القوى في مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ

تمارين إضافية - الجزء الثالث

19 تمرين مع إثبات
1) اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
\[A = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{-6}\]
\[B = \left(\frac{10}{9}\right)^{20} \times \left[\left(\frac{10}{9}\right)^{-3}\right]^5\]
\[C = \left(\frac{2}{3}\right)^5 \times \frac{8}{27}\]
2) ليكن a و b عددين حقيقيين مخالفين للصفر

بيّن أن: \[\left(a^{-1} + b^{-1}\right)^{-1} = \frac{ab}{a+b}\]

💡 مساعدة:

للسؤال 1: استعمل \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) و \((a^m)^n = a^{mn}\)

للسؤال 2: ابدأ بـ \(a^{-1} = \frac{1}{a}\) ثم وحّد المقامات

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: للسؤال 1، طبق خاصيات القوى
خطوة 2: للسؤال 2، حوّل القوى السالبة إلى كسور
خطوة 3: وحّد المقامات واعكس الكسر

✅ الحل الكامل:

1) الحسابات:

A: \[A = \left(\frac{1}{3}\right)^{2-6} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = 3^4 = 81\]
\[A = 81\]
B: \[B = \left(\frac{10}{9}\right)^{20} \times \left(\frac{10}{9}\right)^{-15}\] \[= \left(\frac{10}{9}\right)^{20-15} = \left(\frac{10}{9}\right)^5\]
\[B = \left(\frac{10}{9}\right)^5\]
C: \[C = \left(\frac{2}{3}\right)^5 \times \frac{2^3}{3^3}\] \[= \left(\frac{2}{3}\right)^5 \times \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^8\]
\[C = \left(\frac{2}{3}\right)^8\]

2) الإثبات:

\[\left(a^{-1} + b^{-1}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)^{-1}\] \[= \left(\frac{b + a}{ab}\right)^{-1}\] \[= \frac{ab}{a+b}\]
العلاقة محققة ✓
20 اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي ثم احسب:
\[a = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{12} \times (\sqrt{3})^{15}\]
\[b = (\sqrt{5^{-2}})^{-3}\]
\[c = (-\sqrt{3})^{-3} \times \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^{-3}\]
\[d = \frac{\left(\frac{\sqrt{8}}{9}\right)^4}{\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^4}\]
\[e = \frac{(-\sqrt{2})^{-10}}{(-\sqrt{2})^{-6}}\]

💡 مساعدة:

حوّل الجذور إلى قوى: \(\sqrt{a} = a^{1/2}\)

\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: حوّل الجذور إلى قوى
خطوة 2: طبق خاصيات القوى
خطوة 3: احسب القيمة النهائية

✅ الحل الكامل:

a: \[a = 3^{-6} \times 3^{15/2} = 3^{-6+15/2}\] \[= 3^{(-12+15)/2} = 3^{3/2} = 3\sqrt{3}\]
\[a = 3\sqrt{3}\]
b: \[b = (5^{-1})^{-3} = 5^3 = 125\]
\[b = 125\]
c: \[c = (-1)^{-3} \times 3^{-3/2} \times 6^{3/2}\] \[= -1 \times 3^{-3/2} \times (2 \times 3)^{3/2}\] \[= -3^{-3/2} \times 2^{3/2} \times 3^{3/2} = -2^{3/2} = -2\sqrt{2}\]
\[c = -2\sqrt{2}\]
d: \[d = \left(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}\right)^4 \times \left(\frac{3}{9}\right)^4\] \[= \left(\sqrt{4}\right)^4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 2^4 \times 3^{-4}\] \[= \frac{16}{81}\]
\[d = \frac{16}{81}\]
e: \[e = (-\sqrt{2})^{-10+6} = (-\sqrt{2})^{-4}\] \[= 2^{-2} = \frac{1}{4}\]
\[e = \frac{1}{4}\]
21 تمرين شامل
1) احسب:
\[\left(\frac{\pi}{3}\right)^6 \times \left[\left(\frac{\sqrt{3}}{\pi}\right)^{-2}\right]^{-3}\]
\[\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} + (\sqrt{3})^{-4}\]
\[\left(\frac{1}{\sqrt{7}} - \sqrt{7}\right)^2\]
\[\frac{(0,001)^2 \times \left(\frac{1}{10}\right)^{-2} \times 5^3}{2^{-3} \times 10^{-3}}\]

💡 مساعدة:

استعمل \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(0,001 = 10^{-3}\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: بسّط الأقواس المتداخلة
خطوة 2: طبق خاصيات القوى
خطوة 3: احسب القيمة النهائية

✅ الحل الكامل:

