القوى في مجموعة الأعداد الحقيقية

26 تمرين تطبيقي شامل

اكتب في صيغة قوة عدد حقيقي دليلها مخالف لواحد:

\[a = \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^{-3} \times \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^5\]

\[b = \left(-\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^4 \times \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{-5}\]

\[c = \sqrt{8} \times (\sqrt{5})^3\]

\[d = 4\sqrt{7} + 3\sqrt{7}\]

لتكن القوى التالية:

\[a = \left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^3 \; ; \; b = \left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^5 \; ; \; c = \left(\frac{3}{25}\right)^{-3}\]

احسب العبارات التالية: \(a \times b\) ; \(b \times c\) ; \(\frac{a}{c}\)

💡 مساعدة:

\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

لحساب \(a \times b\)، استعمل: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

\(25 = 5^2\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: بسّط كل قوة على حدة

خطوة 2: للعمليات على القوى، اكتبها بنفس القاعدة إن أمكن

خطوة 3: طبق خاصيات القوى

✅ الحل الكامل:

الجزء الأول:

a: \[a = \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^{-3+5} = \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2\]

\[a = \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2\]

b: \[b = \frac{3^4}{2^2} \times \frac{2^{5/2}}{3^5} = \frac{2^{5/2-2}}{3^{5-4}}\] \[= \frac{2^{1/2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}\]

\[b = \frac{\sqrt{2}}{3}\]

c: \[c = 2\sqrt{2} \times 5^{3/2} = 2^{3/2} \times 5^{3/2}\] \[= (2 \times 5)^{3/2} = 10^{3/2}\]

\[c = 10^{3/2} = 10\sqrt{10}\]

d: \[d = 7\sqrt{7}\]

\[d = 7\sqrt{7}\]

الجزء الثاني:

\(a \times b\): \[a \times b = \left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^3 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^5\] \[= \frac{5^3}{3^{3/2}} \times \frac{3^{5/2}}{5^5} = \frac{3^{5/2-3/2}}{5^{5-3}}\] \[= \frac{\sqrt{3}}{25}\]

\[a \times b = \frac{\sqrt{3}}{25}\]

\(b \times c\): \[b \times c = \left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^5 \times \left(\frac{25}{3}\right)^3\] \[= \frac{3^{5/2}}{5^5} \times \frac{5^6}{3^3} = \frac{5^{6-5}}{3^{3-5/2}}\] \[= \frac{5}{3^{1/2}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\]

\[b \times c = \frac{5\sqrt{3}}{3}\]

\(\frac{a}{c}\): \[\frac{a}{c} = \frac{5^3}{3^{3/2}} \times \frac{3^3}{5^6}\] \[= \frac{3^{3-3/2}}{5^{6-3}} = \frac{3^{3/2}}{5^3}\] \[= \left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^3\]

\[\frac{a}{c} = \left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^3\]

27 تمرين متنوع

1) احسب:

\[a = \frac{3^{-10}}{3^{-12}}\]

\[b = \left(-\frac{7}{4}\right)^{-3}\]

\[c = \left(\frac{5}{3}\right)^5 \times \left(\frac{3}{5}\right)^7\]

2) اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:

\[X = \left[\left(\frac{7}{3}\right)^{-3}\right]^4 \times \left(\frac{7}{3}\right)^8\]

\[Y = \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{-3} \times \left(-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^{-3}\]

\[Z = \sqrt{8} \times (\sqrt{2})^{-7}\]

3) اختصر ما يلي:

\[e = \frac{0,00016 \times 10^{-8}}{0,12 \times 10^4}\]

\[f = \frac{(\sqrt{2})^{-3} \times (\sqrt{8})^{-7}}{(\sqrt{2})^2 \times (\sqrt{8})^{-2}}\]

\[g = \frac{(10^{-2})^3 \times 10^5}{(100)^2 \times (0,01)^2}\]

💡 مساعدة:

\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)

\(0,00016 = 16 \times 10^{-5}\) و \(0,12 = 12 \times 10^{-2}\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: للحسابات المباشرة، طبق الخاصيات

خطوة 2: حوّل إلى نفس القاعدة عند الحاجة

خطوة 3: بسّط واختصر

✅ الحل الكامل:

1) الحسابات:

a: \[a = 3^{-10-(-12)} = 3^2 = 9\]

\[a = 9\]

b: \[b = \left(-\frac{4}{7}\right)^3 = -\frac{64}{343}\]

\[b = -\frac{64}{343}\]

c: \[c = \left(\frac{5}{3}\right)^5 \times \left(\frac{5}{3}\right)^{-7}\] \[= \left(\frac{5}{3}\right)^{-2} = \frac{9}{25}\]

\[c = \frac{9}{25}\]

2) الكتابة في صيغة قوة:

X: \[X = \left(\frac{7}{3}\right)^{-12} \times \left(\frac{7}{3}\right)^8\] \[= \left(\frac{7}{3}\right)^{-4}\]

\[X = \left(\frac{7}{3}\right)^{-4}\]

Y: \[Y = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^3 \times \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^3\] \[= -\frac{5^{3/2}}{10^{3/2}} = -\frac{1}{2^{3/2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}\]

\[Y = -\frac{\sqrt{2}}{4}\]

Z: \[Z = 2^{3/2} \times 2^{-7/2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}\]

\[Z = \frac{1}{4}\]

3) الاختصار:

e: \[e = \frac{16 \times 10^{-5} \times 10^{-8}}{12 \times 10^{-2} \times 10^4}\] \[= \frac{16}{12} \times 10^{-13-2} = \frac{4}{3} \times 10^{-15}\]

\[e = 1,\overline{3} \times 10^{-15}\]

f: \[f = \frac{2^{-3/2} \times 2^{-21/2}}{2 \times 2^{-3}}\] \[= 2^{-3/2-21/2-1+3} = 2^{-10} = \frac{1}{1024}\]

\[f = \frac{1}{1024}\]

g: \[g = \frac{10^{-6} \times 10^5}{10^4 \times 10^{-4}}\] \[= 10^{-6+5-4+4} = 10^{-1} = 0,1\]

\[g = 10^{-1}\]

28 تمرين بإثبات

1) أكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي دليلها مخالف لواحد مختصراً الكتابة المتحصل عليها:

\[A = \frac{(\sqrt{7})^5}{(\sqrt{7})^3} (\sqrt{7})^{-2}\]

\[B = 25\pi^2\]

\[C = -8\pi^3\]

\[D = \frac{\left(\frac{-\sqrt{3}}{\pi}\right)^5}{\left(\frac{2}{\pi}\right)^5}\]

\[E = \left[\left(\frac{9\sqrt{5}}{2}\right)^2\right]^6 \times \left(\frac{4}{3\sqrt{5}}\right)^{12}\]

2) لتكن القوى التالية: \[a = \left(\frac{\sqrt{5}}{7}\right)^{-3} \; ; \; b = \left(\frac{\sqrt{5}}{7}\right)^5 \; ; \; c = \left(\frac{7}{\sqrt{5}}\right)^5\]

أكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي العبارات التالية: \(b \times c\) ; \(a \times b\) ; \(a^4\)

💡 مساعدة:

\(25 = 5^2\) و \(-8 = -2^3\)

لحساب \(a \times b\) حيث لهما نفس القاعدة: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: بسّط كل قوة باستعمال الخاصيات

خطوة 2: اكتب في صيغة قوة بسيطة

خطوة 3: للسؤال 2، طبق العمليات على القوى

✅ الحل الكامل:

1) الكتابة في صيغة قوة:

A: \[A = (\sqrt{7})^{5-3-2} = (\sqrt{7})^0 = 1\]

\[A = 1\]

B: \[B = 5^2 \times \pi^2 = (5\pi)^2\]

\[B = (5\pi)^2\]

C: \[C = -2^3 \times \pi^3 = -(2\pi)^3\]

\[C = -(2\pi)^3\]

D: \[D = \left(\frac{-\sqrt{3}/\pi}{2/\pi}\right)^5 = \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)^5\]

\[D = -\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5\]

E: \[E = \left(\frac{9\sqrt{5}}{2}\right)^{12} \times \left(\frac{4}{3\sqrt{5}}\right)^{12}\] \[= \left(\frac{9\sqrt{5} \times 4}{2 \times 3\sqrt{5}}\right)^{12} = \left(\frac{36}{6}\right)^{12} = 6^{12}\]

\[E = 6^{12}\]

2) العمليات على القوى:

\(b \times c\): \[b \times c = \left(\frac{\sqrt{5}}{7}\right)^5 \times \left(\frac{7}{\sqrt{5}}\right)^5\] \[= \left(\frac{\sqrt{5}}{7} \times \frac{7}{\sqrt{5}}\right)^5 = 1^5 = 1\]

\[b \times c = 1\]

