القوى في مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ

خطوة 1: نطبق \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) \[a = \left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)^2 = (\sqrt{3})^2\] خطوة 2: نحسب \[a = 3\]

الجزء الأول: \(\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}\) \[\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\] الجزء الثاني: \((\sqrt{3})^{-4}\) \[(\sqrt{3})^{-4} = \frac{1}{(3^{1/2})^4} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\] النتيجة النهائية: \[b = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\]

خطوة 1: نحوّل الجذر إلى قوة \[(\sqrt{5})^7 = (5^{1/2})^7 = 5^{7/2}\] خطوة 2: نجمع الأدلة (نفس القاعدة) \[c = 5^{-2} \times 5^{7/2} = 5^{-2 + 7/2}\] خطوة 3: نحسب دليل القوة \[-2 + \frac{7}{2} = \frac{-4 + 7}{2} = \frac{3}{2}\] \[c = 5^{3/2} = 5 \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}\]

خطوة 1: نطبق القوة السالبة (نعكس الكسور) \[d = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^3 \times \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^3\] خطوة 2: نجمع الكسور (نفس دليل القوة) \[d = \left(\frac{3}{\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{5}}{3}\right)^3 = \left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}\right)^3\] خطوة 3: نبسّط الجذر \[\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\] خطوة 4: نحسب \[d = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\]

خطوة 1: نبسّط \(\sqrt{27}\) \[\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} = 3 \times 3^{1/2} = 3^{3/2}\] خطوة 2: نحوّل \((\sqrt{3})^{-7}\) \[(\sqrt{3})^{-7} = (3^{1/2})^{-7} = 3^{-7/2}\] خطوة 3: نجمع (نفس القاعدة) \[e = 3^{3/2} \times 3^{-7/2} = 3^{3/2 - 7/2} = 3^{-4/2} = 3^{-2}\] خطوة 4: نحسب \[e = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\]

خطوة 1: نحوّل الأعداد العشرية إلى قوى 10 \[X = \frac{10^{-5} \times (10^{-3})^{-1}}{(10^{-2})^{-2} \times 10^7}\] خطوة 2: نطبق \((a^m)^n = a^{mn}\) \[X = \frac{10^{-5} \times 10^3}{10^4 \times 10^7}\] خطوة 3: في البسط نجمع الأدلة \[10^{-5} \times 10^3 = 10^{-5+3} = 10^{-2}\] خطوة 4: في المقام نجمع الأدلة \[10^4 \times 10^7 = 10^{4+7} = 10^{11}\] خطوة 5: نقسم \[X = \frac{10^{-2}}{10^{11}} = 10^{-2-11} = 10^{-13}\]

خطوة 1: نبسّط داخل الأقواس \((x^{-4}x^7)\) \[x^{-4}x^7 = x^{-4+7} = x^3\] خطوة 2: نطبق القوة الخارجية \[(x^3)^{-3} = x^{3 \times (-3)} = x^{-9}\] خطوة 3: في البسط \[x \times x^{-9} = x^{1-9} = x^{-8}\] خطوة 4: في المقام \[(x^{-3})^2 = x^{-3 \times 2} = x^{-6}\] \[x^2 \times x^{-6} = x^{2-6} = x^{-4}\] خطوة 5: نقسم \[K = \frac{x^{-8}}{x^{-4}} = x^{-8-(-4)} = x^{-8+4} = x^{-4}\] خطوة 6: نكتب بدون دليل سالب \[K = \frac{1}{x^4}\]

خطوة 1: نجمع الكسور \[A = \left(\frac{2 \times (-\sqrt{3})}{5 \times 2}\right)^3 = \left(\frac{-2\sqrt{3}}{10}\right)^3\] خطوة 2: نبسّط \[A = \left(\frac{-\sqrt{3}}{5}\right)^3\]

