القوى في مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ

تمارين إضافية - الجزء الثاني

12 تمرين مركّب
1) احسب: \[A = 3 \times \left(-\frac{3}{2}\right)^{-1} + 9 \times \left(\frac{-2}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \times (-3)^{-1}\]
2) اكتب في صيغة قوة للعدد 10: \[B = \frac{1000^3 \times \left(\frac{1}{10}\right)^{-5}}{(0,01)^{-8} \times 10^4}\]

💡 مساعدة:

للسؤال 1: استعمل \(a^{-1} = \frac{1}{a}\) ثم بسّط كل حد على حدة

للسؤال 2: حوّل \(1000 = 10^3\) و \(0,01 = 10^{-2}\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: حوّل القوى السالبة إلى كسور
خطوة 2: بسّط كل حد في العبارة A
خطوة 3: للعبارة B، حوّل كل الأعداد إلى قوى العشرة

✅ الحل الكامل:

1) حساب A:

\[A = 3 \times \left(-\frac{2}{3}\right) + 9 \times \frac{4}{9} - 3 \times \left(-\frac{1}{3}\right)\] \[= -2 + 4 + 1 = 3\]
\[A = 3\]

2) حساب B:

\[B = \frac{(10^3)^3 \times 10^5}{10^{16} \times 10^4}\] \[= \frac{10^9 \times 10^5}{10^{20}}\] \[= 10^{9+5-20} = 10^{-6}\]
\[B = 10^{-6}\]
13 اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
\[(\sqrt{2})^{-3} \times (\sqrt{3})^{-3}\]
\[(\sqrt{5})^{-3} \times (\sqrt{5})^{-7}\]
\[(\pi^{-2})^{-3} \times \pi^5\]
\[\frac{(\sqrt{3})^{-5}}{(\sqrt{3})^4}\]
\[7^{-3} \times \pi^6\]

💡 مساعدة:

استعمل: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) و \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

\((a^m)^n = a^{mn}\)

\((\sqrt{a})^n = a^{n/2}\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: حوّل الجذور إلى قوى: \(\sqrt{a} = a^{1/2}\)
خطوة 2: طبق خاصيات القوى
خطوة 3: بسّط الأدلة

✅ الحل الكامل:

1) \[(\sqrt{2})^{-3} \times (\sqrt{3})^{-3} = (2^{1/2})^{-3} \times (3^{1/2})^{-3}\] \[= 2^{-3/2} \times 3^{-3/2} = (2 \times 3)^{-3/2} = 6^{-3/2}\]
\[= (\sqrt{6})^{-3}\]
2) \[(\sqrt{5})^{-3} \times (\sqrt{5})^{-7} = 5^{-3/2} \times 5^{-7/2}\] \[= 5^{-3/2-7/2} = 5^{-5}\]
\[= 5^{-5}\]
3) \[(\pi^{-2})^{-3} \times \pi^5 = \pi^6 \times \pi^5 = \pi^{11}\]
\[= \pi^{11}\]
4) \[\frac{(\sqrt{3})^{-5}}{(\sqrt{3})^4} = 3^{-5/2} \times 3^{-2}\] \[= 3^{-5/2-2} = 3^{-9/2}\]
\[= (\sqrt{3})^{-9}\]
5) \[7^{-3} \times \pi^6\]

لا يمكن تبسيطها أكثر لأن القواعد مختلفة

\[= 7^{-3} \times \pi^6\]
14 تمرين شامل
1) احسب: \[\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-4} \; ; \; (\sqrt{2})^6 \; ; \; 5^{-3} \; ; \; \pi^0\]
2) اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
أ- \[(\sqrt{3})^2 \times (\sqrt{3})^{-4} \; ; \; (-\pi^3)^{-8} \; ; \; (\sqrt{2})^6 \times (\sqrt{5})^6\]
ب- \[\frac{\pi^3}{\pi^{-5}} \; ; \; \frac{(\sqrt{6})^7}{(\sqrt{2})^7} \; ; \; \frac{\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^{-3}}{\left(\frac{36}{2\sqrt{5}}\right)^{-3}}\]

💡 مساعدة:

تذكر: \(a^0 = 1\) و \((\sqrt{a})^2 = a\)

عند القسمة: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: للسؤال 1، احسب كل قوة بشكل مباشر
خطوة 2: للسؤال 2أ، استعمل خاصية الضرب
خطوة 3: للسؤال 2ب، استعمل خاصية القسمة

✅ الحل الكامل:

1) الحسابات المباشرة:

\[\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-4} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4 = \frac{(\sqrt{3})^4}{16} = \frac{9}{16}\]
\[(\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^3 = 8\]
\[5^{-3} = \frac{1}{125}\]
\[\pi^0 = 1\]

2-أ) كتابة في صيغة قوة:

\[(\sqrt{3})^2 \times (\sqrt{3})^{-4} = (\sqrt{3})^{2-4} = (\sqrt{3})^{-2} = 3^{-1} = \frac{1}{3}\]
\[(-\pi^3)^{-8} = (-1)^{-8} \times (\pi^3)^{-8} = 1 \times \pi^{-24} = \pi^{-24}\]
\[(\sqrt{2})^6 \times (\sqrt{5})^6 = (2^{1/2})^6 \times (5^{1/2})^6 = 2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3\]

2-ب) كتابة في صيغة قوة:

\[\frac{\pi^3}{\pi^{-5}} = \pi^{3-(-5)} = \pi^8\]
\[\frac{(\sqrt{6})^7}{(\sqrt{2})^7} = \left(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\right)^7 = \left(\sqrt{\frac{6}{2}}\right)^7 = (\sqrt{3})^7\]
\[\frac{\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^{-3}}{\left(\frac{36}{2\sqrt{5}}\right)^{-3}} = \left(\frac{3/\sqrt{5}}{36/(2\sqrt{5})}\right)^{-3}\] \[= \left(\frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{2\sqrt{5}}{36}\right)^{-3} = \left(\frac{6}{36}\right)^{-3} = \left(\frac{1}{6}\right)^{-3} = 6^3\]
15 اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
\[a = (\sqrt{3})^{2015} + (\sqrt{3})^{2015} + (\sqrt{3})^{2015}\]
\[b = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 \times \left(\frac{4}{3}\right)^8\]
\[c = \frac{0,005 \times 10^{-3}}{0,0125}\]

💡 مساعدة:

للعبارة a: استعمل \(a + a + a = 3a\)

للعبارة b: افصل الإشارة والقاعدة

للعبارة c: حوّل إلى كسر ثم بسّط

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: اجمع الحدود المتشابهة
خطوة 2: طبق خاصيات القوى
خطوة 3: بسّط لأبسط صيغة

✅ الحل الكامل:

حساب a:

\[a = 3 \times (\sqrt{3})^{2015} = 3^1 \times 3^{2015/2}\] \[= 3^{1 + 2015/2} = 3^{(2+2015)/2} = 3^{2017/2}\]
\[a = 3^{2017/2} = (\sqrt{3})^{2017}\]

حساب b:

\[b = (-1)^5 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 \times \left(\frac{4}{3}\right)^8\] \[= -1 \times \frac{(\sqrt{3})^5}{2^5} \times \frac{4^8}{3^8}\] \[= -1 \times \frac{3^{5/2}}{32} \times \frac{2^{16}}{3^8}\] \[= -\frac{3^{5/2-8} \times 2^{16-5}}{1} = -3^{-11/2} \times 2^{11}\]
\[b = -2^{11} \times 3^{-11/2}\]

حساب c:

\[c = \frac{5 \times 10^{-3} \times 10^{-3}}{125 \times 10^{-4}}\] \[= \frac{5 \times 10^{-6}}{125 \times 10^{-4}}\] \[= \frac{5}{125} \times 10^{-6-(-4)} = \frac{1}{25} \times 10^{-2}\] \[= 4 \times 10^{-4}\]
\[c = 4 \times 10^{-4}\]
16 اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
\[a = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-5} \times \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)^{-6}\]
\[b = \frac{25^{-3} \times 2^{-10}}{5^4}\]
\[c = \frac{2^4}{(5^5)^{-2}} \times \frac{1}{(\sqrt{2})^{-2}}\]
\[d = \frac{(0,01)^{-2} \times 100^{-3}}{\left(\frac{1}{10}\right)^{-2} \times (0,001)^{-4}}\]

💡 مساعدة:

حوّل \(25 = 5^2\) و \(0,01 = 10^{-2}\) و \(0,001 = 10^{-3}\)

استعمل: \((a^m)^n = a^{mn}\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: حوّل الأعداد إلى قوى
خطوة 2: طبق خاصيات القوى
خطوة 3: بسّط الأدلة

✅ الحل الكامل:

حساب a:

\[a = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 \times \left(\frac{2}{-\sqrt{3}}\right)^6\] \[= \frac{3^{5/2}}{2^5} \times \frac{2^6}{3^3}\] \[= \frac{3^{5/2-3} \times 2^{6-5}}{1} = 3^{-1/2} \times 2 = \frac{2}{\sqrt{3}}\]
\[a = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

حساب b:

\[b = \frac{(5^2)^{-3} \times 2^{-10}}{5^4} = \frac{5^{-6} \times 2^{-10}}{5^4}\] \[= 5^{-6-4} \times 2^{-10} = 5^{-10} \times 2^{-10}\] \[= (5 \times 2)^{-10} = 10^{-10}\]
\[b = 10^{-10}\]

حساب c:

\[c = \frac{2^4}{5^{-10}} \times \frac{1}{2^{-1}}\] \[= 2^4 \times 5^{10} \times 2 = 2^5 \times 5^{10}\]
\[c = 2^5 \times 5^{10}\]

