\sqrt{5}+3) = \frac{\sqrt{5}-1}{2}(\sqrt{5}+3) = \frac{5 + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} - 3}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5}$.
بما أن $2a = 2(\frac{\sqrt{5}+1}{2}) = \sqrt{5} + 1$.
إذن $2a - b(\sqrt{5}+3) = (\sqrt{5}+1) - (\sqrt{5}+1) = 0$.

تمرين رقم 6 و 7 (مقارنة)

نعتبر العبارتين: $a = 5 - 2\sqrt{6}$ و $b = (2-\sqrt{3})(2-\sqrt{5})$.

  1. بين أن $a = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.
  2. اكتب العددين $\frac{-1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ و $\frac{-1}{\sqrt{5}+2}$ بدون راديكال في المقام.
  3. بين أن $a > b$.

تمرين 7: قارن $7\sqrt{3}$ و $11$ ثم استنتج علامة $a = 7\sqrt{3}-11$.

الإصلاح المفصل للمقارنة

تمرين 6 - 1: $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6} = a$.

تمرين 6 - 2 (نطق المقام):
$\frac{-1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = \sqrt{2}-\sqrt{3}$.
$\frac{-1}{\sqrt{5}+2} \times \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} = \frac{-(\sqrt{5}-2)}{5-4} = 2-\sqrt{5}$.

تمرين 7:
$(7\sqrt{3})^2 = 49 \times 3 = 147$.
$11^2 = 121$.
بما أن $147 > 121$ فإن $7\sqrt{3} > 11$، بالتالي $a = 7\sqrt{3}-11 > 0$ (موجب).

التمرين رقم 9 (هندسة استدلالية)

$ABC$ مثلث قائم في $A$ حيث $AB=6, AC=8, BC=10$. $I$ منتصف $[AB]$.

  1. ابن $M$ و $J$ من $[AC]$ حيث $\frac{AM}{2} = \frac{MJ}{1} = \frac{JC}{3}$.
  2. بين أن $J$ منتصف $[AC]$.
  3. بين أن $H$ (نقطة تقاطع $CI$ و $BJ$) هي مركز ثقل المثلث $ABC$.
  4. بين أن $O$ (نقطة تقاطع $AH$ و $BC$) هي منتصف $[BC]$.
الإصلاح المفصل للتمرين 9

1) حساب القطع: مجموع النسب $2+1+3 = 6$. طول $AC = 8$.
$AM = \frac{2}{6} \times 8 = \frac{8}{3}$.
$MJ = \frac{1}{6} \times 8 = \frac{4}{3}$.
$JC = \frac{3}{6} \times 8 = 4$.
بما أن $JC = 4$ و $AC = 8$، فإن $J$ هي منتصف $[AC]$ لأن $4 = 8/2$.

3) مركز الثقل: في المثلث $ABC$، لدينا $[CI]$ متوسط (لأن $I$ منتصف $AB$) و $[BJ]$ متوسط (لأن $J$ منتصف $AC$). نقطة تقاطع المتوسطات $H$ هي مركز الثقل.

4) المنتصف $O$: بما أن $H$ هو مركز الثقل، فإن المستقيم المار من القمة $A$ و $H$ هو بالضرورة المتوسط الثالث، إذن يقطع الضلع المقابل $BC$ في منتصفه $O$.