خطوة 1: نطبق \((a^m)^n = a^{mn}\) \[[(-\sqrt{2})^{-3}]^{-5} = (-\sqrt{2})^{(-3) \times (-5)} = (-\sqrt{2})^{15}\] \[[(-\sqrt{2})^3]^4 = (-\sqrt{2})^{3 \times 4} = (-\sqrt{2})^{12}\] خطوة 2: نجمع \[B = (-\sqrt{2})^{15} \times (-\sqrt{2})^{12} = (-\sqrt{2})^{15+12} = (-\sqrt{2})^{27}\] خطوة 3: نعالج الإشارة \[B = -(\sqrt{2})^{27} = -(2^{1/2})^{27} = -2^{27/2}\]

خطوة 1: نفكك \(\frac{3}{4} = \frac{3}{2^2}\) \[C = \frac{3}{2^2} \times \frac{(\sqrt{3})^5}{2^5}\] خطوة 2: نجمع \[C = \frac{3 \times (\sqrt{3})^5}{2^{2+5}} = \frac{3 \times 3^{5/2}}{2^7}\] خطوة 3: نبسّط البسط \[3 \times 3^{5/2} = 3^1 \times 3^{5/2} = 3^{1+5/2} = 3^{7/2}\] خطوة 4: النتيجة \[C = \frac{3^{7/2}}{2^7} = \frac{(\sqrt{3})^7}{128}\]

خطوة 1: نكتب في صيغة قوة \[D = \frac{3^2 \times \pi^2}{4^2} = \frac{(3\pi)^2}{4^2}\] خطوة 2: نبسّط \[D = \left(\frac{3\pi}{4}\right)^2\]

خطوة 1: نجمع \[E = 3 \times 3^{-5}\] خطوة 2: نبسّط (\(3 = 3^1\)) \[E = 3^1 \times 3^{-5} = 3^{1-5} = 3^{-4}\] خطوة 3: نحسب \[E = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}\]

خطوة 1: نحوّل \[X = \frac{10^5 \times (10^{-3})^{-1}}{(10^{-2})^{-2} \times 10^7}\] خطوة 2: نبسّط القوى \[(10^{-3})^{-1} = 10^{(-3) \times (-1)} = 10^3\] \[(10^{-2})^{-2} = 10^{(-2) \times (-2)} = 10^4\] خطوة 3: نعوّض \[X = \frac{10^5 \times 10^3}{10^4 \times 10^7}\] خطوة 4: نجمع في البسط والمقام \[X = \frac{10^{5+3}}{10^{4+7}} = \frac{10^8}{10^{11}}\] خطوة 5: نطبق قسمة القوى \[X = 10^{8-11} = 10^{-3}\]

خطوة 1: نبسّط البسط الجزء الأول: \[(a^{-2})^3 = a^{-2 \times 3} = a^{-6}\] الجزء الثاني: \[(ab^{-2})^{-3} = a^{-3} \times (b^{-2})^{-3} = a^{-3} \times b^{6}\] البسط كاملاً: \[a^{-6} \times a^{-3} \times b^6 = a^{-6-3} \times b^6 = a^{-9}b^6\] خطوة 2: نبسّط المقام \[(a^{-3}b)^2 = (a^{-3})^2 \times b^2 = a^{-6} \times b^2 = a^{-6}b^2\] خطوة 3: نقسم \[Y = \frac{a^{-9}b^6}{a^{-6}b^2} = a^{-9-(-6)} \times b^{6-2}\] \[= a^{-9+6} \times b^4 = a^{-3}b^4\] خطوة 4: نكتب بدون دليل سالب \[Y = \frac{b^4}{a^3}\]

خطوة 1: نعكس الكسر \[a = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2\] خطوة 2: نحسب \[a = \frac{(\sqrt{3})^2}{4^2} = \frac{3}{16}\]

خطوة 1: نطبق قسمة القوى \[b = (\sqrt{5})^{-2-(-4)} = (\sqrt{5})^{-2+4} = (\sqrt{5})^2\] خطوة 2: نحسب \[b = 5\]

خطوة 1: نطبق المتطابقة \[c = 4^2 + 2 \times 4 \times 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2\] خطوة 2: نحسب كل حد \[c = 16 + 24\sqrt{2} + 9 \times 2\] \[c = 16 + 24\sqrt{2} + 18\] خطوة 3: نجمع \[c = 34 + 24\sqrt{2}\]

خطوة 1: نجمع الأدلة \[d = (\sqrt{6})^{11-48} = (\sqrt{6})^{-37}\] خطوة 2: نحوّل إلى قوة \[d = 6^{-37/2}\]

خطوة 1: نحوّل الجذر \[(\sqrt{5})^{-30} = (5^{1/2})^{-30} = 5^{-15}\] خطوة 2: نجمع \[e = 5^{10} \times 5^{-15} = 5^{10-15} = 5^{-5}\] خطوة 3: نحسب \[e = \frac{1}{5^5} = \frac{1}{3125}\]

خطوة 1: نبسّط قوى \(\sqrt{5}\) \[\frac{(\sqrt{5})^{19}}{(\sqrt{5})^{-21}} = (\sqrt{5})^{19-(-21)} = (\sqrt{5})^{40}\] خطوة 2: النتيجة \[f = (\sqrt{11})^{40} \times (\sqrt{5})^{40}\] خطوة 3: نجمع (نفس دليل القوة) \[f = (\sqrt{11} \times \sqrt{5})^{40} = (\sqrt{55})^{40}\] خطوة 4: نحوّل \[f = (55^{1/2})^{40} = 55^{20}\]

خطوة 1: نبسّط البسط \[(x^3b^{-2})^7 = x^{21}b^{-14}\] \[x^{21}b^{-14} \times b^{-7} = x^{21}b^{-21}\] خطوة 2: نبسّط المقام \[(x^4b^{-3})^6 = x^{24}b^{-18}\] خطوة 3: نقسم \[X = \frac{x^{21}b^{-21}}{x^{24}b^{-18}}\] \[= x^{21-24} \times b^{-21-(-18)}\] \[= x^{-3} \times b^{-3}\]

خطوة 1: نبسّط القوس الأول \[[(-\sqrt{2})^{-3}]^{-2} = (-\sqrt{2})^{(-3) \times (-2)} = (-\sqrt{2})^6\] \[= (\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^3 = 8\] خطوة 2: نبسّط القوس الثاني \[\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4\] خطوة 3: نحسب \[A = 8 \times 4 = 32\]

خطوة 1: نحسب داخل القوس الكبير \[\left(\frac{-3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{-2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\] \[\frac{4}{9} + \frac{5}{9} = \frac{9}{9} = 1\] خطوة 2: نعوّض \[B = 3^3 \times \frac{1}{9} \times 1\] \[= 27 \times \frac{1}{9} = 3\]

خطوة 1: نعوّض \[C = \frac{7 \times (7^2)^{-3} \times (7 \times 2)^2}{7^{-2} \times 2^3}\] خطوة 2: نبسّط \[= \frac{7 \times 7^{-6} \times 7^2 \times 2^2}{7^{-2} \times 2^3}\] خطوة 3: نجمع الأدلة \[= \frac{7^{1-6+2} \times 2^2}{7^{-2} \times 2^3}\] \[= \frac{7^{-3} \times 2^2}{7^{-2} \times 2^3}\] خطوة 4: نقسم \[= 7^{-3-(-2)} \times 2^{2-3}\] \[= 7^{-1} \times 2^{-1}\] \[= \frac{1}{7 \times 2} = \frac{1}{14}\]

خطوة 1: نحوّل \[0,01 = 10^{-2}\] \[\frac{1}{10} = 10^{-1}\] خطوة 2: نعوّض \[D = \frac{(10^{-2})^2 \times (10^{-1})^{-3} \times 2^2}{5^{-2} \times 10^5}\] \[= \frac{10^{-4} \times 10^3 \times 4}{5^{-2} \times 10^5}\] خطوة 3: نبسّط \[= \frac{4 \times 10^{-1}}{5^{-2} \times 10^5}\] \[= 4 \times 10^{-1-5} \times 5^2\] \[= 4 \times 25 \times 10^{-6}\] \[= 100 \times 10^{-6} = 10^2 \times 10^{-6}\] \[= 10^{-4}\]

