Page 5: Positions relatives d'une droite et d'un cercle
المستقيم والدائرة - النوع 5
الوضعيات النسبية لمستقيم ودائرة
النوع 5: تقاطع، مماس، خارجي
📐 دائرة (C) مركزها O ونصف قطرها r، مستقيم (d)، المسافة من O إلى (d) هي h:
• إذا كان h < r: المستقيم قاطع (نقطتا تقاطع)
• إذا كان h = r: المستقيم مماس (نقطة تقاطع واحدة)
• إذا كان h > r: المستقيم خارجي (لا تقاطع)
⭐ المستوى السهل - Easy▼
التمرين 1:
دائرة (C) نصف قطرها r = 5 cm. المسافة من مركز الدائرة إلى المستقيم (d) تساوي 3 cm.
ما هو وضع (d) بالنسبة للدائرة (C)؟
قاطع
مماس
خارجي
لا يمكن التحديد
تلميح: قارن المسافة h = 3 cm مع نصف القطر r = 5 cm
الشرح:
h = 3 cm < r = 5 cm
إذن المستقيم (d) قاطع للدائرة (C)
التمرين 2:
دائرة نصف قطرها 4 cm. المسافة من مركزها إلى مستقيم (L) تساوي 4 cm.
كم عدد نقاط تقاطع (L) مع الدائرة؟
0
1
2
∞
تلميح: h = r، ماذا يعني هذا؟
الشرح:
h = 4 cm = r = 4 cm
إذن (L) مماس للدائرة
عدد نقاط التقاطع = 1
التمرين 3:
دائرة (C) مركزها O ونصف قطرها 6 cm. (d) مستقيم يبعد 8 cm عن O.
ما هو وضع (d) بالنسبة لـ (C)؟
قاطع
مماس
خارجي
يمر من المركز
تلميح: h = 8 cm و r = 6 cm، قارن بينهما
الشرح:
h = 8 cm > r = 6 cm
إذن المستقيم (d) خارجي (لا يقطع الدائرة)
التمرين 4:
مستقيم (T) مماس لدائرة نصف قطرها 10 cm.
ما هي المسافة من مركز الدائرة إلى (T)؟
5 cm
0 cm
10 cm
20 cm
تلميح: المستقيم المماس يحقق h = r
الشرح:
(T) مماس للدائرة ⟹ h = r = 10 cm
⭐⭐ المستوى المتوسط - Medium▼
التمرين 1:
دائرة (C) مركزها O ونصف قطرها r = 7 cm. (d) مستقيم قاطع للدائرة في A و B.
AB = 10 cm. ما هي المسافة من O إلى (d)؟
5 cm
√24 cm
2√6 cm
7 cm
تلميح: H الإسقاط العمودي لـ O على (d) هو منتصف [AB].
AH = 5 cm، OA = 7 cm، استخدم فيثاغورس في المثلث OAH
الشرح:
H منتصف AB ⟹ AH = 5 cm
في المثلث OAH القائم في H:
OH² + AH² = OA²
OH² + 25 = 49
OH² = 24
OH = √24 = 2√6 cm
التمرين 2:
دائرة نصف قطرها 13 cm. مستقيم يبعد 5 cm عن مركز الدائرة.
ما هو طول الوتر المحدد بنقطتي التقاطع؟
الشرح:
في المثلث القائم:
13² = 5² + (AB/2)²
169 = 25 + (AB/2)²
(AB/2)² = 144
AB/2 = 12
AB = 24 cm
التمرين 3:
دائرة (C) مركزها O ونصف قطرها 5 cm. (T) مماس للدائرة في النقطة A.
ما العلاقة بين (OA) و (T)؟
(OA) // (T)
(OA) ⊥ (T)
(OA) و (T) متطابقان
لا علاقة محددة
تلميح: خاصية المماس: نصف القطر عمودي على المماس في نقطة التماس
الشرح:
خاصية أساسية: المماس عمودي على نصف القطر في نقطة التماس
إذن (OA) ⊥ (T)
التمرين 4:
دائرة نصف قطرها r. مستقيم يقطع الدائرة بحيث طول الوتر يساوي قطر الدائرة.
ما هي المسافة من مركز الدائرة إلى المستقيم؟
0
r/2
r
2r
تلميح: طول الوتر = القطر يعني أن الوتر يمر من المركز
الشرح:
إذا كان طول الوتر = القطر = 2r،
فالوتر يمر من المركز O.
إذن المسافة من O إلى المستقيم = 0
⭐⭐⭐ المستوى الاحترافي - Pro▼
التمرين 1:
من نقطة M خارج دائرة (C) نصف قطرها r، نرسم مماسين (MA) و (MB) حيث A و B نقطتا التماس.
إذا كان OM = 2r، فما قياس الزاوية ∠AMB؟
30°
60°
120°
90°
تلميح: في المثلث OAM القائم في A:
sin(∠AOM) = OA/OM = r/(2r) = 1/2
∠AOM = 30°
الشرح:
OA ⊥ MA و OB ⊥ MB (خاصية المماس)
في المثلث OAM: sin(∠AOM) = r/(2r) = 1/2
∠AOM = 30°
بالتماثل: ∠BOM = 30°
في الرباعي OAMB: مجموع الزوايا = 360°
∠AMB = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°
التمرين 2:
دائرتان (C₁) و (C₂) نصفا قطريهما r₁ = 5 cm و r₂ = 3 cm، المسافة بين مركزيهما O₁O₂ = 8 cm.
مستقيم (d) مماس مشترك خارجي للدائرتين. ما هي المسافة من O₁ إلى (d)؟
3 cm
5 cm
8 cm
4 cm
تلميح: المماس المشترك الخارجي يبعد مسافة r₁ من O₁ و r₂ من O₂
الشرح:
المماس المشترك الخارجي يبعد:
- مسافة r₁ = 5 cm من O₁
- مسافة r₂ = 3 cm من O₂
التمرين 3:
دائرة (C) نصف قطرها r = 10 cm. مستقيم (d) يقطع الدائرة في A و B بحيث AB = 16 cm.
نقطة M على (d) خارج الدائرة بحيث MA = 4 cm. احسب MO.
10 cm
2√34 cm
12 cm
14 cm
تلميح: أولاً أوجد OH حيث H منتصف AB:
OH² + 8² = 10² ⟹ OH = 6 cm
ثم HM = 4 + 8 = 12 cm
استخدم فيثاغورس في المثلث OHM
الشرح:
H منتصف AB ⟹ AH = 8 cm
OH² + 64 = 100 ⟹ OH = 6 cm
HM = HA + AM = 8 + 4 = 12 cm
في المثلث OHM:
MO² = OH² + HM²
MO² = 36 + 144 = 180
MO = √180 = 6√5 ≈ 13.4 cm ≈ 2√34 cm
التمرين 4:
دائرة (C) مركزها O ونصف قطرها 6 cm. مستقيم (d) متغير المسافة h من O.
لأي قيم h يكون للمستقيم نقطتا تقاطع بالضبط مع الدائرة؟
h = 6
0 ≤ h < 6
h > 6
h ≤ 6
تلميح: المستقيم قاطع ⟺ h < r
الشرح:
للحصول على نقطتي تقاطع بالضبط:
المستقيم يجب أن يكون قاطعاً
الشرط: h < r = 6 cm
مع h ≥ 0 (المسافة دائماً موجبة)
إذن: 0 ≤ h < 6