ارسم مثلثاً \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، وعيّن \(I\) منتصف \([BC]\).
المستقيم المار من \(A\) والموازي لـ \((BC)\) يقطع المستقيم المار من \(I\) والموازي لـ \((AB)\) في النقطة \(L\).
1) بيّن أن \(ABIL\) متوازي أضلاع.
لدينا حسب المعطيات:
\((AL) // (BC)\) إذن \((AL) // (BI)\) (لأن \(I \in [BC]\)).
\((IL) // (AB)\).
بما أن في الرباعي \(ABIL\) كل ضلعين متقابلين متوازيان، فهو **متوازي أضلاع**.
2) بيّن أن \((AI) \perp (BC)\).
في المثلث \(ABC\) المتقايس الضلعين في \(A\):
بما أن \(I\) هي منتصف القاعدة \([BC]\)، فإن المستقيم \((AI)\) هو الموسط الصادر من القمة الرئيسية.
في المثلث متقايس الضلعين، الموسط الصادر من القمة الرئيسية هو أيضاً ارتفاع، إذن **\((AI) \perp (BC)\)**.
3) بيّن أن \(AJCI\) مستطيل.
بما أن \((AI) \perp (BC)\)، فإن الزاوية \(\widehat{AIC} = 90^\circ\).
وحسب خصائص التوازي والبناء (بفرض أن \(J\) هي النقطة المتممة للرباعي)، فإن متوازي الأضلاع الذي يحتوي على زاوية قائمة هو **مستطيل**.
4) المستقيم \((AC)\) يقطع \((LI)\) في \(M\). المستقيم المار من \(I\) والموازي لـ \((AC)\) يقطع \((AB)\) في \(N\). بيّن أن \(AMIN\) معين.
لدينا \((IM) // (AN)\) و \((IN) // (AM)\)، إذن \(AMIN\) متوازي أضلاع.
وبما أن المستقيم \((AI)\) هو منصف للزاوية (حسب خصائص المثلث متقايس الضلعين)، فإن متوازي الأضلاع الذي يكون قطره منصفاً لزاويته هو **معين**.