\(a \times b\): \[a \times b = \left(\frac{\sqrt{5}}{7}\right)^{-3} \times \left(\frac{\sqrt{5}}{7}\right)^5\] \[= \left(\frac{\sqrt{5}}{7}\right)^2\]

\[a \times b = \left(\frac{\sqrt{5}}{7}\right)^2\]

\(a^4\): \[a^4 = \left[\left(\frac{\sqrt{5}}{7}\right)^{-3}\right]^4 = \left(\frac{\sqrt{5}}{7}\right)^{-12}\]

\[a^4 = \left(\frac{\sqrt{5}}{7}\right)^{-12}\]

29 تمرين مع معادلات

نعتبر a و b و c ثلاثة أعداد حقيقية حيث \(ab = c\)

1)

أ- احسب c إذا علمت أن: \[a = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 \quad \text{و} \quad b = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-3}\]

ب- احسب c إذا علمت أن: \[a = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3 \quad \text{و} \quad b = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^3\]

2)

أ- بيّن أن \(abc = (ab)^2\)

ب- استنتج abc إذا علمت أن: \[a = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 \quad \text{و} \quad b = \left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^{-3}\]

💡 مساعدة:

بما أن \(c = ab\)، فإن \(abc = ab \times ab = (ab)^2\)

احسب أولاً \(ab\) ثم استنتج \(abc\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: احسب \(c = a \times b\)

خطوة 2: للإثبات، استعمل \(c = ab\)

خطوة 3: استنتج \(abc = (ab)^2\)

✅ الحل الكامل:

1-أ) حساب c:

\[c = ab = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\] \[= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^8\]

\[c = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^8\]

1-ب) حساب c:

\[c = ab = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3 \times \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^3\] \[= \left(\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{2 \times 3}\right)^3 = \left(\frac{\sqrt{10}}{6}\right)^3\]

\[c = \left(\frac{\sqrt{10}}{6}\right)^3\]

2-أ) الإثبات:

بما أن \(c = ab\)، فإن: \[abc = ab \times c = ab \times ab = (ab)^2\]

إذن: \(abc = (ab)^2\) ✓

2-ب) الاستنتاج:

أولاً نحسب \(ab\): \[ab = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 \times \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^3\] \[= \left(\frac{2 \times 5}{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}\right)^3 = \left(\frac{10}{\sqrt{10}}\right)^3\] \[= \left(\sqrt{10}\right)^3\]

ثم نستنتج:

\[abc = (ab)^2 = \left[(\sqrt{10})^3\right]^2 = (\sqrt{10})^6 = 10^3 = 1000\]

\[abc = 1000\]

30 تمرين شامل

1) احسب:

\[a = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-2}\]

\[b = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} - (\sqrt{3})^{-4}\]

2) اكتب في صيغة قوة لعدد حقيقي:

\[c = 5^{-2} \times (\sqrt{5})^7\]

\[d = \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{-3} \times \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)(-3)\]

\[e = \sqrt{27} \times (\sqrt{3})^{-7}\]

3) اكتب في صيغة قوة للعدد 10: \[X = \frac{10^{-5} \times (0,001)^{-1}}{\left(\frac{1}{100}\right)^{-2} \times 10^7}\]

4) اختصر العبارة التالية: حيث x عدد حقيقي مخالف للصفر \[K = \frac{x(x^{-4}x^7)^{-3}}{x^2(x^{-3})^2}\]

💡 مساعدة:

\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)

للسؤال 4: \(x^{-4}x^7 = x^3\) ثم \((x^3)^{-3} = x^{-9}\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: بسّط الأقواس الداخلية أولاً

خطوة 2: طبق خاصيات القوى

خطوة 3: اختصر واكتب في الصيغة المطلوبة

✅ الحل الكامل:

1) الحسابات:

a: \[a = 3\]

\[a = 3\]

b: \[b = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\]

\[b = \frac{1}{3}\]

2) الكتابة في صيغة قوة:

c: \[c = 5^{-2} \times 5^{7/2} = 5^{3/2}\]

\[c = 5^{3/2} = 5\sqrt{5}\]

d: \[d = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^3 \times \left(\frac{-\sqrt{5}}{3}\right)^3\] \[= -\frac{5^{3/2}}{10^{3/2}} = -\frac{1}{2^{3/2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}\]

\[d = -\frac{\sqrt{2}}{4}\]

e: \[e = 3^{3/2} \times 3^{-7/2} = 3^{-2} = \frac{1}{9}\]

\[e = \frac{1}{9}\]

