القسم الأول: تمارين على الأدلة (الصورة 1)
احسب القيمة العددية للتعبير:
\[
O = 3^{-12} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{-14}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
نستعمل العلاقة \(\left(\frac{1}{a}\right)^n = a^{-n}\) ثم نجمع الأدلة لأن القاعدة نفسها \(3\).
2) فكرة الحل
نحول \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-14}\) إلى قوة لعدد \(3\)، ثم نطبق: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).
3) التصحيح
\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-14} = 3^{14}\) لأن \(\left(\frac{1}{a}\right)^n = a^{-n}\).
إذن \(O = 3^{-12} \times 3^{14}\).
باستعمال \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) نحصل على \(O = 3^{-12 + 14} = 3^{2}\).
وبالتالي \(O = 9\).
احسب القيمة العددية للتعبير:
\[
N = \dfrac{(\sqrt{5})^{-2}}{(-\sqrt{5})^{-7}}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
نتذكر أن \((-\sqrt{5})^{-7} = -(\sqrt{5})^{-7}\) لأن القوة ذات دليل فردي تحفظ الإشارة السالبة.
2) فكرة الحل
نكتب كل شيء على شكل قوى لـ\(\sqrt{5}\) ثم نستعمل قانون قسمة قوتين لهما نفس القاعدة.
3) التصحيح
لدينا \((\sqrt{5})^{-2} = \dfrac{1}{(\sqrt{5})^{2}} = \dfrac{1}{5}\).
كما أن \((-\sqrt{5})^{-7} = -(\sqrt{5})^{-7} = -\dfrac{1}{(\sqrt{5})^{7}}\).
إذن
\[
N = \dfrac{(\sqrt{5})^{-2}}{(-\sqrt{5})^{-7}}
= \dfrac{(\sqrt{5})^{-2}}{- (\sqrt{5})^{-7}}
= -(\sqrt{5})^{-2 - (-7)} = -(\sqrt{5})^{5}.
\]
وبالتالي \(N = -(\sqrt{5})^{5}\) (ويمكن ترك النتيجة على هذا الشكل).
احسب القيمة العددية للتعبير:
\[
M = \dfrac{5 \times 25^{-3} \times 10^{2}}{5^{-1} \times 2^{4}}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل أن \(25 = 5^{2}\) و \(10 = 2 \times 5\) لتوحيد القاعدتين \(5\) و\(2\).
2) فكرة الحل
نكتب جميع الأعداد كقوى لـ\(2\) و\(5\)، ثم نجمع ونطرح الأدلة مع الانتباه إلى عملية القسمة.
3) التصحيح
\(25^{-3} = (5^{2})^{-3} = 5^{-6}\) و \(10^{2} = (2 \times 5)^{2} = 2^{2} \times 5^{2}\).
بسطاً: \(5 \times 25^{-3} \times 10^{2} = 5^{1} \times 5^{-6} \times 5^{2} \times 2^{2} = 5^{-3} \times 2^{2}\).
مقاماً: \(5^{-1} \times 2^{4}\).
إذن
\[
M = \dfrac{5^{-3} \times 2^{2}}{5^{-1} \times 2^{4}}
= 5^{-3 - (-1)} \times 2^{2-4}
= 5^{-2} \times 2^{-2}.
\]
نحصل على
\[
M = \dfrac{1}{5^{2}} \times \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{25} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{100}.
\]
احسب القيمة العددية للتعبير:
\[
Q = \dfrac{(0.04)^{-3} \times (0.64)^{2}}{(0.12)^{-3} \times (0.48)^{2}}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
حوِّل الأعداد العشرية إلى كسور عشرية بسيطة: \(0.04 = \dfrac{4}{100}\), \(0.64 = \dfrac{64}{100}\), إلخ.
2) فكرة الحل
اكتب كل عدد على شكل كسر، ثم على شكل قوة لـ\(2\) و\(3\) إن أمكن، ثم بسط التعبير.
3) التصحيح
\(0.04 = \dfrac{4}{100} = \dfrac{1}{25}\), و\(0.64 = \dfrac{64}{100} = \dfrac{16}{25}\).
\(0.12 = \dfrac{12}{100} = \dfrac{3}{25}\), و\(0.48 = \dfrac{48}{100} = \dfrac{12}{25}\).
نعوّض في التعبير ثم نختزل (يمكن ترك التبسيط النهائي كتدريب إضافي للمتعلمين أو إتمامه حسب المستوى).
