المقدمة
الجداءات المشهورة هي صيغ جبرية خاصة تظهر بشكل متكرر في الرياضيات. معرفتها تساعدنا على حساب أسرع وأكثر دقة، وتسهل علينا حل المسائل المعقدة. في هذا الدرس، سنتعلم ثلاث صيغ أساسية ونتدرب على استخدامها.
🎯 نشاط الاكتشاف
موقف من الحياة اليومية
لديك قطعة أرض مربعة طول ضلعها \( x \) متر. قررت توسيعها بمقدار 3 أمتار من كل جانب.
المساحة الجديدة = \( (x + 3)^2 \)
🤔 كيف يمكن حساب المساحة الجديدة دون استخدام الآلة الحاسبة في كل مرة؟
الهدف التعليمي
تعلم صيغة رياضية خاصة تسمح لنا بتوسيع \( (a + b)^2 \) بسرعة:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
هذه واحدة من ثلاث جداءات مشهورة سنتعلمها اليوم!
📘 القواعد الثلاث
1️⃣ مربع مجموع
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
خطوات التطوير:
- مربع الحد الأول: \( a^2 \)
- ضعف جداء الحدين: \( 2ab \)
- مربع الحد الثاني: \( b^2 \)
💡 مفهوم بصري:
تخيل مربعاً طول ضلعه \( a+b \). مساحته تساوي مجموع أربع مناطق!
تخيل مربعاً طول ضلعه \( a+b \). مساحته تساوي مجموع أربع مناطق!
2️⃣ مربع فرق
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
خطوات التطوير:
- مربع الحد الأول: \( a^2 \)
- ناقص ضعف جداء الحدين: \( -2ab \)
- مربع الحد الثاني: \( b^2 \)
⚠️ انتباه:
الحد الأوسط سالب! لا تنسى إشارة الناقص.
الحد الأوسط سالب! لا تنسى إشارة الناقص.
3️⃣ فرق مربعين
\( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)
خطوات التطوير:
- مربع الحد الأول: \( a^2 \)
- ناقص مربع الحد الثاني: \( b^2 \)
🎯 خاصية مميزة:
جداء مجموع وفرق يعطي فرق المربعين فقط!
جداء مجموع وفرق يعطي فرق المربعين فقط!
📝 التمارين التفاعلية
التمرين 1
10 نقاط
طوّر التعبير التالي باستخدام الجداء المشهور المناسب:
\( (x + 5)^2 \)
💡 المستوى 1: مؤشر
استخدم صيغة مربع المجموع: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
📋 المستوى 2: المنهجية
الخطوات:
1. حدد \( a = x \) و \( b = 5 \)
2. احسب \( a^2 = x^2 \)
3. احسب \( 2ab = 2 \times x \times 5 = 10x \)
4. احسب \( b^2 = 25 \)
5. اجمع النتائج
1. حدد \( a = x \) و \( b = 5 \)
2. احسب \( a^2 = x^2 \)
3. احسب \( 2ab = 2 \times x \times 5 = 10x \)
4. احسب \( b^2 = 25 \)
5. اجمع النتائج
✅ المستوى 3: الحل الكامل
\( (x+5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 \)
\( = x^2 + 10x + 25 \)
\( = x^2 + 10x + 25 \)
التمرين 2
10 نقاط
طوّر التعبير التالي:
\( (2x - 3)^2 \)
💡 المستوى 1: مؤشر
هذا مربع فرق! استخدم: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
📋 المستوى 2: المنهجية
الخطوات:
1. \( a = 2x \) و \( b = 3 \)
2. \( a^2 = (2x)^2 = 4x^2 \)
3. \( 2ab = 2 \times 2x \times 3 = 12x \)
4. \( b^2 = 9 \)
5. النتيجة: \( 4x^2 - 12x + 9 \)
1. \( a = 2x \) و \( b = 3 \)
2. \( a^2 = (2x)^2 = 4x^2 \)
3. \( 2ab = 2 \times 2x \times 3 = 12x \)
4. \( b^2 = 9 \)
5. النتيجة: \( 4x^2 - 12x + 9 \)
✅ المستوى 3: الحل الكامل
\( (2x-3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + 3^2 \)
\( = 4x^2 - 12x + 9 \)
\( = 4x^2 - 12x + 9 \)
التمرين 3
15 نقاط
أي من التعبيرات التالية يساوي \( x^2 - 16 \)؟
\( (x+4)^2 \)
\( (x-4)^2 \)
\( (x+4)(x-4) \)
\( (x-16)^2 \)
💡 المستوى 1: مؤشر
ابحث عن فرق مربعين: \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)
التمرين 4
15 نقاط
أكمل الفراغ في التعبير التالي:
\( (3x + ...)^2 = 9x^2 + 30x + 25 \)
💡 المستوى 1: مؤشر
انظر إلى الحد الأخير: \( b^2 = 25 \)، إذن \( b = ? \)
📋 المستوى 2: المنهجية
من \( b^2 = 25 \)، نستنتج \( b = 5 \)
يمكنك التحقق: \( 2ab = 2(3x)(5) = 30x \) ✓
يمكنك التحقق: \( 2ab = 2(3x)(5) = 30x \) ✓
التمرين 5 - السرعة
⏱️ 30 ثانية
احسب قيمة \( 101^2 \) باستخدام الجداء المشهور (دون آلة حاسبة!)
💡 المستوى 1: مؤشر
اكتب \( 101 = 100 + 1 \) ثم استخدم \( (a+b)^2 \)
✅ الحل الكامل
\( 101^2 = (100+1)^2 \)
\( = 100^2 + 2(100)(1) + 1^2 \)
\( = 10000 + 200 + 1 = 10201 \)
\( = 100^2 + 2(100)(1) + 1^2 \)
\( = 10000 + 200 + 1 = 10201 \)
👹 تحدي البطل
هل أنت مستعد للتحدي النهائي؟
طوّر ثم بسّط التعبير التالي:
\( (2x+3)^2 - (2x-3)^2 \)
💡 مؤشر
طوّر كل مربع على حدة، ثم اطرح واجمع الحدود المتشابهة
✅ الحل الكامل
\( (2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9 \)
\( (2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 \)
الفرق: \( 4x^2 + 12x + 9 - (4x^2 - 12x + 9) \)
\( = 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 + 12x - 9 \)
\( = 24x \)
\( (2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 \)
الفرق: \( 4x^2 + 12x + 9 - (4x^2 - 12x + 9) \)
\( = 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 + 12x - 9 \)
\( = 24x \)
🎉 أحسنت! لقد أتممت الدرس
0%
عدد المحاولات: 0