المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة

فرض تأليفي عدد 2 - رياضيات

تاسعة أساسي - مثال رقم 6 | إعداد الأستاذ: فوزي الغربي

تمرين 1 (هندسة)

وحدة قيس الأطوال هي الصنتمتر.

  1. ابن دائرة $(\zeta)$ مركزها النقطة $O$ وقطرها $AB=8$. عين عليها النقطة $C$ حيث $BC=4$ ثم ابن النقطة $H$ المسقط العمودي لـ $C$ على $(AB)$.
    أ- بين أن المثلث $OBC$ متقايس الأضلاع.
    ب- بين أن $AH=6$ و $CH=2\sqrt{3}$.
    ج- برهن أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$.
  2. استنتج أن $AC = 4\sqrt{3}$.
  3. المستقيم المار من $B$ والعمودي على $(AB)$ يقطع $(AC)$ في $D$.
    أ- بين أن المستقيم $(BD)$ موازي للمستقيم $(CH)$.
    ب- احسب $BD$ و $AD$.
  4. أ- لتكن النقطة $E$ مناظرة النقطة $B$ بالنسبة لـ $C$. بين أن المثلث $OEB$ قائم.
    ب- المستقيم $(OE)$ يقطع المستقيم $(AC)$ في $G$. بين أن $G$ هي مركز ثقل المثلث $ABE$.
الإصلاح المفصل للتمرين 1

1) أ- المثلث $OBC$: بما أن $AB=8$ قطر، فإن الشعاع $OB = OC = 4$. وبما أن المعطى $BC=4$، فإن $OB=OC=BC=4$، إذن المثلث متقايس الأضلاع.

ب- حساب $AH$ و $CH$: في المثلث المتقايس الأضلاع $OBC$، الارتفاع $[CH]$ يقطع الضلع $[OB]$ في منتصفه. إذن $OH = OB/2 = 2$.
بالتالي: $AH = AO + OH = 4 + 2 = 6$.
باستخدام فيتاغورس في $OHC$: $CH^2 = OC^2 - OH^2 = 4^2 - 2^2 = 12 \Rightarrow CH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

ج- المثلث $ABC$: بما أن $C$ تنتمي للدائرة التي قطرها $[AB]$، فإن المثلث $ABC$ قائم في $C$.

3) أ- التوازي: لدينا $(BD) \perp (AB)$ و $(CH) \perp (AB)$، إذن $(BD) // (CH)$.

ب- حساب $BD$: بتطبيق طاليس في المثلث $ABD$ حيث $(CH) // (BD)$:
$\frac{AH}{AB} = \frac{CH}{BD} \Rightarrow \frac{6}{8} = \frac{2\sqrt{3}}{BD} \Rightarrow BD = \frac{16\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$.

تمرين 2 (هندسة)

نعتبر مثلثاً $ABC$ قائماً في $A$ حيث $AB=3$ و $AC=4$. النقطة $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(BC)$.

  1. احسب $BC$ و $AH$ و $BH$.
  2. عين النقطة $I$ على $[BA)$ حيث $BI=6$. المستقيم العمودي على $(AI)$ في $I$ يقطع $(BC)$ في $J$. بين أن $IJ=8$.
  3. بين أن $C$ منتصف $[BJ]$.
  4. لتكن $K$ منتصف $[IJ]$. بين أن $ABCK$ متوازي أضلاع.
الإصلاح المفصل للتمرين 2

1) الحسابات:
- $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
- المساحة $= \frac{AB \times AC}{2} = \frac{BC \times AH}{2} \Rightarrow \frac{3 \times 4}{2} = \frac{5 \times AH}{2} \Rightarrow AH = 2.4$.
- $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{9 - 5.76} = \sqrt{3.24} = 1.8$.

2) حساب $IJ$: المثلثان $ABC$ و $IBJ$ قائمان ويشتركان في الزاوية $\hat{B}$. إذن هما متشابهان.
$\frac{BA}{BI} = \frac{AC}{IJ} \Rightarrow \frac{3}{6} = \frac{4}{IJ} \Rightarrow IJ = 8$.

تمرين 3 (جبر)

1) نعتبر العبارتين: $A = 4x^2 - 12x + 5$ و $B = 4x^2 - 4x + 1$ (حيث $x$ عدد حقيقي).

  1. احسب $A$ إذا علمت أن $x = -1/2$.
  2. أ- بين أن $A = (2x-3)^2 - 4$. ب- استنتج تفكيك $A$ إلى جذاء عوامل.
  3. أ- فكك $B$ إلى جذاء عوامل. ب- بين أن $A+B = 2(2x-1)(2x-3)$.

2) نعتبر $a = 11 - 4\sqrt{7}$ و $b = 8 + 2\sqrt{7}$.