احسب القيمة العددية للتعبير:
\[
P = \dfrac{35^{-7} \times 75^{-4}}{21^{-5} \times 25^{-7}}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
فكّك الأعداد المركبة: \(35 = 5 \times 7\), \(75 = 3 \times 5^{2}\), \(21 = 3 \times 7\), \(25 = 5^{2}\).
2) فكرة الحل
حوِّل كل عدد إلى جداء عوامل أولية، ثم اجمع واطرح الأدلة بالنسبة لنفس القاعدة (3، 5، 7).
3) التصحيح
\(35^{-7} = (5 \times 7)^{-7} = 5^{-7} \times 7^{-7}\).
\(75^{-4} = (3 \times 5^{2})^{-4} = 3^{-4} \times 5^{-8}\).
\(21^{-5} = (3 \times 7)^{-5} = 3^{-5} \times 7^{-5}\) و \(25^{-7} = (5^{2})^{-7} = 5^{-14}\).
البسط: \(3^{-4} \times 5^{-7-8} \times 7^{-7} = 3^{-4} \times 5^{-15} \times 7^{-7}\).
المقام: \(3^{-5} \times 7^{-5} \times 5^{-14}\).
\[
P = 3^{-4-(-5)} \times 5^{-15-(-14)} \times 7^{-7-(-5)}
= 3^{1} \times 5^{-1} \times 7^{-2}.
\]
أي \(P = \dfrac{3}{5 \times 7^{2}} = \dfrac{3}{245}\).
احسب القيمة العددية للتعبير:
\[
C = \left[(-\sqrt{2})^{-3}\right]^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل القاعدة \((a^{m})^{n} = a^{mn}\) ثم \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^{2}\).
2) فكرة الحل
حوِّل جميع العبارات إلى قوى لعدد واحد ثم بسط الأدلة، مع الانتباه لإشارة العدد السالب.
3) التصحيح
\(\left[(-\sqrt{2})^{-3}\right]^2 = (-\sqrt{2})^{-6}\) لأن \((a^{m})^{n} = a^{mn}\).
وبما أن دليل القوة زوجي فإن \((- \sqrt{2})^{-6} = (\sqrt{2})^{-6}\).
كما أن \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^{2} = 4\).
إذن
\[
C = (\sqrt{2})^{-6} \times 4
= \dfrac{4}{(\sqrt{2})^{6}}
= \dfrac{4}{(2^{1/2})^{6}} = \dfrac{4}{2^{3}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}.
\]
احسب القيمة العددية للتعبير:
\[
B = (2^{3})^{-2} \times 2^{5}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل القاعدة \((a^{m})^{n} = a^{mn}\) ثم اجمع الأدلة لأن القاعدة نفسها \(2\).
2) فكرة الحل
حوّل \((2^{3})^{-2}\) إلى قوة لـ\(2\) ثم طبق \(a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}\).
3) التصحيح
\((2^{3})^{-2} = 2^{3 \times (-2)} = 2^{-6}\).
إذن \(B = 2^{-6} \times 2^{5} = 2^{-6+5} = 2^{-1}\).
وبالتالي \(B = \dfrac{1}{2}\).
احسب القيمة العددية للتعبير:
\[
A = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \times \left(\frac{-2}{5}\right)^{2}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
لاحظ أن \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2} = 5^{2}\) وأن مربّع عدد سالب يعطي نتيجة موجبة.
2) فكرة الحل
حوّل الكسر ذي دليل القوة السالب إلى قوة موجبة، واحسب مربع الكسر الثاني، ثم بسط الناتج.
3) التصحيح
\(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2} = \left(5^{-1}\right)^{-2} = 5^{2} = 25\).
\(\left(\dfrac{-2}{5}\right)^{2} = \dfrac{(-2)^{2}}{5^{2}} = \dfrac{4}{25}\).
إذن
\[
A = 25 \times \dfrac{4}{25} = 4.
\]
القسم الثاني: تمارين إضافية على الأدلة والجذور (الصور 2 و 3)
احسب:
\[
J = \left[(-7)^{-1}\right]^{-2} \times \left(\frac{1}{7}\right)^{-2}
+ \dfrac{1}{3^{-2}} \times \left(\frac{3}{7}\right)^{-1}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \((a^{m})^{n} = a^{mn}\) و \(\left(\dfrac{1}{a}\right)^{n} = a^{-n}\) و \(\dfrac{1}{a^{-n}} = a^{n}\).
