فرض تأليفي عدد 2 - التاسعة أساسي

التمرين رقم 1: الحساب في IR وقواعد القوى

(1) أحسب العبارات التالية:

\(X = \sqrt{5}(\frac{1}{\sqrt{5}} + \sqrt{5})\)
\(Y = (\frac{5}{2})^{32} + 2 \times (\frac{5}{3})^{-3} \times 3^{-1} - 5^2\)
\(I = (2\sqrt{3}^{-1} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2\)
\(A = [(-\sqrt{2})^{-3}]^2 \times (\frac{1}{2})^{-2}\)
\(B = (\frac{1}{3})^{-3} \times \frac{1}{9} \times [(\frac{-3}{2})^{-2} + \frac{5}{9}]\)

\(X = \sqrt{5} \times \frac{1}{\sqrt{5}} + \sqrt{5} \times \sqrt{5}\)
\(X = 1 + 5\)
\(X = 6\)
---
في \(A\): نطبق قاعدة \((a^n)^m = a^{n \times m}\)
\(A = (-\sqrt{2})^{-6} \times 2^2\)
\(A = ((\sqrt{2})^2)^{-3} \times 4\)
\(A = 2^{-3} \times 2^2 = 2^{-1} = 0.5\)

(2) أكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:

\(C = \frac{7 \times (49)^{-3} \times 14^2}{7^2 \times 2^3}\)
\(D = \frac{(0.01)^2 \times (\frac{1}{10})^{-3} \times 2^2}{5^{-2} \times 10^5}\)

\(C = \frac{7^1 \times (7^2)^{-3} \times (7 \times 2)^2}{7^2 \times 2^3}\)
\(C = \frac{7^1 \times 7^{-6} \times 7^2 \times 2^2}{7^2 \times 2^3}\)
\(C = \frac{7^{-3} \times 2^2}{7^2 \times 2^3} = 7^{-5} \times 2^{-1}\)

(3) أ/ اختصر العبارة \(E\) التالية حيث \(a\) و \(b\) عددان حقيقيان مخالفان للصفر:

\(E = \frac{(a^{-1}b)^3 a b^{-2}}{a^3 b (a^{-2}b^{-1})^2}\)

ب/ احسب \(E\) إذا علمت أن \(a = \sqrt{20}\) و \(b = \sqrt{5}\)

\(E = \frac{a^{-3} b^3 a^1 b^{-2}}{a^3 b^1 a^{-4} b^{-2}}\)
\(E = \frac{a^{-2} b^1}{a^{-1} b^{-1}}\)
\(E = a^{-2+1} b^{1+1} = a^{-1} b^2 = \frac{b^2}{a}\)
عند تعويض القيم: \(E = \frac{(\sqrt{5})^2}{\sqrt{20}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\)

التمرين رقم 2: الأعداد الحقيقية والمقارنة

نعتبر العددين الحقيقيين: \(a = (1+\sqrt{2})^2\) و \(b = \sqrt{(3\sqrt{2}-5)^2} - (1-\sqrt{2})(2\sqrt{2}+3) - \sqrt{9}\)

(1) بين أن \(a = 3 + 2\sqrt{2}\)

\(a = 1^2 + 2(1)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2\)
\(a = 1 + 2\sqrt{2} + 2\)
\(a = 3 + 2\sqrt{2}\)

(2) أ/ بين أن \(b = 3 - 2\sqrt{2}\) (لاحظ أن \(3\sqrt{2} < 5\))
ب/ بين أن \(b\) موجب.
ج/ بين أن \(a\) و \(b\) مقلوبان.
د/ استنتج ترتيباً لـ \(a\) و \(b\) و \(1\).

بما أن \(3\sqrt{2} = \sqrt{18}\) و \(5 = \sqrt{25}\) فإن \(3\sqrt{2} - 5 < 0\)
إذن \(\sqrt{(3\sqrt{2}-5)^2} = |3\sqrt{2}-5| = 5 - 3\sqrt{2}\)
بعد النشر والاختصار نجد \(b = 3 - 2\sqrt{2}\)
\(a \times b = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1\)
إذن \(a\) و \(b\) مقلوبان.

(3) قارن \(3\) و \(\frac{7a + 2b}{3}\)

(4) قارن العددين: \(\frac{3}{-a^2-5}-7\sqrt{2}+3\) و \(\frac{-3}{b^2+2}-3\sqrt{11}+2\)

التمرين رقم 3: مبرهنة طاليس

ليكن \(ABC\) مثلثاً و \(D\) نقطة من \([AB]\) تختلف عن \(A\) و \(B\).

(1) أرسم المستقيم المار من \(D\) والموازي لـ \((BC)\) حيث يقطع \((AC)\) في \(E\). بين أن \(\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{EC}\)

1- لدينا في المثلث \(ABC\): النقطة \(D \in (AB)\) والنقطة \(E \in (AC)\).
2- بما أن المستقيم \((DE) // (BC)\).
3- حسب مبرهنة طاليس فإن: \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\).

(2) عين على نصف المستقيم \([EC)\) النقطة \(F\) حيث \(CF=DB\) و \(F \notin [AC]\).
لتكن \(M\) نقطة تقاطع \((DF)\) و \((BC)\). بين أن \(\frac{MF}{MD} = \frac{CF}{CE}\).

(3) استنتج أن \(\frac{AB}{AC} = \frac{MF}{MD}\)

(4) إذا كان \(AD=3\)، \(AB=5\)، \(AC=5\). أحسب \(AE\) و \(DE\) و \(DM\).

التمرين رقم 4: الدائرة والهندسة

(1) أ- أرسم دائرة مركزها \(O\) وقطرها \([AB]\) حيث \(AB=8cm\). الموسط العمودي لـ \([AO]\) يقطعها في \(H\) ويقطع الدائرة في \(D\).
ب- بين أن \(DH = 2\sqrt{3}\).
ج- أحسب \(DB\) ثم استنتج أن \(DIH\) مثلث متقايس الأضلاع (حيث \(I\) منتصف \([BD]\)).

(2) المستقيم الموازي لـ \((AB)\) والمار من \(D\) يقطع \((AI)\) في \(E\). بين أن الرباعي \(ABED\) متوازي أضلاع.

(3) المماس للدائرة في \(B\) يقطع \((DE)\) في \(M\). بين أن \(HM = 4\sqrt{3}\).

(4) عين النقطة \(N\) على \([DM)\) بحيث \(DN = \frac{3}{2} DM\). أثبت أن \(M\) مركز ثقل المثلث \(DBK\) (حيث \(K\) مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \(N\)).

المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة