نشاط تمهيدي لاكتشاف جداءات شهيرة

نشاط استكشافي يعتمد على الملاحظة، التجريب، وطرح الفرضيات قبل تعميم القاعدة.

مستوى: بداية العمل على الجداءات الشهيرة

فكرة النشاط

في هذا النشاط لن نذكر القاعدة مباشرة. سنستعمل الأعداد والمستطيلات لنكتشف معًا تعبيرًا مختصرًا لكتابات من الشكل \((a + b)^2\).

نشاط استكشافي
مقارنة نتائج عددية
تفسير هندسي لمساحة مربع
1. تجربة عددية: ماذا تلاحظ؟
نشاط 1

احسب قيم التعابير التالية كلّ مرة بطريقتين:

  1. \((2 + 3)^2\) ثم \(2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 3^2\)
  2. \((4 + 1)^2\) ثم \(4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 1 + 1^2\)
  3. \((5 + 2)^2\) ثم \(5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2 + 2^2\)
  4. \((7 + 3)^2\) ثم \(7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 3 + 3^2\)
الناتج الأول \((a + b)^2\)
الناتج الثاني \(a^2 + 2ab + b^2\)

بعد إنجاز الحسابات، أجب:

سؤال: ماذا تلاحظ بين النتيجة الأولى والنتيجة الثانية في كل سطر؟ هل هما متساويتان دائمًا؟
تذكير: استعمل آلة حاسبة للتحقق من النتائج إذا لزم الأمر.
2. تفسير هندسي: مساحة مربع
نشاط 2

اعتبر مربعًا طول ضلعه \((a + b)\). نقسم هذا المربع إلى أربعة مستطيلات أصغر كما في الشكل:

المساحة: \(a^2\)
المساحة: \(ab\)
المساحة: \(ab\)
المساحة: \(b^2\)

نعرف ما يلي:

  • مساحة المربع الكبير هي \((a + b)^2\).
  • مساحة المستطيل الأخضر هي \(a^2\).
  • مساحة المستطيل الأزرق هي \(b^2\).
  • مساحة كل مستطيل أصفر هي \(ab\).
أكمل: مساحة المربع الكبير تساوي مجموع مساحات الأشكال الأربع. إذن: \[ (a + b)^2 = \; \ldots + \ldots + \ldots + \ldots \] عوِّض القيم المناسبة في الفارغات.
انظر إلى المسميات داخل كل جزء من المربع.
3. نحو قاعدة عامة
تعميم

استعن بنتائج النشاطين السابقين (الحساب العددي والتفسير الهندسي) للإجابة عن السؤال:

سؤال: كيف يمكن كتابة \((a + b)^2\) باستعمال مجموع جداءات أبسط؟ حاول صياغة القاعدة بكلماتك:

"مربع مجموع عددين يساوي ..."

النتيجة العامة:
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] يمكن قراءة القاعدة كما يلي:
«مربع مجموع عددين يساوي مربع الأول زائد ضعف جداء العددين زائد مربع الثاني.»