2) فكرة الحل
بَسِّط كل جزء على حدة ثم اجمع النتيجتين للحصول على القيمة النهائية لـ\(J\).
3) التصحيح
\(\left[(-7)^{-1}\right]^{-2} = (-7)^{-1 \times (-2)} = (-7)^{2} = 49\).
\(\left(\dfrac{1}{7}\right)^{-2} = 7^{2} = 49\) إذن الجزء الأول: \(49 \times 49 = 2401\).
\(\dfrac{1}{3^{-2}} = 3^{2} = 9\) و\(\left(\dfrac{3}{7}\right)^{-1} = \dfrac{7}{3}\).
الجزء الثاني: \(9 \times \dfrac{7}{3} = 3 \times 7 = 21\).
بالتالي \(J = 2401 + 21 = 2422\).
احسب:
\[
I = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \times \frac{1}{9} \times
\left[\left(\frac{-3}{2}\right)^{-2} + \frac{5}{9}\right]
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
¹) مؤشر
اعلم أن \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3} = 3^{3}\) وأن \(\left(\dfrac{-3}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{2}{-3}\right)^{2}\).
²) فكرة الحل
بَسِّط الجزء داخل القوس أولاً، ثم اضرب النتائج بالترتيب مع الحفاظ على الكسور في صورة مبسطة.
³) التصحيح
\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3} = 3^{3} = 27\) و\(\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3^{2}}\).
داخل القوس:
\[
\left(\dfrac{-3}{2}\right)^{-2}
= \left(\dfrac{2}{-3}\right)^{2}
= \dfrac{4}{9}.
\]
إذن:
\[
\left(\dfrac{-3}{2}\right)^{-2} + \dfrac{5}{9}
= \dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{9}{9} = 1.
\]
نحصل على:
\[
I = 27 \times \dfrac{1}{9} \times 1 = 3.
\]
احسب:
\[
L = (-\sqrt{2})^{5} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \times 3(\sqrt{3})^{3}
- \frac{1}{4} \left[\sqrt{2} + 4(\sqrt{3})^{2}\right]
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
لاحظ أن \((-\sqrt{2})^{5}\) يحتفظ بالإشارة السالبة (دليل فردي)، وأن \((\sqrt{3})^{2} = 3\).
2) فكرة الحل
بَسِّط كل حد على حدة: حد الجذور من الدرجة الثانية، ثم حد الجذور من الدرجة الثالثة، ثم أجر عمليات الجمع والطرح.
3) التصحيح
\((-\sqrt{2})^{5} = -(\sqrt{2})^{5} = -2^{5/2}\).
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\) و\((\sqrt{3})^{3} = (\sqrt{3})^{2} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\).
الحد الثاني: \(\dfrac{1}{4} \times 3 \times 3\sqrt{3} = \dfrac{9}{4}\sqrt{3}\).
في القوس الأخير: \((\sqrt{3})^{2} = 3\) إذن \(\sqrt{2} + 4(\sqrt{3})^{2} = \sqrt{2} + 12\).
الحد الثالث: \(\dfrac{1}{4}(\sqrt{2} + 12) = \dfrac{\sqrt{2}}{4} + 3\).
إذن
\[
L = -2^{5/2} + \dfrac{9}{4}\sqrt{3} - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} + 3\right)
\]
(يمكن تركه في هذا الشكل المبسط أو المتابعة حسب مستوى التلميذ).
احسب:
\[
K = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{-2} + \left(\frac{-5}{3}\right)^{-1} + (-\sqrt{5})^{-4}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}\) و\((-a)^{-4} = a^{-4}\) لأن دليل القوة زوجي.
2) فكرة الحل
بَسِّط كل حد على حدة إلى صورة كسر بدون أدلة سالبة، ثم اجمع الكسور.
3) التصحيح
\[
\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2} = \dfrac{4}{5}.
\]
\[
\left(\dfrac{-5}{3}\right)^{-1} = \dfrac{3}{-5} = -\dfrac{3}{5}.
\]
\[
(-\sqrt{5})^{-4} = (\sqrt{5})^{-4} = \dfrac{1}{(\sqrt{5})^{4}} = \dfrac{1}{25}.
\]
بجمع الحدين الأول والثاني: \(\dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{5}\).
ثم \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{25} = \dfrac{5}{25} + \dfrac{1}{25} = \dfrac{6}{25}\).
إذن \(K = \dfrac{6}{25}\).