خطوة 1: نبسّط البسط \[(a^{-1}b)^3 = a^{-3}b^3\] \[a^{-3}b^3 \times a \times b^{-2} = a^{-3+1}b^{3-2} = a^{-2}b\] خطوة 2: نبسّط المقام \[(a^{-2}b^{-1})^2 = a^{-4}b^{-2}\] \[a^3 \times b \times a^{-4} \times b^{-2} = a^{3-4}b^{1-2} = a^{-1}b^{-1}\] خطوة 3: نقسم \[E = \frac{a^{-2}b}{a^{-1}b^{-1}} = a^{-2-(-1)}b^{1-(-1)}\] \[= a^{-1}b^2 = \frac{b^2}{a}\]

خطوة 1: نعوّض \[E = \frac{(\sqrt{5})^2}{\sqrt{20}}\] خطوة 2: نبسّط \[E = \frac{5}{\sqrt{20}} = \frac{5}{\sqrt{4 \times 5}} = \frac{5}{2\sqrt{5}}\] خطوة 3: نبسّط أكثر \[E = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\]

خطوة 1: نحوّل الجذر \[(\sqrt{5})^{-2} = (5^{1/2})^{-2} = 5^{-1}\] خطوة 2: نقسم \[E = \frac{5^{-2}}{5^{-1}} = 5^{-2-(-1)} = 5^{-1}\] \[= \frac{1}{5}\]

الجزء الأول: \[25 \times \left(\frac{5}{4}\right)^{-2} = 25 \times \left(\frac{4}{5}\right)^2\] \[= 25 \times \frac{16}{25} = 16\] الجزء الثاني: \[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8}{3\sqrt{3}}\] \[6\sqrt{3} \times \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 16\] النتيجة: \[F = 16 + 16 = 32\]

خطوة 1: نبسّط البسط \[(a^{-2}b)^{-3} = a^6b^{-3}\] \[(ab^{-1})^2 = a^2b^{-2}\] \[a^6b^{-3} \times a^2b^{-2} = a^8b^{-5}\] خطوة 2: نبسّط المقام \[(a^3b^{-2})^3 = a^9b^{-6}\] خطوة 3: نقسم \[A = \frac{a^8b^{-5}}{a^9b^{-6}} = a^{8-9}b^{-5-(-6)}\] \[= a^{-1}b^1 = a^{-1} \times b\]

خطوة 1: نعوّض \[A = \frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3\]

خطوة 1: نحوّل \[\frac{1}{100} = 10^{-2}\] \[1000 = 10^3\] \[0,0001 = 10^{-4}\] خطوة 2: نعوّض \[C = \frac{(10^{-2})^{-3} \times (10^3)^2}{10 \times (10^{-4})^{-2}}\] خطوة 3: نبسّط \[= \frac{10^6 \times 10^6}{10 \times 10^8}\] \[= \frac{10^{12}}{10^9} = 10^3\]

المعطيات: \[a = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 \quad , \quad b = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-3}\] خطوة 1: نبسّط b \[b = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\] خطوة 2: نحسب \(c = a \times b\) \[c = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\] \[= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{5+3} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^8\]

المعطيات: \[a = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3 \quad , \quad b = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^3\] خطوة 1: نحسب \(c = a \times b\) \[c = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3 \times \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^3\] \[= \left(\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{2 \times 3}\right)^3\] خطوة 2: نبسّط \[\sqrt{5} \times \sqrt{2} = \sqrt{10}\] \[c = \left(\frac{\sqrt{10}}{6}\right)^3\]

البرهان: \[abc = ab \times c\] \[= ab \times ab = (ab)^2\]

المعطيات: \[a = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 \quad , \quad b = \left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^{-3}\] خطوة 1: نبسّط b \[b = \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^3\] خطوة 2: نحسب \(ab\) \[ab = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 \times \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^3\] \[= \left(\frac{2 \times 5}{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}\right)^3\] \[= \left(\frac{10}{\sqrt{10}}\right)^3\] خطوة 3: نبسّط \[\frac{10}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10} \times \sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}\] \[ab = (\sqrt{10})^3 = 10^{3/2} = 10\sqrt{10}\] خطوة 4: نحسب \(abc = (ab)^2\) \[abc = (10\sqrt{10})^2 = 100 \times 10 = 1000\]