المضاعف المشترك الأصغر

PPCM - Plus Petit Commun Multiple

📹 شاهد الفيديو التعليمي

المستوى 1: اكتشاف المضاعفات المشتركة (12 و 18)

الخطوة 1: انقر على مضاعفات 12

اختر جميع مضاعفات العدد 12 من القائمة:

الخطوة 2: انقر على مضاعفات 18

اختر جميع مضاعفات العدد 18 من القائمة:

الخطوة 3: انقر على المضاعفات المشتركة لـ 12 و 18

اختر الأعداد التي هي مضاعفات مشتركة لكل من 12 و 18:

الخطوة 4: ما هو أصغر مضاعف مشترك؟

باستثناء 0، ما هو أصغر مضاعف مشترك للعددين 12 و 18؟

المستوى 2: تطبيق على 25 و 15

الخطوة 1: انقر على مضاعفات 25

اختر جميع مضاعفات العدد 25 من القائمة:

الخطوة 2: انقر على مضاعفات 15

اختر جميع مضاعفات العدد 15 من القائمة:

الخطوة 3: انقر على المضاعفات المشتركة لـ 25 و 15

اختر المضاعفات المشتركة للعددين 25 و 15:

الخطوة 4: تحديد PPCM(25, 15)

ما هو المضاعف المشترك الأصغر (PPCM) للعددين 25 و 15؟

المستوى 3: اكتشاف طريقة حساب PPCM

🎯 مشكلة تنظيمية

يريد الأستاذ تنظيم تلاميذ الصف في مجموعات. لديه صندوقان:

الصندوق الأول: يحتوي على أقلام رصاص، كل علبة تحتوي على 12 قلما
الصندوق الثاني: يحتوي على دفاتر، كل حزمة تحتوي على 18 دفترا

يريد توزيع جميع الأقلام وجميع الدفاتر بالتساوي على مجموعات، بحيث:

كل مجموعة تحصل على نفس عدد الأقلام
كل مجموعة تحصل على نفس عدد الدفاتر
لا يتبقى أي قلم أو دفتر

ما هو أقل عدد من الأقلام والدفاتر يجب شراؤه؟

الخطوة 1: نحلل العددين إلى جداء عوامل أولية

التحليل إلى جداء عوامل أولية

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

🤔 تأمل

لكي يكون العدد قابلا للقسمة على 12، يجب أن يحتوي على جميع عوامل 12 الأولية بنفس الأسس على الأقل.

وبنفس الطريقة، لكي يكون العدد قابلا للقسمة على 18، يجب أن يحتوي على جميع عوامل 18 الأولية.

السؤال 1: ما الذي يجب أن يحتويه العدد ليكون قابلا للقسمة على 12؟

الخطوة 2: شرط القسمة على 18

السؤال 2: ما الذي يجب أن يحتويه العدد ليكون قابلا للقسمة على 18؟

الخطوة 3: الشرط المزدوج

💡 التفكير الاستراتيجي

نريد عددا يقبل القسمة على 12 و 18 معا.

لقسمة على 12: نحتاج 2² و 3¹
لقسمة على 18: نحتاج 2¹ و 3²

السؤال 3: لكي يقسم العدد على 12 و 18 معا، ماذا يجب أن يحتوي على الأقل؟

الخطوة 4: حساب PPCM

🎓 الاستنتاج

لحساب PPCM(12, 18)، نأخذ كل عامل أولي بأكبر أس موجود في أي من العددين:

12 = 2² × 3¹

18 = 2¹ × 3²

للعامل 2: max(2, 1) = 2 → 2²
للعامل 3: max(1, 2) = 2 → 3²

PPCM(12, 18) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

📐 القاعدة العامة

لحساب PPCM لعددين:

نحلل كل عدد إلى جداء عوامل أولية
نأخذ كل عامل أولي موجود في أحد العددين على الأقل
نأخذ كل عامل بأكبر أس له في العددين
نضرب هذه العوامل للحصول على PPCM