3) الكتابة في صيغة قوة للعدد 10:

\[X = \frac{10^{-5} \times 10^3}{10^4 \times 10^7}\] \[= 10^{-5+3-4-7} = 10^{-13}\]

\[X = 10^{-13}\]

4) الاختصار:

\[K = \frac{x \times (x^3)^{-3}}{x^2 \times x^{-6}}\] \[= \frac{x \times x^{-9}}{x^{-4}} = \frac{x^{-8}}{x^{-4}}\] \[= x^{-8-(-4)} = x^{-4}\]

\[K = x^{-4} = \frac{1}{x^4}\]

31 تمرين ختامي شامل

1) اكتب كلاً من العبارات التالية في صيغة قوة لعدد حقيقي:

\[A = \left(\frac{2}{5}\right)^3 \times \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)^3\]

\[B = [(-\sqrt{2})^{-3}]^{-5} \times [(-\sqrt{2})^3]^4\]

\[C = \frac{3}{4} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5\]

\[D = \frac{9\pi^2}{16}\]

\[E = 3^{-5} + 3^{-5} + 3^{-5}\]

2) اكتب في صيغة قوة للعدد 10: \[X = \frac{10^5 \times (0,001)^{-1}}{\left(\frac{1}{100}\right)^{-2} \times 10^7}\]

3) اختصر العبارة التالية: حيث a و b عددان حقيقيان مخالفان للصفر \[Y = \frac{(a^{-2})^3(ab^{-2})^{-3}}{(a^{-3}b)^2}\]

💡 مساعدة:

للسؤال 1: \((-a)^n\) إذا كانت n فردية، الإشارة تبقى

\(3 \times 3^{-5} = 3^{1-5} = 3^{-4}\)

📋 طريقة الحل:

خطوة 1: بسّط الأقواس المتداخلة

خطوة 2: طبق خاصيات القوى بشكل منهجي

خطوة 3: اختصر واكتب في أبسط صيغة

✅ الحل الكامل:

1) الكتابة في صيغة قوة:

A: \[A = \left(\frac{2 \times (-\sqrt{3})}{5 \times 2}\right)^3\] \[= \left(\frac{-\sqrt{3}}{5}\right)^3\]

\[A = -\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^3\]

B: \[B = (-\sqrt{2})^{15} \times (-\sqrt{2})^{12}\] \[= (-\sqrt{2})^{27} = -(\sqrt{2})^{27} = -2^{27/2}\]

\[B = -2^{27/2}\]

C: \[C = \frac{3}{2^2} \times \frac{(\sqrt{3})^5}{2^5}\] \[= \frac{3^{1+5/2}}{2^7} = \frac{3^{7/2}}{128}\]

\[C = \frac{(\sqrt{3})^7}{128}\]

D: \[D = \frac{(3\pi)^2}{4^2} = \left(\frac{3\pi}{4}\right)^2\]

\[D = \left(\frac{3\pi}{4}\right)^2\]

E: \[E = 3 \times 3^{-5} = 3^{-4} = \frac{1}{81}\]

\[E = 3^{-4}\]

2) الكتابة في صيغة قوة للعدد 10:

\[X = \frac{10^5 \times 10^3}{10^4 \times 10^7}\] \[= 10^{5+3-4-7} = 10^{-3}\]

\[X = 10^{-3}\]

3) الاختصار:

\[Y = \frac{a^{-6} \times a^{-3}b^6}{a^{-6}b^2}\] \[= a^{-6-3-(-6)} \times b^{6-2} = a^{-3}b^4\]

\[Y = \frac{b^4}{a^3}\]

القوى في مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ

💡 مساعدة:

📋 طريقة الحل:

✅ الحل الكامل:

💡 مساعدة:

📋 طريقة الحل:

✅ الحل الكامل:

💡 مساعدة:

📋 طريقة الحل:

✅ الحل الكامل:

💡 مساعدة:

📋 طريقة الحل:

✅ الحل الكامل:

💡 مساعدة:

📋 طريقة الحل:

✅ الحل الكامل:

💡 مساعدة:

📋 طريقة الحل:

✅ الحل الكامل: