القسم الأول: تعابير فيها جذور وقوى (الصورة L إلى O)
احسب:
\[
L = \left[ 2(\sqrt{3})^{-1} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right]^{2}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
اكتب \((\sqrt{3})^{-1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)، ثم وحِّد المقام قبل التربيع.
2) فكرة الحل
بَسِّط داخل القوس أولاً إلى كسر واحد، ثم ربّع الناتج للحصول على \(L\).
3) التصحيح
\(2(\sqrt{3})^{-1} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\).
\[
\dfrac{2}{\sqrt{3}} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}
= \dfrac{4}{2\sqrt{3}} - \dfrac{3}{2\sqrt{3}}
= \dfrac{1}{2\sqrt{3}}.
\]
إذن
\[
L = \left(\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{2}
= \dfrac{1}{4 \times 3}
= \dfrac{1}{12}.
\]
احسب:
\[
K = \dfrac{(-2)^{7} \times (-6)^{5} \times (-3)^{10}}{18^{4} \times (-12)^{3}}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
فكّك الأعداد إلى عوامل أولية: \(6 = 2 \times 3\), \(18 = 2 \times 3^{2}\), \(12 = 2^{2} \times 3\).
2) فكرة الحل
اجمع أدلة \(2\) و\(3\) في البسط والمقام ثم اطرح أدلة نفس القاعدة، ولا تنس الإشارة النهائية.
3) التصحيح
في البسط:
\[
(-2)^{7} = -2^{7},\quad
(-6)^{5} = -(2^{5}3^{5}),\quad
(-3)^{10} = 3^{10}.
\]
إشارة البسط: \((-)\times(-)\times(+)=+\)، والقيمة:
\[
2^{7+5} \times 3^{5+10} = 2^{12} \times 3^{15}.
\]
في المقام:
\[
18^{4} = (2 \times 3^{2})^{4} = 2^{4}3^{8},\quad
(-12)^{3} = - (2^{2}3)^{3} = -2^{6}3^{3}.
\]
إشارة المقام سالبة، والقيمة المطلقة:
\[
2^{4+6}3^{8+3} = 2^{10}3^{11}.
\]
إذن
\[
K = - \dfrac{2^{12}3^{15}}{2^{10}3^{11}}
= - 2^{2}3^{4}
= -4 \times 81
= -324.
\]
احسب:
\[
N = (\sqrt{3})^{-1} \times \sqrt{21}
- \dfrac{(\sqrt{7})^{-2}}{(\sqrt{7})^{-5}}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \(\sqrt{21} = \sqrt{3}\sqrt{7}\) وقانون قسمة قوى لها نفس القاعدة.
2) فكرة الحل
بَسِّط الحد الأول باستغلال اختزال \(\sqrt{3}\)، ثم بَسِّط الكسر الثاني بجمع الأدلة.
3) التصحيح
\[
(\sqrt{3})^{-1} \times \sqrt{21}
= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3}\sqrt{7}
= \sqrt{7}.
\]
\[
\dfrac{(\sqrt{7})^{-2}}{(\sqrt{7})^{-5}}
= (\sqrt{7})^{-2 - (-5)}
= (\sqrt{7})^{3}
= 7\sqrt{7}.
\]
إذن
\[
N = \sqrt{7} - 7\sqrt{7}
= -6\sqrt{7}.
\]
احسب:
\[
M = (-2)^{-3} + \left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right)^{-2}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
تذكّر أن \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\) وأن مربع عدد سالب يعطي عدداً موجباً.
2) فكرة الحل
بَسِّط كل حد على حدة ثم اجمع الكسرين.
3) التصحيح
\[
(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^{3}} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}.
\]
\[
\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right)^{-2}
= \left(\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\right)^{2}
= \dfrac{9}{4 \times 2}
= \dfrac{9}{8}.
\]
\[
M = -\dfrac{1}{8} + \dfrac{9}{8}
= \dfrac{8}{8}
= 1.
\]
احسب:
\[
P = \left[(-\sqrt{5})^{-2}\right]^{3}
\times
\left[\left(\dfrac{1}{2\sqrt{5}}\right)^{-2} - (3\sqrt{5})^{2}\right]
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \((-\sqrt{5})^{-2} = (\sqrt{5})^{-2}\) و\(\left(\dfrac{1}{2\sqrt{5}}\right)^{-2} = (2\sqrt{5})^{2}\).
2) فكرة الحل
بَسِّط أولاً كل قوة، ثم احسب الفرق داخل القوس الثاني، ثم اضرب في القوة الأولى.
3) التصحيح
\[
(-\sqrt{5})^{-2} = (\sqrt{5})^{-2} = \dfrac{1}{5},
\quad
\left[(-\sqrt{5})^{-2}\right]^{3} = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{3}
= \dfrac{1}{125}.
\]
\[
\left(\dfrac{1}{2\sqrt{5}}\right)^{-2}
= (2\sqrt{5})^{2}
= 4 \times 5
= 20.
\]
\[
(3\sqrt{5})^{2} = 9 \times 5 = 45,
\quad
20 - 45 = -25.
\]
\[
P = \dfrac{1}{125} \times (-25)
= -\dfrac{25}{125}
= -\dfrac{1}{5}.
\]
احسب:
\[
O = 9 \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}
- 4 \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3} \times 27^{-1}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
تذكّر أن \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}\) وأن \(27^{-1} = \dfrac{1}{27}\).
2) فكرة الحل
بَسِّط كل عامل على حدة ثم نفّذ الضرب، وأخيراً قم بعملية الطرح بين الحدين.
3) التصحيح
\[
\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9},
\quad
9 \times \dfrac{4}{9} = 4.
\]
\[
\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3} = \dfrac{27}{8}.
\]
\[
4 \times \dfrac{27}{8} = \dfrac{108}{8} = \dfrac{27}{2},
\quad
\dfrac{27}{2} \times 27^{-1} = \dfrac{27}{2} \times \dfrac{1}{27}
= \dfrac{1}{2}.
\]
\[
O = 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}.
\]
القسم الثاني: تعابير فيها قوى وجذور وقوى العشرة
احسب:
\[
R = (2\sqrt{2} - \sqrt{7})^{153}
\times
(2\sqrt{2} + \sqrt{7})^{154}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
فكّر في استعمال المتطابقة \((a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}\) بعد تجميع الأدلة المشتركة.
2) فكرة الحل
استخرج عاملاً مشتركاً من الدرجة \(153\)، ثم بَسِّط باستعمال أن \((2\sqrt{2})^{2} - (\sqrt{7})^{2} = 1\).
3) التصحيح
\[
R
= (2\sqrt{2} - \sqrt{7})^{153}
(2\sqrt{2} + \sqrt{7})^{154}
= (2\sqrt{2} + \sqrt{7})
\left[(2\sqrt{2} - \sqrt{7})(2\sqrt{2} + \sqrt{7})\right]^{153}.
\]
\[
(2\sqrt{2} - \sqrt{7})(2\sqrt{2} + \sqrt{7})
= (2\sqrt{2})^{2} - (\sqrt{7})^{2}
= 8 - 7 = 1.
\]
إذن
\[
R = (2\sqrt{2} + \sqrt{7}) \times 1^{153}
= 2\sqrt{2} + \sqrt{7}.
\]
احسب:
\[
Q =
\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-2}
+ 2 \times \left(\dfrac{5}{3}\right)^{-1} \times 3^{-1}
- 5^{-2}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-2} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}\) و\(5^{-2} = \dfrac{1}{25}\).
2) فكرة الحل
بَسِّط كل حد إلى كسر مقامه \(25\)، ثم اجمع واطرح للحصول على كسر وحيد.
3) التصحيح
\[
\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-2}
= \left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}
= \dfrac{4}{25}.
\]
\[
\left(\dfrac{5}{3}\right)^{-1}
= \dfrac{3}{5},\quad
3^{-1} = \dfrac{1}{3},
\quad
2 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{3}
= 2 \times \dfrac{1}{5}
= \dfrac{2}{5}
= \dfrac{10}{25}.
\]
\[
5^{-2} = \dfrac{1}{25}.
\]
\[
Q = \dfrac{4}{25} + \dfrac{10}{25} - \dfrac{1}{25}
= \dfrac{13}{25}.
\]
احسب:
\[
T = 5^{-1}(\sqrt{3})^{2} + 10^{-1} - (\sqrt{17})^{0}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
تذكّر أن \(a^{0} = 1\) لأي \(a \neq 0\)، وأن \((\sqrt{3})^{2} = 3\).
2) فكرة الحل
حوِّل كل قوة إلى كسر اعتيادي ثم اجمعها على مقام مشترك.
3) التصحيح
\[
5^{-1} = \dfrac{1}{5},\quad
(\sqrt{3})^{2} = 3
\Rightarrow 5^{-1}(\sqrt{3})^{2} = \dfrac{3}{5}.
\]
\[
10^{-1} = \dfrac{1}{10},\quad
(\sqrt{17})^{0} = 1.
\]
\[
T = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{10} - 1
= \dfrac{6}{10} + \dfrac{1}{10} - \dfrac{10}{10}
= -\dfrac{3}{10}.
\]
احسب:
\[
S = -3 + 3(\sqrt{2})^{3} + (\sqrt{3})^{2} - (-\sqrt{3})^{3}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
لاحظ أن \((-\sqrt{3})^{3}\) يحافظ على الإشارة السالبة لأن دليل القوة فردي، و\((\sqrt{3})^{2} = 3\).
2) فكرة الحل
بَسِّط كل حد باستعمال خصائص القوى ثم اجمع الحدود العددية وحدود الجذور.
3) التصحيح
\[
(\sqrt{2})^{3} = 2\sqrt{2} \Rightarrow 3(\sqrt{2})^{3} = 6\sqrt{2}.
\]
\[
(\sqrt{3})^{2} = 3,\quad
(-\sqrt{3})^{3} = -3\sqrt{3}.
\]
\[
S = -3 + 6\sqrt{2} + 3 - (-3\sqrt{3})
= 6\sqrt{2} + 3\sqrt{3}.
\]
احسب:
\[
C =
\dfrac{3 \times 10^{-2}}{1.5 \times 10^{-4}}
- 2 \times 10^{2}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \(\dfrac{10^{a}}{10^{b}} = 10^{a-b}\)، واحسب \(\dfrac{3}{1.5}\) عددياً.
2) فكرة الحل
بَسِّط الكسر الأول إلى عدد مضروب في \(10^{\text{دليل}}\)، ثم اطرح \(2 \times 10^{2}\).
3) التصحيح
\[
\dfrac{3}{1.5} = 2,\quad
\dfrac{10^{-2}}{10^{-4}} = 10^{-2 - (-4)} = 10^{2}.
\]
\[
\dfrac{3 \times 10^{-2}}{1.5 \times 10^{-4}}
= 2 \times 10^{2}.
\]
\[
C = 2 \times 10^{2} - 2 \times 10^{2} = 0.
\]
احسب:
\[
B = \dfrac{25 \times 10^{2} \times 121}{11 \times 750 \times 3}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
لاحظ أن \(121 = 11^{2}\) وحاول الاختزال مع العامل \(11\) في المقام.
2) فكرة الحل
بَسِّط العدد العشري \(10^{2}\) إلى \(100\)، ثم اختزل قدر الإمكان قبل الحساب النهائي.
3) التصحيح
\[
25 \times 121 = 3025,\quad
3025 \times 10^{2} = 302500.
\]
\[
11 \times 750 \times 3 = 11 \times 2250 = 24750.
\]
\[
B = \dfrac{302500}{24750}
= \dfrac{6050}{495} \;\;(\text{بعد القسمة على } 50)
= \dfrac{1210}{99} \;\;(\text{بعد القسمة على } 5).
\]
يمكن ترك النتيجة على شكل كسر:
\[
B = \dfrac{1210}{99}.
\]
احسب:
\[
A =
7 \times 10^{12}
\times 4
\times \dfrac{10^{5}}{2}
\times 10^{-4}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
اجمع العوامل العددية معاً والعوامل من شكل \(10^{n}\) معاً، ثم بَسِّط.
2) فكرة الحل
حوِّل \(\dfrac{10^{5}}{2}\) إلى \(\dfrac{1}{2} \times 10^{5}\)، ثم اجمع الأدلة \(12 + 5 - 4\).
3) التصحيح
الجزء العددي:
\[
7 \times 4 \times \dfrac{1}{2} = 28 \times \dfrac{1}{2} = 14.
\]
الجزء ذو الأدلة:
\[
10^{12} \times 10^{5} \times 10^{-4}
= 10^{12+5-4}
= 10^{13}.
\]
إذن
\[
A = 14 \times 10^{13}
= 1.4 \times 10^{14}.
\]
القسم الثالث: خصائص القوى في \(\mathbb{R}\)
لدينا:
\[
a = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}
\times
\left(\dfrac{-3}{2}\right)^{-2}
\]
بيّن أن: \(\; a = \dfrac{2}{3}\).
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \(\left(\dfrac{p}{q}\right)^{-1} = \dfrac{q}{p}\) و\(\left(\dfrac{-3}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{2}{-3}\right)^{2}\).
2) فكرة الحل
حوِّل كل قوة ذات دليل سالب إلى قوة ذات دليل موجب مع قلب الكسر، ثم اضرب الكسرين و بَسِّط.
3) التصحيح
\[
\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1} = \dfrac{3}{2}.
\]
\[
\left(\dfrac{-3}{2}\right)^{-2}
= \left(\dfrac{2}{-3}\right)^{2}
= \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}
= \dfrac{4}{9}.
\]
\[
a = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{9}
= \dfrac{12}{18}
= \dfrac{2}{3}.
\]
لدينا:
\[
b = \dfrac{3^{-3} + 3^{-3} + 3^{-3}}{(0.03)^{2}}
\]
بيّن أن: \(\; b = \left(\dfrac{10}{3}\right)^{4}\).
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
لاحظ أن البسط هو مجموع ثلاث مرات للعدد نفسه \(3^{-3}\)، وأن \(0.03 = \dfrac{3}{100}\).
2) فكرة الحل
اجمع الحدود في البسط، ثم اكتب \(0.03\) على شكل كسر و حوِّله إلى قوة لعشرة وثلاثة، ثم بَسِّط.
3) التصحيح
\[
3^{-3} + 3^{-3} + 3^{-3} = 3 \times 3^{-3} = 3^{-2} = \dfrac{1}{9}.
\]
\[
0.03 = \dfrac{3}{100} = 3 \times 10^{-2}
\Rightarrow (0.03)^{2} = 9 \times 10^{-4}.
\]
\[
b = \dfrac{1/9}{9 \times 10^{-4}}
= \dfrac{1}{81} \times 10^{4}
= \dfrac{10^{4}}{3^{4}}
= \left(\dfrac{10}{3}\right)^{4}.
\]
لدينا:
\[
c = \dfrac{2^{-3} \times (\sqrt{2})^{18}
\times (\sqrt{5})^{6} \times (10^{-2})^{3}}{5^{-3}}
\]
بيّن أن: \(\; c = 1\).
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
اكتب \((\sqrt{2})^{18} = 2^{9}\), \((\sqrt{5})^{6} = 5^{3}\), و\(10^{-2} = 2^{-2}5^{-2}\).
2) فكرة الحل
حوِّل جميع الجذور إلى قوى لعدد صحيح، وحرّر \(10^{-2}\) إلى عوامل \(2\) و\(5\)، ثم بَسِّط الأدلة بالنسبة لكل قاعدة.
3) التصحيح
\[
2^{-3} \times (\sqrt{2})^{18}
= 2^{-3} \times 2^{9}
= 2^{6}.
\]
\[
(\sqrt{5})^{6} = 5^{3},\quad
(10^{-2})^{3} = 10^{-6} = (2 \times 5)^{-6} = 2^{-6}5^{-6}.
\]
بسط البسط:
\[
2^{6} \times 5^{3} \times 2^{-6}5^{-6}
= 2^{6-6}5^{3-6}
= 2^{0}5^{-3}
= 5^{-3}.
\]
في المقام \(5^{-3}\)، إذن
\[
c = \dfrac{5^{-3}}{5^{-3}} = 1.
\]
باستعمال النتائج السابقة لـ \(a\) و\(b\)، استنتج قيمة:
\[
\sqrt{a^{-4} \times b}
\]
حيث:
\[
a = \dfrac{2}{3},\quad b = \left(\dfrac{10}{3}\right)^{4}.
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
احسب أولاً \(a^{-4}\) باستعمال \(\left(\dfrac{p}{q}\right)^{-4} = \left(\dfrac{q}{p}\right)^{4}\)، ثم اضرب في \(b\).
2) فكرة الحل
بَسِّط \(a^{-4} \times b\) إلى قوة واحدة، ثم خُذ الجذر التربيعي باستعمال \(\sqrt{x^{2}} = |x|\).
3) التصحيح
\[
a = \dfrac{2}{3}
\Rightarrow
a^{-4} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-4}
= \left(\dfrac{3}{2}\right)^{4}
= \dfrac{81}{16}.
\]
\[
b = \left(\dfrac{10}{3}\right)^{4}
= \dfrac{10^{4}}{3^{4}}
= \dfrac{10000}{81}.
\]
\[
a^{-4} \times b
= \dfrac{81}{16} \times \dfrac{10000}{81}
= \dfrac{10000}{16}
= 625.
\]
\[
\sqrt{a^{-4} \times b}
= \sqrt{625}
= 25.
\]