1) \[\left(\frac{\pi}{3}\right)^6 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{\pi}\right)^6\] \[= \left(\frac{\pi \times \sqrt{3}}{3 \times \pi}\right)^6 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^6\] \[= \frac{3^3}{3^6} = 3^{-3} = \frac{1}{27}\]
\[= \frac{1}{27}\]
2) \[\frac{16}{9} + \frac{1}{9} = \frac{17}{9}\]
\[= \frac{17}{9}\]
3) \[\left(\frac{1}{\sqrt{7}} - \sqrt{7}\right)^2 = \left(\frac{1-7}{\sqrt{7}}\right)^2\] \[= \frac{36}{7}\]
\[= \frac{36}{7}\]
4) \[\frac{10^{-6} \times 10^2 \times 125}{2^{-3} \times 10^{-3}}\] \[= \frac{125 \times 10^{-4}}{2^{-3} \times 10^{-3}} = 125 \times 2^3 \times 10^{-1}\] \[= 1000 \times 0,1 = 100\]
\[= 100\]
22 تمرين مع حسابات
1) احسب:
\[a = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4\]
\[b = (3\sqrt{2})^{-2} \times \left[3(\sqrt{2})^{-1}\right]^{-2}\]
2) اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
\[c = (\sqrt{5})^{-7} \times (-5)^{13}\]
\[d = 10^{-2} \times \frac{0,0001 \times (10^{-1})^{-5}}{\left(\frac{1}{100}\right)^3}\]

💡 مساعدة:

\(0,0001 = 10^{-4}\) و \(\frac{1}{100} = 10^{-2}\)

\((\sqrt{a})^n = a^{n/2}\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: بسّط كل حد على حدة
خطوة 2: طبق خاصيات القوى
خطوة 3: احسب أو بسّط النتيجة

✅ الحل الكامل:

1) الحسابات:

a: \[a = \frac{25}{4} - 2^{-2} = \frac{25}{4} - \frac{1}{4} = \frac{24}{4} = 6\]
\[a = 6\]
b: \[b = \frac{1}{18} \times \frac{1}{9 \times 2} = \frac{1}{18} \times \frac{1}{18} = \frac{1}{324}\]
\[b = \frac{1}{324}\]

2) الكتابة في صيغة قوة:

c: \[c = 5^{-7/2} \times (-1)^{13} \times 5^{13}\] \[= -5^{-7/2+13} = -5^{19/2}\]
\[c = -5^{19/2}\]
d: \[d = 10^{-2} \times \frac{10^{-4} \times 10^5}{10^{-6}}\] \[= 10^{-2-4+5+6} = 10^5\]
\[d = 10^5\]
23 تمرين متنوع
1) احسب:
\[a = 2^{-3} + 2^2\]
\[b = 2^{-3} \times 2^2\]
\[c = (9\sqrt{11})^{-3} \times (3\sqrt{11})^5\]
2) اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
\[d = \frac{(-\sqrt{3})^9}{7^9}\]
\[e = \frac{27}{2\sqrt{2}}\]
\[f = \frac{25\sqrt{5}}{49\sqrt{7}}\]

💡 مساعدة:

\(9 = 3^2\) و \(27 = 3^3\) و \(49 = 7^2\)

رشّد المقامات عند الحاجة

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: للسؤال 1، احسب مباشرة
خطوة 2: للسؤال 2، حلل واكتب في صيغة قوة

✅ الحل الكامل:

1) الحسابات:

a: \[a = \frac{1}{8} + 4 = \frac{1+32}{8} = \frac{33}{8}\]
\[a = \frac{33}{8}\]
b: \[b = 2^{-3+2} = 2^{-1} = \frac{1}{2}\]
\[b = \frac{1}{2}\]
c: \[c = (3^2)^{-3} \times 11^{-3/2} \times 3^5 \times 11^{5/2}\] \[= 3^{-6+5} \times 11^{-3/2+5/2} = 3^{-1} \times 11^1\] \[= \frac{11}{3}\]
\[c = \frac{11}{3}\]

2) الكتابة في صيغة قوة:

d: \[d = \left(\frac{-\sqrt{3}}{7}\right)^9\]
\[d = -\left(\frac{\sqrt{3}}{7}\right)^9\]
e: \[e = \frac{3^3}{2^{3/2}} = \frac{27\sqrt{2}}{4}\]
\[e = \frac{27\sqrt{2}}{4}\]
f: \[f = \frac{5^{5/2}}{7^{5/2}} = \left(\frac{5}{7}\right)^{5/2}\]
\[f = \left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}\right)^5\]
24 تمرين متقدم
1) احسب: \[A = 5^{-1} \times (\sqrt{3})^2 \quad ; \quad B = \left[(-\sqrt{3})^2\right]^{-3} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}\]
2) اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
\[C = \left(\frac{10}{9}\right)^{20} \times \left[\left(\frac{10}{9}\right)^{-2}\right]^3\]
\[D = \left(\frac{3}{2}\right)^5 \times \frac{27}{8}\]
3) اكتب في صيغة قوة للعدد 10: \[E = \frac{10^{-5} \times (0,001)^{-1}}{\left(\frac{1}{100}\right)^{-2} \times 10^7}\]

💡 مساعدة:

\((-a)^{2n} = a^{2n}\) (القوة الزوجية تلغي الإشارة)

\(0,001 = 10^{-3}\) و \(\frac{1}{100} = 10^{-2}\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: بسّط الأقواس والقوى
خطوة 2: طبق خاصيات القوى
خطوة 3: اكتب في الصيغة المطلوبة

✅ الحل الكامل:

1) الحسابات:

A: \[A = \frac{1}{5} \times 3 = \frac{3}{5}\]
\[A = \frac{3}{5}\]
B: \[B = (3)^{-6} \times 3 = 3^{-5} = \frac{1}{243}\]
\[B = \frac{1}{243}\]

2) الكتابة في صيغة قوة:

C: \[C = \left(\frac{10}{9}\right)^{20} \times \left(\frac{10}{9}\right)^{-6}\] \[= \left(\frac{10}{9}\right)^{14}\]
\[C = \left(\frac{10}{9}\right)^{14}\]
D: \[D = \left(\frac{3}{2}\right)^5 \times \frac{3^3}{2^3}\] \[= \left(\frac{3}{2}\right)^5 \times \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^8\]
\[D = \left(\frac{3}{2}\right)^8\]

3) الكتابة في صيغة قوة للعدد 10:

\[E = \frac{10^{-5} \times 10^3}{10^4 \times 10^7}\] \[= 10^{-5+3-4-7} = 10^{-13}\]
\[E = 10^{-13}\]
25 تمرين ختامي شامل
1) احسب:
\[a = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2} \times \left[(\sqrt{7})^3\right]^{-2}\]
\[b = \left[(\sqrt{5})^{-2}\right]^{-2} \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-2}\]
\[c = \sqrt{2^3} - \sqrt{3^2}\]
2) اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:
\[d = \left(\frac{\sqrt{3}}{7}\right)^{-10} \times \left(\frac{7}{\sqrt{3}}\right)^{-4}\]
\[e = \frac{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-3}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{-3}}\]
\[f = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{-5} \times \frac{5}{2}\]
3) اكتب في صيغة قوة للعدد 10: \[h = \frac{(10^{-2})^3 \times 10^5}{10^{-1}}\]

💡 مساعدة:

استعمل \((a^m)^n = a^{mn}\) و \(\sqrt{a^n} = a^{n/2}\)

عند القسمة على كسر: اضرب في مقلوبه

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: بسّط الأقواس المتداخلة
خطوة 2: طبق خاصيات القوى
خطوة 3: احسب أو بسّط النتيجة النهائية

✅ الحل الكامل:

1) الحسابات:

a: \[a = 7 \times 7^{-3} = 7^{-2} = \frac{1}{49}\]
\[a = \frac{1}{49}\]
b: \[b = 5^2 \times 3 = 75\]
\[b = 75\]
c: \[c = 2^{3/2} - 3 = 2\sqrt{2} - 3\]
\[c = 2\sqrt{2} - 3\]

2) الكتابة في صيغة قوة:

d: \[d = \left(\frac{7}{\sqrt{3}}\right)^{10} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{7}\right)^{-4}\] \[= \left(\frac{7}{\sqrt{3}}\right)^{10} \times \left(\frac{7}{\sqrt{3}}\right)^4 = \left(\frac{7}{\sqrt{3}}\right)^{14}\]
\[d = \left(\frac{7}{\sqrt{3}}\right)^{14}\]
e: \[e = \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{-3}}\] \[= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3\] \[= \left(\frac{3}{6}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\]
\[e = \frac{1}{8}\]
f: \[f = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^5 \times \frac{5}{2}\] \[= \frac{32}{25\sqrt{5}} \times \frac{5}{2} = \frac{16}{\sqrt{5}}\] \[= \frac{16\sqrt{5}}{5}\]
\[f = \frac{16\sqrt{5}}{5}\]

3) الكتابة في صيغة قوة للعدد 10:

\[h = \frac{10^{-6} \times 10^5}{10^{-1}}\] \[= 10^{-6+5+1} = 10^0 = 1\]
\[h = 1 = 10^0\]