حساب d:

\[d = \frac{10^4 \times 10^{-6}}{10^2 \times 10^{12}}\] \[= 10^{4-6-2-12} = 10^{-16}\]
\[d = 10^{-16}\]
17 تمرين ذو جزئين
1) اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
\[a = 3^5 \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^5\]
\[b = [(-2)^3]^4 \times 2^{-11}\]
\[c = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^7 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5\]
2) اختصر العبارات التالية:
\[d = \frac{0,25 \times 10^{-5}}{\sqrt{5} \times 10^{-4}}\]
\[e = \frac{0,0002 \times 10^6}{\sqrt{2} \times 10^{-4}}\]

💡 مساعدة:

للسؤال 1: استعمل \(\frac{1}{\sqrt{a}} = a^{-1/2}\)

للسؤال 2: حوّل الأعداد العشرية: \(0,25 = \frac{1}{4}\)، \(0,0002 = 2 \times 10^{-4}\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: حوّل الكسور والجذور إلى قوى
خطوة 2: طبق خاصيات القوى
خطوة 3: رشّد المقام إذا لزم الأمر

✅ الحل الكامل:

1) كتابة في صيغة قوة:

a: \[a = 3^5 \times 3^{-5/2} = 3^{5-5/2} = 3^{5/2}\]
\[a = 3^{5/2} = (\sqrt{3})^5\]
b: \[b = (-2)^{12} \times 2^{-11} = 2^{12} \times 2^{-11} = 2^1 = 2\]
\[b = 2\]
c: \[c = \frac{2^7}{3^{7/2}} \times \frac{3^{5/2}}{2^5}\] \[= 2^{7-5} \times 3^{5/2-7/2} = 2^2 \times 3^{-1} = \frac{4}{3}\]
\[c = \frac{4}{3}\]

2) الاختصار:

d: \[d = \frac{1/4 \times 10^{-5}}{\sqrt{5} \times 10^{-4}} = \frac{10^{-5}}{4\sqrt{5} \times 10^{-4}}\] \[= \frac{10^{-1}}{4\sqrt{5}} = \frac{1}{40\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{200}\]
\[d = \frac{\sqrt{5}}{200}\]
e: \[e = \frac{2 \times 10^{-4} \times 10^6}{\sqrt{2} \times 10^{-4}} = \frac{2 \times 10^2}{\sqrt{2}}\] \[= \sqrt{2} \times 100 = 100\sqrt{2}\]
\[e = 100\sqrt{2}\]
18 تمرين متقدم
1) اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
\[E = \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{-3} \times \left(-\frac{2}{\sqrt{7}}\right)^{-6}\]
\[F = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{-4} \times \left(\frac{-5\sqrt{5}}{8}\right)\]
\[G = \frac{2^4}{(5^5)^{-2}} \times \frac{1}{(\sqrt{2})^{-2}}\]
\[H = \frac{25^{-3} \times 2^{-5}}{5^4}\]
\[I = \frac{(0,01)^{-2} \times 100^{-3}}{\left(\frac{1}{10}\right)^{-3} \times (0,001)^{-7}}\]
2) أثبت أن G و H مقلوبان

💡 مساعدة:

لإثبات أن عددين مقلوبان، أثبت أن حاصل ضربهما يساوي 1

أي: \(G \times H = 1\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: احسب كل عبارة على حدة
خطوة 2: للسؤال 2، احسب \(G \times H\)
خطوة 3: إذا كانت النتيجة = 1، فهما مقلوبان

✅ الحل الكامل:

1) الحسابات:

E: \[E = \left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)^3 \times \left(-\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{-6}\] \[= \frac{8}{7^{3/2}} \times \left(-\frac{2}{\sqrt{7}}\right)^6 = \frac{8}{7\sqrt{7}} \times \frac{64}{7^3}\] \[= \frac{512}{7^{9/2}} = \frac{512}{7^4\sqrt{7}}\]
\[E = \frac{512}{2401\sqrt{7}}\]
F: \[F = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^4 \times \frac{-5\sqrt{5}}{8}\] \[= \frac{25}{16} \times \frac{-5\sqrt{5}}{8} = -\frac{125\sqrt{5}}{128}\]
\[F = -\frac{125\sqrt{5}}{128}\]
G: \[G = \frac{2^4 \times 5^{10}}{(\sqrt{2})^{-2}} = 16 \times 5^{10} \times 2\] \[= 32 \times 5^{10}\]
\[G = 2^5 \times 5^{10}\]
H: \[H = \frac{5^{-6} \times 2^{-5}}{5^4} = 5^{-10} \times 2^{-5}\]
\[H = 2^{-5} \times 5^{-10}\]
I: \[I = \frac{10^4 \times 10^{-6}}{10^3 \times 10^{21}}\] \[= 10^{4-6-3-21} = 10^{-26}\]
\[I = 10^{-26}\]

2) إثبات أن G و H مقلوبان:

\[G \times H = (2^5 \times 5^{10}) \times (2^{-5} \times 5^{-10})\] \[= 2^{5-5} \times 5^{10-10} = 2^0 \times 5^0 = 1 \times 1 = 1\]

بما أن \(G \times H = 1\)، فإن G و H مقلوبان

إذن: \(G = \frac{1}{H}\) و \(H = \frac{1}{G}\)