المستوى 4: تطبيق - حساب PPCM(24, 36)

معطى التحليلان التاليان:

24 = 2³ × 3¹
36 = 2² × 3²

الخطوة 1: تحديد أس العامل 2

في تحليل 24: العامل 2 له دليل القوة 3

في تحليل 36: العامل 2 له دليل القوة 2

ما هو أكبر أس للعامل 2؟

الخطوة 2: تحديد أس العامل 3

في تحليل 24: العامل 3 له دليل القوة 1

في تحليل 36: العامل 3 له دليل القوة 2

ما هو أكبر أس للعامل 3؟

الخطوة 3: الحساب النهائي

✓ لقد حددت:

أكبر أس للعامل 2: 2³
أكبر أس للعامل 3: 3²

إذن، ما هو PPCM(24, 36)؟

🔍 التصحيح والمساعدة

📹 الفيديو التعليمي

⚠️ استغلال الأخطاء الشائعة

خطأ شائع: أخذ أصغر أس

❌ بعض التلاميذ يخلطون بين PGCD و PPCM

✅ تذكر:

PGCD: نأخذ أصغر أس (الحد الأدنى)
PPCM: نأخذ أكبر أس (الحد الأقصى)

📝 الحل الكامل

24 = 2³ × 3¹

36 = 2² × 3²

الخطوة 1: للعامل 2

max(3, 2) = 3 → نأخذ 2³

الخطوة 2: للعامل 3

max(1, 2) = 2 → نأخذ 3²

النتيجة:

PPCM(24, 36) = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

الدرس الكامل: المضاعف المشترك الأصغر

📚 1. التعريف

تعريف PPCM

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين هو أصغر عدد صحيح طبيعي غير منعدم يقبل القسمة على كل من هذين العددين.

Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on note PPCM(a, b) le plus petit commun multiple de a et b.

🔍 2. الخصائص الأساسية

الخاصية 1: a يقسم PPCM(a, b) و b يقسم PPCM(a, b)

الخاصية 2: إذا كان m مضاعفا مشتركا لـ a و b، فإن PPCM(a, b) يقسم m

الخاصية 3: PPCM(a, b) ≥ max(a, b)

الخاصية 4: PPCM(a, 1) = a

الخاصية 5: PPCM(a, a) = a

الخاصية 6: PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b

🧮 3. طرق حساب PPCM

الطريقة 1: المضاعفات المشتركة

مثال: حساب PPCM(12, 18)

M₁₂ = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...}
M₁₈ = {0, 18, 36, 54, 72, 90, ...}
M₁₂ ∩ M₁₈ = {0, 36, 72, 108, ...}
PPCM(12, 18) = 36 (أصغر مضاعف مشترك غير منعدم)

الطريقة 2: التحليل إلى جداء عوامل أولية

مثال: حساب PPCM(36, 60)

36 = 2² × 3²
60 = 2² × 3 × 5

نأخذ كل عامل أولي بأكبر أس:
- للعامل 2: max(2, 2) = 2 → 2²
- للعامل 3: max(2, 1) = 2 → 3²
- للعامل 5: max(0, 1) = 1 → 5¹

PPCM(36, 60) = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180

الطريقة 3: استخدام PGCD

العلاقة بين PGCD و PPCM

PPCM(a, b) = (a × b) / PGCD(a, b)

مثال: إذا كان PGCD(12, 18) = 6، فإن:

PPCM(12, 18) = (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36

💡 4. حالات خاصة

أعداد أولية فيما بينها

إذا كان PGCD(a, b) = 1 (أوليان فيما بينهما)، فإن:

PPCM(a, b) = a × b

مثال

PPCM(8, 9) = 8 × 9 = 72
لأن PGCD(8, 9) = 1

عدد يقسم آخر

إذا كان b يقسم a، فإن PPCM(a, b) = a