| السؤال |
المقترح 1 |
المقترح 2 |
المقترح 3 |
| نتيجة $5 - |2\sqrt{7} - 5|$ هي: |
$2\sqrt{7}$ |
$10 - 2\sqrt{7}$ |
$2\sqrt{7} - 10$ |
$2\sqrt{7} = \sqrt{28}$ و $5 = \sqrt{25}$. بما أن $2\sqrt{7} > 5$ فإن $|2\sqrt{7} - 5| = 2\sqrt{7} - 5$.
إذن: $5 - (2\sqrt{7} - 5) = 5 - 2\sqrt{7} + 5 = 10 - 2\sqrt{7}$.
نعتبر $E = x^2 - 6x + 5$. بيّن أن $(x-3)^2 = E + 4$ ثم فكك $E$.
$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 = (x^2 - 6x + 5) + 4 = E + 4$.
تفكيك $E$: $E = (x-3)^2 - 4 = (x-3-2)(x-3+2) = (x-5)(x-1)$.
نعتبر $A = 4x^2 - 12x + 5$ و $B = 4x^2 - 4x + 1$. فكك $A$ و $B$ ثم استنتج $A+B=0$.
$B = (2x-1)^2$.
$A = (2x-3)^2 - 4 = (2x-5)(2x-1)$.
$A+B = (2x-1)[(2x-5) + (2x-1)] = 2(2x-1)(2x-3)$.
إذا كان $A$ و $B$ متقابلان فإن $A+B=0$ أي $x = \frac{1}{2}$ أو $x = \frac{3}{2}$.
قارن $a = 11 - 4\sqrt{7}$ و $b = 8 + 2\sqrt{7}$.
$a = (\sqrt{7}-2)^2 = 7 - 4\sqrt{7} + 4 = 11 - 4\sqrt{7}$.
$b = (\sqrt{7}+1)^2 = 7 + 2\sqrt{7} + 1 = 8 + 2\sqrt{7}$.
بما أن $\sqrt{7}-2 < \sqrt{7}+1$ فإن $a < b$.
ليكن $ABC$ مثلثاً حيث $AB=4$ و $AC=6$. $M$ نقطة من $[AB]$ حيث $AM=3$. المستقيم المار من $M$ والموازي لـ $(BC)$ يقطع $(AC)$ في $N$.
(1) احسب $AN$.
1- في المثلث $ABC$ لدينا $M \in (AB)$ و $N \in (AC)$.
2- بما أن المستقيم $(MN) // (BC)$.
3- حسب مبرهنة طاليس: $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$.
بالتالي: $\frac{3}{4} = \frac{AN}{6} \Rightarrow AN = \frac{3 \times 6}{4} = 4.5$.
(2) لتكن $I$ منتصف $[BC]$ و $(AI)$ يقطع $(MN)$ في $J$. بيّن أن $J$ منتصف $[MN]$.
في المثلث $ABI$ لدينا $(MJ) // (BI)$ إذن $\frac{MJ}{BI} = \frac{AM}{AB}$.
في المثلث $ACI$ لدينا $(JN) // (CI)$ إذن $\frac{JN}{CI} = \frac{AN}{AC}$.
بما أن $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ فإن $\frac{MJ}{BI} = \frac{JN}{CI}$.
وحيث أن $BI = CI$ فإن $MJ = JN$. إذن $J$ منتصف $[MN]$.