MathPath | قوى الأعداد - المستوى 9

🌱 المستوى 1: الجذور التربيعية والكسور

سنتعلم تبسيط الجذور والعمل مع الكسور المعقدة!

🔍 تبسيط الجذور التربيعية

مثال 1: بسّط \( \sqrt{50} \)
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)

مثال 2: بسّط \( \sqrt{72} \)
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \)

مثال 3: بسّط \( \sqrt{48} \)
\( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \)

\[ \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \]

📐 الجذور مع الكسور

مثال 4: \( \displaystyle \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \)

مثال 5: \( \displaystyle \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{4} = 2 \)

🎮 نشاط تفاعلي

بسّط: \( \sqrt{32} = \)

بسّط: \( \sqrt{75} = \)

بسّط: \( \displaystyle \sqrt{\frac{16}{49}} = \)

❌ أخطاء شائعة

❌ \( \sqrt{50} \neq 25 \)
✔️ \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
❌ \( \sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} \)

💡 مساعدة

💡 مؤشر 1: \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \)

💡 مؤشر 2: \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \)

💡 مؤشر 3: \( \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7} \)

⚡ المستوى 2: الأدلة السالبة والكسور

سنتقن الأدلة السالبة مع الكسور!

🔍 الأدلة السالبة

مثال 1: \( \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4} \)

مثال 2: \( \displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{5}\right)^{3} = \frac{8}{125} \)

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \]

🔢 تبسيط معقد

مثال 3: \( \displaystyle \frac{2^{-3} \times 2^5}{2^{-1}} = 2^{-3+5+1} = 2^3 = 8 \)

مثال 4: \( (0{,}1)^{-3} = (10^{-1})^{-3} = 10^3 = 1000 \)

🎮 نشاط تفاعلي

احسب: \( \displaystyle \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \)

احسب: \( 5^{-2} \times 5^4 \times 5^{-1} = \)

احسب: \( (0{,}01)^{-2} = \)

❌ أخطاء شائعة

❌ \( 2^{-3} = -8 \) ← خطأ!
✔️ \( 2^{-3} = \frac{1}{8} = 0{,}125 \)

💡 مساعدة

💡 مؤشر 1: \( \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \frac{16}{9} \)

💡 مؤشر 2: \( 5^{-2+4-1} = 5^1 = 5 \)

💡 مؤشر 3: \( (0{,}01)^{-2} = (10^{-2})^{-2} = 10^4 = 10000 \)

🔄 المستوى 3: جذور + أدلة سالبة

سنجمع بين الجذور والأدلة السالبة!

🔍 تعابير مركبة

مثال 1: \( \displaystyle \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 \)

مثال 2: \( (\sqrt{5})^{-2} \times 5^3 = 5^{-1} \times 5^3 = 5^2 = 25 \)

مثال 3: \( \displaystyle \frac{\sqrt{50}}{2^{-1}} = 5\sqrt{2} \times 2 = 10\sqrt{2} \)

🎮 نشاط تفاعلي

بسّط: \( \displaystyle \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \)

بسّط: \( (\sqrt{3})^{-2} \times 3^4 = \)

بسّط: \( \displaystyle \frac{\sqrt{72}}{3^{-1}} = \)

❌ أخطاء شائعة

❌ \( (\sqrt{2})^{-1} \neq -\sqrt{2} \)
✔️ \( (\sqrt{2})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

💡 مساعدة

💡 مؤشر 1: \( \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{16} = 4 \)

💡 مؤشر 2: \( 3^{-1} \times 3^4 = 3^3 = 27 \)

💡 مؤشر 3: \( \frac{6\sqrt{2}}{3^{-1}} = 18\sqrt{2} \)