المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة
مثال رقم 8 | إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
يلي كل سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة. ضع علامة (X) أمام الإجابة الصحيحة:
| المقترح | إجابة 1 | إجابة 2 | إجابة 3 |
|---|---|---|---|
| (1) نتيجة العبارة $A = \frac{6^{-3} + 6^{-3} + 6^{-3}}{3^{-3} + 3^{-3} + 3^{-3}}$ هي: | $2^{-1}$ | $2^{-9}$ | $\frac{1}{8}$ |
| (2) إذا كان $a$ و $b$ حقيقيين حيث $a+b=8$ و $a \times b = 15$ فإن $a^2 + b^2$ تساوي: | $64$ | $79$ | $34$ |
| (3) العبارة $\frac{7^3 + \sqrt{7}^7}{(-\sqrt{7})^6}$ تساوي: | $\sqrt{7}^7$ | $1 + \sqrt{7}$ | $7^3 + \sqrt{7}$ |
| (4) $[EF]$ قطعة مستقيم و $O$ نقطة منها حيث $\frac{OE}{OF} = \frac{2}{3}$. إذن: | $OF = \frac{3}{2} EF$ | $OE = \frac{3}{5} EF$ | $OF = \frac{3}{5} EF$ |
(1) العبارة $A$:
$A = \frac{3 \times 6^{-3}}{3 \times 3^{-3}} = \frac{6^{-3}}{3^{-3}} = \left(\frac{6}{3}\right)^{-3} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
الإجابة الصحيحة هي إجابة 3.
(2) العبارة $a^2 + b^2$:
نعلم أن $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
إذن $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 8^2 - 2(15) = 64 - 30 = 34$.
الإجابة الصحيحة هي إجابة 3.
(3) العبارة الثالثة:
المقام $(-\sqrt{7})^6 = (\sqrt{7})^6 = ((\sqrt{7})^2)^3 = 7^3$.
البسط $7^3 + \sqrt{7}^7 = 7^3 + \sqrt{7}^6 \times \sqrt{7} = 7^3 + 7^3 \times \sqrt{7} = 7^3(1 + \sqrt{7})$.
الكسر يصبح: $\frac{7^3(1 + \sqrt{7})}{7^3} = 1 + \sqrt{7}$.
الإجابة الصحيحة هي إجابة 2.
(4) التناسب:
بما أن $O \in [EF]$ فإن $EF = OE + OF$.
لدينا $\frac{OE}{OF} = \frac{2}{3} \Rightarrow OE = \frac{2}{3} OF$.
إذن $EF = \frac{2}{3} OF + OF = \frac{5}{3} OF \Rightarrow OF = \frac{3}{5} EF$.
الإجابة الصحيحة هي إجابة 3.
1) أحسب ما يلي:
2) اختصر العبارة التالية:
حساب $a$:
$a = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{3} \times \frac{3^3}{2^3} = \frac{3^2}{2^2} \times \frac{2^3}{3^3} \times \frac{3^3}{2^3} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
حساب $b$:
$b = (-\sqrt{2})^6 \times 2^2 = (2)^{3} \times 4 = 8 \times 4 = 32$.
اختصار $A$:
$(\frac{1}{10})^{-3} = 10^3$. البسط $= 10^3 \cdot 10^5 = 10^8$.
المقام: $(\frac{1}{10000})^{41} = (10^{-4})^{41} = 10^{-164}$ و $(100)^{-5} = (10^2)^{-5} = 10^{-10}$.
إذن $A = \frac{10^8}{10^{-174}} = 10^{182}$.
1) البرهان:
نلاحظ أن $255 = 2^8 - 1$.
إذن العبارة تصبح: $(2^8 - 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$.
باستعمال الجداء المعتبر $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(2^8 - 1)(2^8 + 1) = 2^{16} - 1$.
$(2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1$.
$(2^{32} - 1)(2^{32} + 1) = 2^{64} - 1$. (وهو المطلوب).
2) التبسيط:
البسط: $25^{n+1} + 25^n = 25^n(25 + 1) = 26 \times 25^n = 26 \times (5^2)^n = 26 \times 5^{2n}$.
المقام: $5^{2n+1} - 5^{2n} = 5^{2n}(5 - 1) = 4 \times 5^{2n}$.
الكسر: $\frac{26 \times 5^{2n}}{4 \times 5^{2n}} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}$.
نعتبر الأعداد الحقيقية: $a = (2\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)$ و $c = (1-2\sqrt{3})^2$.
1) النشر:
$a = 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} - 2\sqrt{3} \times 1 - 1 \times \sqrt{3} + 1 = 6 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = 7 - 3\sqrt{3}$.
$c = (1)^2 - 2(1)(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = 1 - 4\sqrt{3} + 12 = 13 - 4\sqrt{3}$.
2) حساب $b$:
بما أن $13-4\sqrt{3} = (1-2\sqrt{3})^2$، فإن $\sqrt{13-4\sqrt{3}} = |1-2\sqrt{3}|$.
بما أن $1 < 2\sqrt{3}$ فإن $|1-2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3} - 1$.
إذن $b = 2 - (2\sqrt{3} - 1) = 2 - 2\sqrt{3} + 1 = 3 - 2\sqrt{3}$.
3) المقارنة: ندرس إشارة $a - b$.
$a - b = (7 - 3\sqrt{3}) - (3 - 2\sqrt{3}) = 4 - \sqrt{3}$.
بما أن $4 = \sqrt{16}$ و $\sqrt{16} > \sqrt{3}$ فإن $a - b > 0 \Rightarrow a > b$.
$ABCD$ شبه منحرف قاعدتاه $[AB]$ و $[CD]$ حيث $AB=2$ و $CD=5$ و $AD=4$.
1) النقطة $K$ تبعد عن $A$ مسافة $\frac{4}{3} \approx 1.33$ سم.
2) نظرية طاليس: في المثلث $ABC$ (أو عبر الخطوط المتوازية في شبه المنحرف)، بما أن الخطوط $(AB)$ و $(KP)$ و $(DC)$ متوازية، فإن النسب على الأضلاع القاطعة متساوية:
$\frac{AK}{AD} = \frac{BP}{BC} = \frac{1}{3}$.
3) المثلثان $KAB$ و $KDF$:
بما أن $(AB) // (DF)$ فإن المثلثين $KAB$ و $KDF$ في وضعية طاليس (فراشة).
لدينا $KD = AD - AK = AD - \frac{1}{3}AD = \frac{2}{3}AD$.
إذن $\frac{KF}{KB} = \frac{KD}{KA} = \frac{2/3 AD}{1/3 AD} = 2$.
وكذلك $\frac{FD}{AB} = \frac{KD}{KA} = 2 \Rightarrow FD = 2 \times AB = 2 \times 2 = 4$.