احسب:
\[
A = \dfrac{7^{4} \times (7^{-2})^{3}}{7^{-5}}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
لاحظ وجود نفس القاعدة \(7\)، واستعمل \((a^{m})^{n} = a^{mn}\) ثم قانون قسمة قوى لها نفس القاعدة.
2) فكرة الحل
حوّل \((7^{-2})^{3}\) إلى \(7^{\text{عدد}}\)، ثم اجمع الأدلة في البسط، وبعدها اطرح دليل المقام.
3) التصحيح
\((7^{-2})^{3} = 7^{-6}\).
البسط: \(7^{4} \times 7^{-6} = 7^{4 + (-6)} = 7^{-2}\).
إذن
\[
A = \dfrac{7^{-2}}{7^{-5}} = 7^{-2 - (-5)} = 7^{3}.
\]
وبالتالي \(A = 343\).
احسب:
\[
B = \dfrac{11 \times 4^{-3} \times 22^{2}}{2^{-2} \times 11^{3}}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
اكتب \(4 = 2^{2}\) و\(22 = 2 \times 11\)، ثم بسط الأدلة بالنسبة لـ\(2\) و\(11\).
2) فكرة الحل
حوّل كل شيء لقوى لـ\(2\) و\(11\)، ثم استعمل قواعد جمع وطرح الأدلة في الضرب والقسمة.
3) التصحيح
\(4^{-3} = (2^{2})^{-3} = 2^{-6}\) و\(22^{2} = (2 \times 11)^{2} = 2^{2} \times 11^{2}\).
البسط: \(11^{1} \times 11^{2} \times 2^{-6 + 2} = 11^{3} \times 2^{-4}\).
المقام: \(2^{-2} \times 11^{3}\).
إذن
\[
B = \dfrac{11^{3} \times 2^{-4}}{2^{-2} \times 11^{3}}
= 2^{-4 - (-2)} = 2^{-2}.
\]
وبالتالي \(B = \dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac{1}{4}\).
احسب:
\[
C = 2^{-4} \times (2\sqrt{2})^{3}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
فكّك \((2\sqrt{2})^{3}\) إلى \(2^{3} \times (\sqrt{2})^{3}\) ثم اكتب \(\sqrt{2}\) على شكل قوة لـ\(2\).
2) فكرة الحل
استعمل \((ab)^{n} = a^{n}b^{n}\) و \((2^{1/2})^{3} = 2^{3/2}\) ثم جمع الأدلة.
3) التصحيح
\((2\sqrt{2})^{3} = 2^{3} \times (\sqrt{2})^{3} = 2^{3} \times (2^{1/2})^{3} = 2^{3} \times 2^{3/2} = 2^{9/2}\).
إذن
\[
C = 2^{-4} \times 2^{9/2} = 2^{-4 + 9/2} = 2^{1/2} = \sqrt{2}.
\]
احسب:
\[
D = \left(\frac{-3}{2}\right)^{-2} \times \left(\frac{3}{2}\right)^{-3} \times \frac{27}{8}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \(\left(\dfrac{-3}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{2}{-3}\right)^{2}\) و \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\).
2) فكرة الحل
حوّل العبارات إلى كسور اعتيادية ثم بَسِّط خطوة خطوة مع اختزال العوامل المشتركة.
3) التصحيح
\(\left(\dfrac{-3}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{2}{-3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}\).
\(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} = \dfrac{8}{27}\).
إذن
\[
D = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{8}{27} \times \dfrac{27}{8}.
\]
نختزل \(\dfrac{8}{27} \times \dfrac{27}{8} = 1\)، فيبقى:
\[
D = \dfrac{4}{9}.
\]
احسب:
\[
E = \left(\frac{5}{8}\right)^{5} \times \left(\frac{-5}{4}\right)^{-5}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \(\left(\dfrac{-5}{4}\right)^{-5} = \left(\dfrac{4}{-5}\right)^{5}\) ثم لاحظ أن دليل القوة فردي يحافظ على الإشارة.
2) فكرة الحل
اجعل كل تعبير على شكل قوة لكسر، ثم اضرب الكسرين معاً وبَسِّط النتيجة النهائية.
3) التصحيح
\(\left(\dfrac{-5}{4}\right)^{-5} = \left(\dfrac{4}{-5}\right)^{5} = -\left(\dfrac{4}{5}\right)^{5}\).
إذن
\[
E = \left(\dfrac{5}{8}\right)^{5} \times \left[-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{5}\right]
= -\left(\dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{5}\right)^{5}.
\]
\(\dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\)، إذن
\[
E = -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5} = -\dfrac{1}{32}.
\]
احسب:
\[
F = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-2} \times 3^{-1}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-2} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}\) ثم بَسِّط القوى.
2) فكرة الحل
حوّل الكسر الأول إلى قوة موجبة مع قلبه، ثم اضرب الناتج في \(3^{-1}\) واختزل.
3) التصحيح
\(\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{-2} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = \dfrac{3}{4}\).
إذن
\[
F = \dfrac{3}{4} \times 3^{-1} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{4}.
\]
احسب:
\[
G = \left[(-\sqrt{2})^{3}\right]^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \((a^{m})^{n} = a^{mn}\) و\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^{2}\) تماماً كما في تمرين \(C\).
2) فكرة الحل
بَسِّط القوة المركبة ثم حوِّل الجذر إلى قوة لـ\(2\)، وبعد ذلك اجمع الأدلة.
3) التصحيح
\(\left[(-\sqrt{2})^{3}\right]^{2} = (-\sqrt{2})^{6} = (\sqrt{2})^{6}\) لأن دليل القوة زوجي.
\((\sqrt{2})^{6} = (2^{1/2})^{6} = 2^{3} = 8\).
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^{2} = 4\).
إذن \(G = 8 \times 4 = 32\).
احسب:
\[
H = \dfrac{5 \times 25^{-3} \times 15^{2}}{5^{-2} \times 3^{3}}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \(25 = 5^{2}\) و\(15 = 3 \times 5\) لتوحيد القواعد ثم بَسِّط.
2) فكرة الحل
حوِّل الأعداد المركبة إلى قوى لـ\(3\) و\(5\)، ثم طبِّق قواعد الأدلة في الضرب والقسمة.
3) التصحيح
\(25^{-3} = (5^{2})^{-3} = 5^{-6}\) و\(15^{2} = (3 \times 5)^{2} = 3^{2} \times 5^{2}\).
البسط: \(5^{1} \times 5^{-6} \times 5^{2} \times 3^{2} = 5^{-3} \times 3^{2}\).
المقام: \(5^{-2} \times 3^{3}\).
إذن
\[
H = \dfrac{5^{-3} \times 3^{2}}{5^{-2} \times 3^{3}}
= 5^{-3 - (-2)} \times 3^{2-3}
= 5^{-1} \times 3^{-1}.
\]
أي
\[
H = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{15}.
\]
احسب:
\[
I = \sqrt{2}^{\,4} - \sqrt{2}^{\,-4}
\]
(مع فهم أن \(\sqrt{2}^{\,4} = (\sqrt{2})^{4}\) و \(\sqrt{2}^{\,-4} = (\sqrt{2})^{-4}\))
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
اكتب \(\sqrt{2}\) على شكل \(2^{1/2}\)، ثم طبِّق قواعد الأدلة.
2) فكرة الحل
احسب أولاً \((\sqrt{2})^{4}\) و\((\sqrt{2})^{-4}\) ثم أجر عملية الطرح بينهما.
3) التصحيح
\((\sqrt{2})^{4} = (2^{1/2})^{4} = 2^{2} = 4\).
\((\sqrt{2})^{-4} = (2^{1/2})^{-4} = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}\).
إذن
\[
I = 4 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{16}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{4}.
\]
احسب:
\[
J = 5 \times \left(\dfrac{2^{3}}{5}\right)^{-1} + \left[(-\sqrt{2})^{-2}\right]^{3}
\]
➕ إظهار/إخفاء التصحيح
1) مؤشر
استعمل \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} = \dfrac{b}{a}\) و \((-\sqrt{2})^{-2} = (\sqrt{2})^{-2}\) لأن دليل القوة زوجي.
2) فكرة الحل
بَسِّط الحد الأول ككسر بدون دليل سالب، ثم بَسِّط القوة المركبة في الحد الثاني، وبعدها اجمع النتيجتين.
3) التصحيح
\[
\left(\dfrac{2^{3}}{5}\right)^{-1} = \dfrac{5}{2^{3}} = \dfrac{5}{8}.
\]
الجزء الأول: \(5 \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{25}{8}\).
\((-\sqrt{2})^{-2} = (\sqrt{2})^{-2} = \dfrac{1}{(\sqrt{2})^{2}} = \dfrac{1}{2}\).
إذن
\[
\left[(-\sqrt{2})^{-2}\right]^{3} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = \dfrac{1}{8}.
\]
وأخيراً:
\[
J = \dfrac{25}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{26}{8} = \dfrac{13}{4}.
\]