  1. اكتب $a$ و $b$ في صيغة جذاءات معتبرة. استنتج أن $\sqrt{b} - \sqrt{a} = 3$.
  2. قارن $2\sqrt{5}$ و $3\sqrt{2}$.
الإصلاح المفصل للتمرين 3

1) حساب $A$: لـ $x = -1/2$:
$A = 4(-1/2)^2 - 12(-1/2) + 5 = 4(1/4) + 6 + 5 = 1 + 6 + 5 = 12$.

2) أ- البرهان: $(2x-3)^2 - 4 = 4x^2 - 12x + 9 - 4 = 4x^2 - 12x + 5 = A$.
ب- التفكيك: $A = (2x-3)^2 - 2^2 = (2x-3-2)(2x-3+2) = (2x-5)(2x-1)$.

3) أ- تفكيك $B$: $B = (2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2 = (2x-1)^2$.

الجزء الثاني (الجذور):
$b = 8+2\sqrt{7} = 7 + 2\sqrt{7} + 1 = (\sqrt{7}+1)^2 \Rightarrow \sqrt{b} = \sqrt{7}+1$.
$a = 11-4\sqrt{7} = 7 - 4\sqrt{7} + 4 = (\sqrt{7}-2)^2 \Rightarrow \sqrt{a} = |\sqrt{7}-2| = \sqrt{7}-2$.
إذن $\sqrt{b} - \sqrt{a} = (\sqrt{7}+1) - (\sqrt{7}-2) = 1 + 2 = 3$.

تمرين 4 (لغز اللغز - Puzzle)

مستطيل مجزأ إلى ثلاثة أجزاء $(a), (b), (c)$.

  1. علماً بأن مساحة المثلث $MEG$ تساوي $6 cm^2$. بين أن $ME = 4 cm$.
  2. احسب $MQ$.
الإصلاح المفصل للتمرين 4

1) حساب $ME$: مساحة المثلث القائم $MEG = \frac{ME \times EG}{2}$.
حسب الرسم، $EG = 3 cm$. إذن: $6 = \frac{ME \times 3}{2} \Rightarrow 12 = 3 \times ME \Rightarrow ME = 4 cm$.

2) حساب $MQ$: من خلال الرسم والمعطيات، $MQ$ يمثل عرض المستطيل. إذا كانت الأطوال الكلية هي $12 cm$ (القاعدة)، نستخدم تشابه المثلثات أو النسب المعطاة في الرسم لاستخراج الارتفاع الكلي.

تمرين 1 (هندسة)

وحدة قيس الأطوال هي الصنتمتر.

  1. ابن دائرة $(\zeta)$ مركزها النقطة $O$ وقطرها $AB=8$. عين عليها النقطة $C$ حيث $BC=4$ ثم ابن النقطة $H$ المسقط العمودي لـ $C$ على $(AB)$.
    أ- بين أن المثلث $OBC$ متقايس الأضلاع.
    ب- بين أن $AH=6$ و $CH=2\sqrt{3}$.
    ج- برهن أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$.
  2. استنتج أن $AC = 4\sqrt{3}$.
  3. المستقيم المار من $B$ والعمودي على $(AB)$ يقطع $(AC)$ في $D$.
    أ- بين أن المستقيم $(BD)$ موازي للمستقيم $(CH)$.
    ب- احسب $BD$ و $AD$.
  4. أ- لتكن النقطة $E$ مناظرة النقطة $B$ بالنسبة لـ $C$. بين أن المثلث $OEB$ قائم.
    ب- المستقيم $(OE)$ يقطع المستقيم $(AC)$ في $G$. بين أن $G$ هي مركز ثقل المثلث $ABE$.
الإصلاح المفصل للتمرين 1

1) أ- المثلث $OBC$: بما أن $AB=8$ قطر، فإن الشعاع $OB = OC = 4$. وبما أن المعطى $BC=4$، فإن $OB=OC=BC=4$، إذن المثلث متقايس الأضلاع.

ب- حساب $AH$ و $CH$: في المثلث المتقايس الأضلاع $OBC$، الارتفاع $[CH]$ يقطع الضلع $[OB]$ في منتصفه. إذن $OH = OB/2 = 2$.
بالتالي: $AH = AO + OH = 4 + 2 = 6$.
باستخدام فيتاغورس في $OHC$: $CH^2 = OC^2 - OH^2 = 4^2 - 2^2 = 12 \Rightarrow CH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

ج- المثلث $ABC$: بما أن $C$ تنتمي للدائرة التي قطرها $[AB]$، فإن المثلث $ABC$ قائم في $C$.

3) أ- التوازي: لدينا $(BD) \perp (AB)$ و $(CH) \perp (AB)$، إذن $(BD) // (CH)$.

ب- حساب $BD$: بتطبيق طاليس في المثلث $ABD$ حيث $(CH) // (BD)$:
$\frac{AH}{AB} = \frac{CH}{BD} \Rightarrow \frac{6}{8} = \frac{2\sqrt{3}}{BD} \Rightarrow BD = \frac{16\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$.

تمرين 2 (هندسة)

نعتبر مثلثاً $ABC$ قائماً في $A$ حيث $AB=3$ و $AC=4$. النقطة $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(BC)$.

  1. احسب $BC$ و $AH$ و $BH$.
  2. عين النقطة $I$ على $[BA)$ حيث $BI=6$. المستقيم العمودي على $(AI)$ في $I$ يقطع $(BC)$ في $J$. بين أن $IJ=8$.
  3. بين أن $C$ منتصف $[BJ]$.
  4. لتكن $K$ منتصف $[IJ]$. بين أن $ABCK$ متوازي أضلاع.
الإصلاح المفصل للتمرين 2

1) الحسابات:
- $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
- المساحة $= \frac{AB \times AC}{2} = \frac{BC \times AH}{2} \Rightarrow \frac{3 \times 4}{2} = \frac{5 \times AH}{2} \Rightarrow AH = 2.4$.
- $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{9 - 5.76} = \sqrt{3.24} = 1.8$.

2) حساب $IJ$: المثلثان $ABC$ و $IBJ$ قائمان ويشتركان في الزاوية $\hat{B}$. إذن هما متشابهان.
$\frac{BA}{BI} = \frac{AC}{IJ} \Rightarrow \frac{3}{6} = \frac{4}{IJ} \Rightarrow IJ = 8$.

تمرين 3 (جبر)

1) نعتبر العبارتين: $A = 4x^2 - 12x + 5$ و $B = 4x^2 - 4x + 1$ (حيث $x$ عدد حقيقي).

  1. احسب $A$ إذا علمت أن $x = -1/2$.
  2. أ- بين أن $A = (2x-3)^2 - 4$. ب- استنتج تفكيك $A$ إلى جذاء عوامل.
  3. أ- فكك $B$ إلى جذاء عوامل. ب- بين أن $A+B = 2(2x-1)(2x-3)$.

2) نعتبر $a = 11 - 4\sqrt{7}$ و $b = 8 + 2\sqrt{7}$.

  1. اكتب $a$ و $b$ في صيغة جذاءات معتبرة. استنتج أن $\sqrt{b} - \sqrt{a} = 3$.
  2. قارن $2\sqrt{5}$ و $3\sqrt{2}$.
الإصلاح المفصل للتمرين 3

1) حساب $A$: لـ $x = -1/2$:
$A = 4(-1/2)^2 - 12(-1/2) + 5 = 4(1/4) + 6 + 5 = 1 + 6 + 5 = 12$.

2) أ- البرهان: $(2x-3)^2 - 4 = 4x^2 - 12x + 9 - 4 = 4x^2 - 12x + 5 = A$.
ب- التفكيك: $A = (2x-3)^2 - 2^2 = (2x-3-2)(2x-3+2) = (2x-5)(2x-1)$.

3) أ- تفكيك $B$: $B = (2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2 = (2x-1)^2$.

الجزء الثاني (الجذور):
$b = 8+2\sqrt{7} = 7 + 2\sqrt{7} + 1 = (\sqrt{7}+1)^2 \Rightarrow \sqrt{b} = \sqrt{7}+1$.
$a = 11-4\sqrt{7} = 7 - 4\sqrt{7} + 4 = (\sqrt{7}-2)^2 \Rightarrow \sqrt{a} = |\sqrt{7}-2| = \sqrt{7}-2$.
إذن $\sqrt{b} - \sqrt{a} = (\sqrt{7}+1) - (\sqrt{7}-2) = 1 + 2 = 3$.

تمرين 4 (لغز اللغز - Puzzle)

مستطيل مجزأ إلى ثلاثة أجزاء $(a), (b), (c)$.

  1. علماً بأن مساحة المثلث $MEG$ تساوي $6 cm^2$. بين أن $ME = 4 cm$.
  2. احسب $MQ$.
الإصلاح المفصل للتمرين 4

1) حساب $ME$: مساحة المثلث القائم $MEG = \frac{ME \times EG}{2}$.
حسب الرسم، $EG = 3 cm$. إذن: $6 = \frac{ME \times 3}{2} \Rightarrow 12 = 3 \times ME \Rightarrow ME = 4 cm$.

2) حساب $MQ$: من خلال الرسم والمعطيات، $MQ$ يمثل عرض المستطيل. إذا كانت الأطوال الكلية هي $12 cm$ (القاعدة)، نستخدم تشابه المثلثات أو النسب المعطاة في الرسم لاستخراج الارتفاع الكلي.