المضاعف المشترك الأصغر (PPCM)

نشاط استكشافي لفهم الطريقة قبل حفظ القاعدة

🎯 وضعية مشكلة

لدينا نوعان من العلب:

نريد شراء أقل عدد ممكن من الأقلام والدفاتر، بحيث يمكن توزيعها بالتساوي دون بقايا.

ما هو أصغر عدد يمكن أن يقبل القسمة على 12 و 18 معًا؟

🔍 التحليل إلى جداء عوامل أولية

\(12 = 2^2 \times 3\)

\(18 = 2 \times 3^2\)

🤔 تفكير

لكي يكون عدد ما قابلاً للقسمة على 12، يجب أن يحتوي على:

على الأقل \(2^2\) و \(3^1\)

ولكي يكون العدد نفسه قابلاً للقسمة على 18، يجب أن يحتوي على:

على الأقل \(2^1\) و \(3^2\)

نحن لا نبحث عن عدد كبير بلا سبب، ولا نريد عددًا ينقصه عامل.

نريد أصغر عدد يحتوي على ما يكفي ليقبل القسمة على 12 و 18 في نفس الوقت.

❓ لماذا لا نأخذ أسًا أصغر؟

إذن يجب أن نأخذ عدد مرات الظهور الكافي لإرضاء العددين معًا.

🎓 الاستنتاج

نأخذ كل عامل أولي بعدد مرات يكفي للعددين:

للعامل 2: max(2,1) = 2 → \(2^2\)
للعامل 3: max(1,2) = 2 → \(3^2\)

\[ PPCM(12,18)=2^2\times3^2=4\times9=36 \]

📐 القاعدة العامة

  1. نحلل كل عدد إلى جداء عوامل أولية
  2. نأخذ كل عامل أولي موجود في أحد العددين
  3. نأخذ كل عامل بأكبر أس له
  4. نضرب العوامل للحصول على PPCM

بعبارة أخرى:

نأخذ من كل عامل أولي ما يكفي ليكون العدد قابلاً للقسمة على العددين.

🧠 تحقق من فهمك

لماذا نأخذ \(2^2\) وليس \(2^1\) ؟
ولماذا نأخذ \(3^2\) وليس \(3^1\) ؟

حاول الإجابة دون استعمال كلمة « أكبر ».